1、第7节 双曲线,最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).,知 识 梳 理,1.双曲线的定义,我们把平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作_.定点F1,F2叫作双曲线的_,两个焦点之间的距离叫作双曲线的_.其数学表达式:集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0: (1)若_,则集合P为双曲线; (2)若ac,则集合P为_; (3)若_,则集合P为空集.,ac,两条射线,ac,双曲线,焦点,焦距,2.双曲线的标准方程和几何性质,xR,ya或
2、ya,坐标轴,原点,A1(a,0),A2(a,0),a2b2,微点提醒,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( ) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( ),解析 (1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|,表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知,应为双曲线的一支,而非双曲线的全部. (3)当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线,而m0,n0时则表示焦点在y轴上的双曲线. 答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修
3、21P82练习1(1)改编)经过点A(3,1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.,答案 6,解析 由题可知双曲线的焦点在x轴上,又c2a2b2314,所以c2,故焦点坐标为(2,0),(2,0). 答案 B,答案 5,答案 4,考点一 双曲线的定义及应用,【例1】 (1)已知F1,F2为双曲线C:x2y22的左、右焦点,点P在C上,|PF1|2|PF2|,则cos F1PF2( ),(2)(2019西安调研)已知圆C1:(x3)2y21和圆C2:(x3)2y29,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为_.,在PF1F2中,|F1F2|2c4,由余弦定理,得,(2)
4、如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件, 得|MC1|AC1|MA|, |MC2|BC2|MB|, 因为|MA|MB|,,所以|MC1|AC1|MC2|BC2|, 即|MC2|MC1|BC2|AC1|2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6. 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a1,c3,则b28.,规律方法 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程; 2.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|PF2|2a,运
5、用平方的方法,建立与|PF1|,|PF2|的联系.,AF1F2的周长为|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a, 又AF1F2的周长为10a,|AF1|AF2|6a, 又|AF1|AF2|2a,|AF1|4a,|AF2|2a, 在AF1F2中,|F1F2|4a,,答案 (1)B (2)B,考点二 双曲线的标准方程,易知a2b2c29,,答案 (1)B (2)C,考点三 双曲线的性质 多维探究 角度1 求双曲线的渐近线,答案 A,角度2 求双曲线的离心率,答案 (1)C (2)A,角度3 与双曲线有关的范围(最值)问题,答案 A,答案 (1)B (2)(0,2),思维升华,易错防范 1.双曲线方程中c2a2b2,说明双曲线方程中c最大,解决双曲线问题时不要忽视了这个结论,不要与椭圆中的知识相混淆.,2.求双曲线离心率及其范围时,不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1,)这个前提条件,否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.,