1、第1课时坐标系1平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点O称为极点，射线Ox称为极轴平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标称为点M的极径，称为点M的极角一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就
2、与极坐标(，) (0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，)由图可知下面关系式成立：或.这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02) ()圆心为(r,0)，半径为r的圆2rcos_(0)圆心为(r，)，半径为r的圆2rsin_过极点，倾斜角为的直线(R) 或(R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos a()过点(a，)，与极轴平行的直线sin_a(0)1(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平
3、行的直线方程解点(2，)在直角坐标系下的坐标为(2cos ，2sin )，即(0,2)过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.即为sin 2.2在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求AOB(其中O为极点)的面积解由题意知A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则AOB的面积SAOBOAOBsinAOB34sin 3.3在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点当AOB是等边三角形时，求a的值解由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24.由sin a可得ya.设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点A，B与O构成等边三角形，如
4、图所示由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为(a，a)又B在x2y24y0上，(a)2a24a0，即a24a0，解得a0(舍去)或a3.题型一极坐标与直角坐标的互化例1(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0x1)的极坐标方程(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标解(1)y1x化成极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内(含端点)，0.(2)因为xcos ，ysin
5、 ，由sin2cos ，得2sin2cos ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换(1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方
6、程(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程解(1)将x2y22，xcos 代入x2y22x0，得22cos 0，整理得2cos .(2)由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，相应的极坐标方程为(R)和cos 2.题型二求曲线的极坐标方程例2将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出曲线C的方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程解(1)设(
7、x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得由x21y1得x2()21，即曲线C的方程为x21.(2)由解得或不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k，于是所求直线方程为y1(x)，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，即.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线sin与极轴的交点
8、，求圆C的极坐标方程解在sin中，令0，得1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)如图所示，因为圆C经过点P，所以圆C的半径|PC| 1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .题型三极坐标方程的应用例3(2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为M，N，求C2MN的面积解(1)因为xcos ，ysin ，所以C1的极坐标方程为cos 2，C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.(2)将代入22cos
9、4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，所以C2MN的面积为.思维升华(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性(2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin()2被圆4截得的弦长解由sin()2，得(sin cos )2可化为xy20.圆4可化为x2y216，由圆中的弦长公式得：224.故所求弦长为4.1(2015广东)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离解依题可知直线l：2sin和点A可化为l：xy
10、10和A(2，2)，所以点A到直线l的距离为d.2在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标解曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.3在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相切，求实数a的值解圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，即2y2，直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.因为圆与直线相切，所以，解得a33.4在极坐标系中，求曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程解以极点为坐标原
11、点，极轴为x轴建立直角坐标系，则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21，且圆心为(1,0)直线的直角坐标方程为yx，因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)，所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.所以曲线2cos 关于直线对称的曲线的极坐标方程为2sin .5在极坐标系中，P是曲线C1：12sin 上的动点，Q是曲线C2：12cos()上的动点，求|PQ|的最大值解对曲线C1的极坐标方程进行转化：12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.对曲线C2的极坐标方程进行转化：12cos()，212(cos cossin sin)，x2y
12、26x6y0，(x3)2(y3)236，|PQ|max6618.6在极坐标系中，O是极点，设A(4，)，B(5，)，求AOB的面积解如图所示，AOB2，OA4，OB5，故SAOB45sin 5.7已知P(5，)，O为极点，求使POP为正三角形的点P的坐标解设P点的极坐标为(，)POP为正三角形，如图所示，POP.或.又5，P点的极坐标为(5，)或(5，)8在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置关系解直线cos sin 10可化成xy10，圆2sin 可化为x2y22y，即x2(y1)21.圆心(0,1)到直线xy10的距离d01.故直线与圆相交9在极坐标系中，已知三点M
13、、N(2,0)、P.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上解(1)由公式得M的直角坐标为(1，)；N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)(2)kMN，kNP.kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上10在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为cos()1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程解(1)由cos()1得(cos sin )1.从而C的直角坐标方程为xy1，即xy2.当0时，2，所以M(2,0)当时，所以N(，)(2)M点的直角坐标为(2,0)N点的直角坐标为(0，)所以P点的直角坐标为(1，)则P点的极坐标为(，)，所以直线OP的极坐标方程为(R)值为，此时P的直角坐标为.
