2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）.docx

1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1 （5 分）已知集合1A，2，3， |(1)(2)0Bxxx，xZ，则(AB ) A1 B0，1 C0，1，2，3 D 1， 0， 1， 2，3 2 （5 分）已知复数 13 22 i，i为虚数单位，则 2 的实部为( ) A1 B 1 2 C 3 2 D 1 2 3 （5 分）已知锐角满足 3 sin() 23 ，则

2、tan2( ) A2 B2 2 C2 2 D2 4 （5 分）国庆 70 周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目已知庆典中某省的游行花 车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了 检测现从两个品种中各抽测了 10 株的高度，得到如下茎叶图下列描述正确的是( ) A甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 5 （5 分）已知圆 222 :(0

3、)C xyrr直线:2l x ，则“13r ”是“C上恰有两个不同 的点到l的离为 1”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6 （5 分）若函数( )(1)(0,1) xx f xkaaaa 在R上既是奇函数，又是减函数，则 ( )log () a g xxk的图象是( ) 第 2 页（共 18 页） A B C D 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为(4,0)F，点(0, 3)Q，P为双曲线 左支上的动点，且PQF周长的最小值为 16，则双曲线的离心率为( ) A2 B 4 3 C 3 2 D 5 2

4、 8 （5 分）已知 5 1 log3 2 a ， 5 2log2b ， 7 log 3c ，则( ) Aacb Babc Ccab Dcba 9 （5 分）关于函数 22 ( ) |cossin| 1f xxx，下列说法正确的是( ) A函数( )f x以为周期且在() 2 k xkZ 处取得最大值 B函数( )f x以 2 为周期且在区间(,) 4 2 单调递增 C函数( )f x是偶函数且在区间(,) 4 2 单调递减 D将( )f x的图象向右平移 1 个单位得到( ) |cos(21)| 1g xx 10 （5 分）函数 ( ) ( )g xyf x在求导时可运用对数法：在解析式两边

5、同时取对数得到 ( )( )lnyg x lnf x， 然 后 两 边 同 时 求 导 得 ( ) ( )( )( ) ( ) yfx g x lnf xg x yf x ， 于 是 ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) g x fx yf xg x lnf xg x f x ， 用此法探求 1 1 (1)(0) x yxx 的递减区间为( ) A(0, ) e B(0,1)e C(1,)e D( ,)e 11 （5 分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科， 安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科若语文、数学、物理三科中任何两 科不能排在同

6、一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科 考试不计顺序） 第 3 页（共 18 页） A648 B1728 C864 D324 12 （5 分）已知等差数列 n a满足 22 59 10aa，则 12345 aaaaa的最大值为( ) A5 5 B20 C25 D100 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在边长为 2 的正ABC中，D为BC中点，则AB AD 14 （5 分）从抛物线 2 4yx图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且| 5PM ， 设抛物线焦点为F，则PFM的面积为

7、15 （5 分）设函数 2019,0 ( ) 2020,0 x ex f x x ，则满足 2 (3)( 2 )f xfx的x取值范围是 16 （5 分）已知直线m与球O有且只有一个公共点，从直线m出发的两个半平面、截 球O所得两个截面圆的半径分别为 1 和 2，二面角m的平面角为120，则球O的表 面积等于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题共小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知ABC的面积为S，且AB ACS （1）求 22 sincos5sin2 22 AA A的值； （2）若角A，

8、B，C成等差数列，| 4CBCA，求ABC的面积S 18 （12 分） 在直角梯形ABCD（如图1)，90ABC，/ /BCAD，8AD ，4ABBC， M为线段AD中点将ABC沿AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到几何体BACD （如图2) （1）求证：CD 平面ABC； （2）求AB与平面BCM所成角的正弦值 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 第 4 页（共 18 页） 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）令 2 1 1 nn n cb a ，

9、 n c的前n项和记为 n T，若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的 最大值 20 （12 分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因 其青皮软籽、 籽粒饱满、 晶莹剔透、 汁多味甘而享誉天下 现调查表明， 石榴的甜度与海拔、 日照时长、 昼夜温差有着极强的相关性， 分别用a、b、c表示石榴甜度与海拔、 日照时长、 温差的相关程度，并对它们进行量化：0 表示一般，1 表示良，2 表示优，再用综合指标 abc的值评定石榴的等级，若4则为一级；若23剟则为二级；若01剟则为 三级f近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种 植情况

10、，研究人员从不同地市随机抽取了 12 个石榴种植园，得到如下结果： 种植园编号 A B C D E F (a，b，) c (1，0，0) (2，2，1) (0，1，1) (2，0，2) (1，1，1) (1，1，2) 种植园编号 G H I J K L (a，b，) c (2，2，2) (0，0，1) (2，2，1) (0，2，1) (1，2，0) (0，0，2) （1）若有石榴种植园 120 个，估计等级为一级的石榴种植园的数量； （2） 在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取 2 个，表示取到三级石榴种植园的数量， 求随机变量的分布列及数学期望 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1

11、(0) xy ab ab 过点(1,1)M离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值 22 （12 分）已知函数( )sin(1)f xxaln x，aR，( )fx是( )f x的导函数 第 5 页（共 18 页） （1）若2a ，求( )f x在0x 处的切线方程； （2）若( )f x在, 4 2 上单调递增，求a的取值范围； （3）求证：当 2 0(1) 2 a 时( )fx在区间( 1,) 2 内存在唯一极大值点 第 6 页（共 18 页） 2020 年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）

12、 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1 （5 分）已知集合1A，2，3， |(1)(2)0Bxxx，xZ，则(AB ) A1 B0，1 C0，1，2，3 D 1， 0， 1， 2，3 【解答】解：1A，2，3， | 12Bxx ，0xZ，1， 1AB 故选：A 2 （5 分）已知复数 13 22 i，i为虚数单位，则 2 的实部为( ) A1 B 1 2 C 3 2 D 1 2 【解答】解：由 13 22 i，得 22 131331

13、3 () 2242422 iii ， 2 的实部为 1 2 故选：D 3 （5 分）已知锐角满足 3 sin() 23 ，则tan2( ) A2 B2 2 C2 2 D2 【解答】解：锐角满足 3 sin() 23 ， 3 cos 3 ， 2 6 sin1 3 cos， sin tan2 cos ， 2 2tan tan22 2 1tan 故选：B 4 （5 分）国庆 70 周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目已知庆典中某省的游行花 车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了 检测现从两个品种中各抽测了 10 株的高度，得到如下茎叶图下列描述正确的是(

14、) 第 7 页（共 18 页） A甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐 B甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐 C乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐 D乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 【解答】解：通过茎叶图数据可知： 甲品种的平均高度为： 19202123252937333231 27 10 x 甲 ， 乙品种的平均高度为： 10141026273044464647 30 10 x 乙 ， 所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度， 但是乙品种的 10 株高度在分散，没有甲品种 10

15、 株的高度集中，都集中在 25 左右， 故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 故选：D 5 （5 分）已知圆 222 :(0)C xyrr直线:2l x ，则“13r ”是“C上恰有两个不同 的点到l的离为 1”的( ) A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：圆 222 :(0)C xyrr，直线:2l x ，C上恰有两个不同的点到l的离为 1， 则13r “13r ”是“C上恰有两个不同的点到l的离为 1”必要不充分条件 故选：C 6 （5 分）若函数( )(1)(0,1) xx f xkaaaa 在R上既是奇函数，又

16、是减函数，则 ( )log () a g xxk的图象是( ) 第 8 页（共 18 页） A B C D 【解答】解：函数( )(1)(0,1) xx f xkaaaa 在R上是奇函数， (0)0f 2k， 又( ) xx f xaa为减函数， 所以10a， 所以( )log (2) a g xx 定义域为2x ，且递减， 故选：A 7 （5 分）已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为(4,0)F，点(0, 3)Q，P为双曲线 左支上的动点，且PQF周长的最小值为 16，则双曲线的离心率为( ) A2 B 4 3 C 3 2 D 5 2 【解答】解：双曲线的右焦点

17、为(4,0)F，4c ， 点(0, 3)Q，P为双曲线左支上的动点，且PQF周长的最小值为 16， 因为P在双曲线上，所以| 2|PFaPF， 则| | 2| 29PQPFPQPFaQFa， 因为(0,3)Q，(4,0)F， 所以| 5QF ，则24a ，即2a ， 所以双曲线的离心率为：2e 故选：A 第 9 页（共 18 页） 8 （5 分）已知 5 1 log3 2 a ， 5 2log2b ， 7 log 3c ，则( ) Aacb Babc Ccab Dcba 【解答】解： 555 55 1 log33log 32log2log 2 2 alogb， 555 1 2log2log 2

18、5 2 blog， 77 1 log 37 2 clog， 57 55 1 log33log 3log 3 2 alogc， acb 故选：A 9 （5 分）关于函数 22 ( ) |cossin| 1f xxx，下列说法正确的是( ) A函数( )f x以为周期且在() 2 k xkZ 处取得最大值 B函数( )f x以 2 为周期且在区间(,) 4 2 单调递增 C函数( )f x是偶函数且在区间(,) 4 2 单调递减 D将( )f x的图象向右平移 1 个单位得到( ) |cos(21)| 1g xx 【解答】解： 22 ( ) |cossin| 1 |cos2 | 1f xxxx ，

19、 ( )f x的周期为 2 ，且在(,) 4 2 上单调递增，B正确， 将( )f x的图象向右平移 1 个单位得到( ) |cos(22)| 1g xx，D错误 故选：B 10 （5 分）函数 ( ) ( )g xyf x在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到 ( )( )lnyg x lnf x， 然 后 两 边 同 时 求 导 得 ( ) ( )( )( ) ( ) yfx g x lnf xg x yf x ， 于 是 ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) g x fx yf xg x lnf xg x f x ， 用此法探求 1 1 (1)(0) x yxx 的

20、递减区间为( ) A(0, ) e B(0,1)e C(1,)e D( ,)e 【解答】解：因为 1 1 (1)(0) x yxx ， 所以 1 1 (1) (1) 1 x ln x lnyln x x ， 第 10 页（共 18 页） 两边同时求导可得， 2 1(1) (1) yln x yx ， 则 1 1 2 1(1) (1) (1) x ln x yx x ， 令0y可得(1)1ln x， 解可得，1xe， 故函数的单调递减区间为(1,)e 故选：C 11 （5 分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科， 安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科若

21、语文、数学、物理三科中任何两 科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科 考试不计顺序） A648 B1728 C864 D324 【解答】解：先对六科进行分组，共有 22 2264 34 2 2 27 C C C C A 种，再把这四组分到四个半天共有 4 4 24A 种分法， 由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648， 故选：A 12 （5 分）已知等差数列 n a满足 22 59 10aa，则 12345 aaaaa的最大值为( ) A5 5 B20 C25 D100 【解答】解：设等差数列 n a的公差为d，由 22 59 10

22、aa， 得 22 33 (2 )(6 )10adad， 即 22 33 2085 0da da ； 由 22 33 (8)420(5) 0aa， 化简得 2 3 25a ， 解得 3 55a 剟， 所以 123453 525aaaaaa， 第 11 页（共 18 页） 即 12345 aaaaa的最大值为 25 故选：C 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 小题每小题小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在边长为 2 的正ABC中，D为BC中点，则AB AD 3 【解答】解：如图，边长为 2 的正ABC中，D为BC中点，3AD，30BAD 3 cos30233 2

23、 AB ADAB AD 故答案为：3 14 （5 分）从抛物线 2 4yx图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且| 5PM ， 设抛物线焦点为F，则PFM的面积为 10 【解答】 解： 抛物线 2 4yx中2p ， 设 0 (P x， 0) y， 则 0 | 2 p PMx， 即 0 51x， 得 0 4x ， 所以 0 4y ，所以 0 1 | 10 2 PFM SPMy 故答案为：10 15 （5 分）设函数 2019,0 ( ) 2020,0 x ex f x x ，则满足 2 (3)( 2 )f xfx的x取值范围是 (,31,) 【解答】解：当0x时， 1 ( )2019( )

24、2019 xx f xe e ， 此时( )f x单调递减， 0 1 ( )(0)( )20192020f xf e ， 当 2 (3)( 2 )f xfx时， 2 2 20 3 0 32 x x xx 或 2 20 30 x x 或 2 20 3 0 x x ， 13x剟或3x 或3x， 第 12 页（共 18 页） x的取值范围为(,31,) 故答案为：(,31,) 16 （5 分）已知直线m与球O有且只有一个公共点，从直线m出发的两个半平面、截 球O所得两个截面圆的半径分别为 1 和 2，二面角m的平面角为120，则球O的表 面积等于 112 3 【解答】解：过P与O作直线l的垂面，画出

25、截面图形，如图 设球的半径为r，作OEQP，OFPM，则1EP ，2PF ， 设OPE， 2 3 OPF ， 所以 cos1 2 2 cos() 3 r r ， 即sin3 3cos， 22 sincos1解得 2 1 cos 28 所以 2 28 3 r ； 所以球的表面积为： 2 28112 44 33 r 故答案为112 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题共小题共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知ABC的面积为S，且AB ACS （1）求 22 sincos5sin2 22 AA A

26、的值； （2）若角A，B，C成等差数列，| 4CBCA，求ABC的面积S 【解答】解： （1） cos 1 sin 2 AB ACbcAS SbcA 1 cossin 2 bcAbcA 第 13 页（共 18 页） sin2cos0AA可得A为锐角， 结合 22 sincos1AA，可得 5 cos 5 A， 2 5 sin 5 A 则 22 5 sincos5sin2cos52sincos5 225 AA AAAA （2）角A，B，C成等差数列，2BAC，3ABCB，可得 0 60B 2 51532 515 sinsin()sincoscossin 525210 CABABAB 由正弦定理可

27、得 sinsin bc BC sin20 3 sin2 515 cB b C ABC的面积 1120 32 5 sin432 348 2252 515 SbcA 18 （12 分） 在直角梯形ABCD（如图1)，90ABC，/ /BCAD，8AD ，4ABBC， M为线段AD中点将ABC沿AC折起，使平面ABC 平面ACD，得到几何体BACD （如图2) （1）求证：CD 平面ABC； （2）求AB与平面BCM所成角的正弦值 【解答】解： （1）由90ABC，/ /BCAD，8AD ，4ABBC， 所以4 2AC ，4 2CD ，8AD ， 所以 222 ADCDAC，CDAC， 又平面ABC

28、 平面ACD，平面ABC平面ACDAC， 所以CD 平面ABC； （2）取AC的中点O连接OB，根据题意，以O为原点， 以OM，OC，OM分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则(0A，2 2，0)，(0B，0，2 2)，(0C，2 2，0)，(2 2M，0，0)， 第 14 页（共 18 页） 所以(0CB ，2 2，2 2)，(2 2CM ，2 2，0)，(0BA ，2 2，2 2)， 设平面BCM的法向量为( , , )mx y z， 2 22 20 2 22 20 m CByz m CMxy ，得(1,1,1)m ， 所以 | 2 22 2 |26 sin|cos,| 3433 m

29、BA 19 （12 分）已知数列 n a的前n项和 2 n Snn，等比数列 n b的公比(1)q q ，且 345 28bbb， 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项 （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）令 2 1 1 nn n cb a ， n c的前n项和记为 n T，若2 n Tm对一切 * nN成立，求实数m的 最大值 【解答】解： （1）数列 n a的前n项和 2 n Snn， 可得1n 时， 11 2aS， 2n时， 22 1 (1)(1)2 nnn aSSnnnnn ，对1n 也成立， 则2 n an，*nN； 等比数列 n b的公比(1)q q ，由 345 2

30、8bbb，可得 234 111 28bqbqbq， 由 4 2b 是 3 b和 5 b的等差中项，可得 4354 2(2)28bbbb，即 3 41 8bbq， 解得 1 1b ，2q ， 第 15 页（共 18 页） 则 1 2n n b ，*nN； （2） 111 22 111111 222() 141(21)(21)2 2121 nnn nn n cb annnnn ， 1 111111121111 (122)(1)(1)2 2335212112221242 n nn n T nnnn ， 由 11 2 242 n n 为自然数集上的增函数，可得1n 时， 11 2 242 n n 取得

31、最小值 4 3 ， 若2 n Tm对一切 * nN成立，可得 8 3 m， 则实数m的最大值为 8 3 20 （12 分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因 其青皮软籽、 籽粒饱满、 晶莹剔透、 汁多味甘而享誉天下 现调查表明， 石榴的甜度与海拔、 日照时长、 昼夜温差有着极强的相关性， 分别用a、b、c表示石榴甜度与海拔、 日照时长、 温差的相关程度，并对它们进行量化：0 表示一般，1 表示良，2 表示优，再用综合指标 abc的值评定石榴的等级，若4则为一级；若23剟则为二级；若01剟则为 三级f近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边

32、地市的种 植情况，研究人员从不同地市随机抽取了 12 个石榴种植园，得到如下结果： 种植园编号 A B C D E F (a，b，) c (1，0，0) (2，2，1) (0，1，1) (2，0，2) (1，1，1) (1，1，2) 种植园编号 G H I J K L (a，b，) c (2，2，2) (0，0，1) (2，2，1) (0，2，1) (1，2，0) (0，0，2) （1）若有石榴种植园 120 个，估计等级为一级的石榴种植园的数量； （2） 在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取 2 个，表示取到三级石榴种植园的数量， 求随机变量的分布列及数学期望 【解答】解： （1）计算 1

33、2 块种植地的综合指标，如下表所示： 编号 A B C D E F G H I J K L 综合 指标 1 5 2 4 3 4 6 1 5 3 3 2 由表可知，等级为一级的有 5 个，其频率为 5 12 ， 第 16 页（共 18 页） 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为 5 12050 12 （2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527块，三级石榴种植园有 2 块，则的 所有可能取值为 0，1，2， 02 25 2 7 10 (0) 21 C C P C ； 11 25 2 7 10 (1) 21 C C P C ； 20 25 2 7 1 (2) 21 C

34、 C P C 所以随机变量的分布列如表所示： 0 1 2 P 10 21 10 21 1 21 数学期望 101014 ( )012 2121217 E 21 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 过点(1,1)M离心率为 2 2 （1）求的方程； （2）如图，若菱形ABCD内接于椭圆，求菱形ABCD面积的最小值 【解答】解： （1）由题意， 22 222 11 1 2 2 ab c a abc ，解得 22 3 3, 2 ab 椭圆的方程为 22 2 1 33 xy ； （2）菱形ABCD内接于椭圆， 第 17 页（共 18 页） 由对称性可设直线 1 :AC yk

35、 x，直线 2 :BD yk x 联立 22 1 23xy yk x ，得方程 22 1 (21)30kx， 22 2 1 3 21 AC xx k ， 2 1 2 1 3 | |1 21 OAOCk k 同理， 2 2 2 2 3 | |1 21 OBODk k 又ACBD， 2 1 2 1 13 | |1 2 1 OBOD k k ，其中 1 0k 从而菱形ABCD的面积S为： 2 1 22 11 2 1 313 2| | 2 11 2 21 1 SOAOBk kk k ， 整理得 2 1 1 1 64 1 2 1 () S k k ，其中 1 0k 当且仅当 1 1 1 k k 时取“”

36、 ， 当 1 1k 或 1 1k 时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为 4 22 （12 分）已知函数( )sin(1)f xxaln x，aR，( )fx是( )f x的导函数 （1）若2a ，求( )f x在0x 处的切线方程； （2）若( )f x在, 4 2 上单调递增，求a的取值范围； （3）求证：当 2 0(1) 2 a 时( )fx在区间( 1,) 2 内存在唯一极大值点 【解答】解： （1）当2a ， 2 ( )cos 1 fxx x ，(0)1 f ，又(0)0f， 所以( )f x在0x 处的切线方程为0xy； （2）由( )cos0 1 a fxx x ， 所以(1)c

37、osaxx， 令( )(1)cosh xxx，, 4 2 x ，则( )cos(1)sinh xxxx， 第 18 页（共 18 页） 因为 2 cos 2 x， 22 (1)sin(1) 242 xx ，所以( )0h x， ( )h x在, 4 2 递减，所以( )()0 2 h xh ，0a； （3）因为( )cos 1 a fxx x ， 令( )cos 1 a g xx x ，x， 2 ( )sin (1) a g xx x ， 显然( )g x单调递减，又 2 0(1) 2 a ， 得 2 ()10 2 (1) 2 a g ， 取 0 1 2 a x ，则 000 2 ()sin4sin0 (11) 2 a g xxx a ， 故存在( 1,) 2 m ，使得( )0g m， ( 1x ，) ( )m g x单调递增，( ,) 2 xm 单调递减， m为( )g x的唯一极大值点，故命题成立