1、第7节 双曲线,最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).,知 识 梳 理,1.双曲线的定义,我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作_.定点F1，F2叫作双曲线的_，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0： (1)若_，则集合P为双曲线； (2)若ac，则集合P为_； (3)若_，则集合P为空集.,ac,两条射线,ac,双曲线,焦点,焦距,2.双曲线的标准方程和几何性质,xR，ya或
2、ya,坐标轴,原点,A1(a，0)，A2(a，0),a2b2,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ),解析 (1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部. (3)当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修
3、21P82练习1(1)改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.,答案 6,解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0). 答案 B,答案 5,答案 4,考点一 双曲线的定义及应用,【例1】 (1)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2( ),(2)(2019西安调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.,在PF1F2中，|F1F2|2c4，由余弦定理，得,(2)
4、如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件， 得|MC1|AC1|MA|， |MC2|BC2|MB|， 因为|MA|MB|，,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.,规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； 2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运
5、用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.,AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a， 又AF1F2的周长为10a，|AF1|AF2|6a， 又|AF1|AF2|2a，|AF1|4a，|AF2|2a， 在AF1F2中，|F1F2|4a，,答案 (1)B (2)B,考点二 双曲线的标准方程,易知a2b2c29，,答案 (1)B (2)C,考点三 双曲线的性质 多维探究 角度1 求双曲线的渐近线,答案 A,角度2 求双曲线的离心率,答案 (1)C (2)A,角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题,答案 A,答案 (1)B (2)(0，2),思维升华,易错防范 1.双曲线方程中c2a2b2，说明双曲线方程中c最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.,2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.,
