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13.1 第1课时坐标系与参数方程.docx

1、第1课时坐标系1平面直角坐标系设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系点O称为极点,射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(,)称为点M的极坐标称为点M的极径,称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时,平面上的点(除去极点)就

2、与极坐标(,) (0)建立一一对应的关系我们设定,极点的极坐标中,极径0,极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(,)由图可知下面关系式成立:或.这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆r(02) ()圆心为(r,0),半径为r的圆2rcos_(0)圆心为(r,),半径为r的圆2rsin_过极点,倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0),与极轴垂直的直线cos a()过点(a,),与极轴平行的直线sin_a(0)1(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中,过点(2,)且与极轴平

3、行的直线方程解点(2,)在直角坐标系下的坐标为(2cos ,2sin ),即(0,2)过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.即为sin 2.2在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),求AOB(其中O为极点)的面积解由题意知A、B的极坐标分别为(3,)、(4,),则AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin 3.3在以O为极点的极坐标系中,圆4sin 和直线sin a相交于A,B两点当AOB是等边三角形时,求a的值解由4sin 可得x2y24y,即x2(y2)24.由sin a可得ya.设圆的圆心为O,ya与x2(y2)24的两交点A,B与O构成等边三角形,如

4、图所示由对称性知OOB30,ODa.在RtDOB中,易求DBa,B点的坐标为(a,a)又B在x2y24y0上,(a)2a24a0,即a24a0,解得a0(舍去)或a3.题型一极坐标与直角坐标的互化例1(1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求线段y1x(0x1)的极坐标方程(2)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标解(1)y1x化成极坐标方程为cos sin 1,即.0x1,线段在第一象限内(含端点),0.(2)因为xcos ,ysin

5、 ,由sin2cos ,得2sin2cos ,所以曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1,得曲线C2的直角坐标方程为y1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:极点与原点重合;极轴与x轴的正半轴重合;取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如cos ,sin ,2的形式,进行整体代换(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方

6、程(2)求在极坐标系中,圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程解(1)将x2y22,xcos 代入x2y22x0,得22cos 0,整理得2cos .(2)由2cos ,得22cos ,化为直角坐标方程为x2y22x0,即(x1)2y21,其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2,相应的极坐标方程为(R)和cos 2.题型二求曲线的极坐标方程例2将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出曲线C的方程;(2)设直线l:2xy20与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(

7、x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得由x21y1得x2()21,即曲线C的方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为(,1),所求直线斜率为k,于是所求直线方程为y1(x),化为极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3,即.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程在极坐标系中,已知圆C经过点P(,),圆心为直线sin与极轴的交点

8、,求圆C的极坐标方程解在sin中,令0,得1,所以圆C的圆心坐标为(1,0)如图所示,因为圆C经过点P,所以圆C的半径|PC| 1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为2cos .题型三极坐标方程的应用例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中,直线C1:x2,圆C2:(x1)2(y2)21,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为(R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积解(1)因为xcos ,ysin ,所以C1的极坐标方程为cos 2,C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos

9、4sin 40,得2340,解得12,2.故12,即|MN|.由于C2的半径为1,所以C2MN为等腰直角三角形,所以C2MN的面积为.思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时,可以先化为直角坐标方程;(2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围,注意转化的等价性(2017广州调研)在极坐标系中,求直线sin()2被圆4截得的弦长解由sin()2,得(sin cos )2可化为xy20.圆4可化为x2y216,由圆中的弦长公式得:224.故所求弦长为4.1(2015广东)已知直线l的极坐标方程为2sin,点A的极坐标为,求点A到直线l的距离解依题可知直线l:2sin和点A可化为l:xy

10、10和A(2,2),所以点A到直线l的距离为d.2在极坐标系(,)(02)中,求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标解曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1,(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.联立方程组得则交点为(0,1),对应的极坐标为.3在极坐标系中,已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切,求实数a的值解圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x,即2y2,直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.因为圆与直线相切,所以,解得a33.4在极坐标系中,求曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程解以极点为坐标原

11、点,极轴为x轴建立直角坐标系,则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21,且圆心为(1,0)直线的直角坐标方程为yx,因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1),所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.所以曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程为2sin .5在极坐标系中,P是曲线C1:12sin 上的动点,Q是曲线C2:12cos()上的动点,求|PQ|的最大值解对曲线C1的极坐标方程进行转化:12sin ,212sin ,x2y212y0,即x2(y6)236.对曲线C2的极坐标方程进行转化:12cos(),212(cos cossin sin),x2y

12、26x6y0,(x3)2(y3)236,|PQ|max6618.6在极坐标系中,O是极点,设A(4,),B(5,),求AOB的面积解如图所示,AOB2,OA4,OB5,故SAOB45sin 5.7已知P(5,),O为极点,求使POP为正三角形的点P的坐标解设P点的极坐标为(,)POP为正三角形,如图所示,POP.或.又5,P点的极坐标为(5,)或(5,)8在极坐标系中,判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系解直线cos sin 10可化成xy10,圆2sin 可化为x2y22y,即x2(y1)21.圆心(0,1)到直线xy10的距离d01.故直线与圆相交9在极坐标系中,已知三点M

13、、N(2,0)、P.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标;(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上解(1)由公式得M的直角坐标为(1,);N的直角坐标为(2,0);P的直角坐标为(3,)(2)kMN,kNP.kMNkNP,M、N、P三点在一条直线上10在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos()1,M,N分别为C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.从而C的直角坐标方程为xy1,即xy2.当0时,2,所以M(2,0)当时,所以N(,)(2)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为(0,)所以P点的直角坐标为(1,)则P点的极坐标为(,),所以直线OP的极坐标方程为(R)值为,此时P的直角坐标为.

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