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数学人教版七年级上期有理数(专题详解)(原卷版).doc

1、 有理数专题详解有理数专题详解 专题 01 有理数专题详解 1 1.1 正数和负数 . 5 知识框架 . 5 一、基础知识点 . 5 知识点 1 负数的产生 5 知识点 2 相反意义的量的表示方式 5 知识点 3 正数、负数及 0 的意义 5 二、典型题型 . 6 题型 1 平均数与正负数 6 题型 2 用正负数表示误差范围 7 题型 3 正负数规律探究 7 1.2 有理数 . 8 1.2.1 有理数 8 知识框架 . 8 一、基础知识点 . 8 知识点 1 有理数及相关概念 8 知识点 2 小数分类补充 8 知识点 3 有理数的分类 9 知识点 4 常用数学概念的含义 9 二、典型题型 .

2、10 题型 1 数集问题 10 题型 2 规律探究 10 1.2.2 数轴 12 知识框架 . 12 一、基础知识点 . 12 知识点 1 数轴的概念 12 知识点 2 数轴的读数与画法 12 知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系(数形结合) 13 知识点 4 数轴与数的大小 13 二、典型题型 . 13 题型 1 利用数轴求两点间距离 13 题型 2 数轴上点的运动 14 1.2.3 相反数 16 知识框架 . 16 一、基础知识点 . 16 知识点 1 相反数的概念 16 知识点 2 相反数的意义 16 知识点 3 多重符号的化简 17 二、典型题型 . 17 题型 1 相反数的性质与

3、求法 17 题型 2 相反数与数轴相结合 17 1.2.4 绝对值 19 知识框架 . 19 一、基础知识点 . 19 知识点 1 绝对值的意义 19 知识点 2 绝对值的性质 19 知识点 3 绝对值与数的大小 20 二、典型题型 . 20 题型 1 由数求绝对值,由绝对值求数 20 题型 2 比较有理数大小的方法 20 题型 3 含有字母的绝对值的化简求值 21 题型 4 绝对值非负性的应用 22 三、难点题型 . 22 题型 1 求绝对值的值 22 题型 2 含字母绝对值的化简(复杂) 22 题型 3 借助数轴解绝对值问题 23 1.3 有理数的加减法 . 24 知识框架 . 24 一、

4、基础知识点 . 24 知识点 1 有理数的加法 24 知识点 2 有理数的加法运算律 24 知识点 3 运用运算律简化计算 25 知识点 4 有理数减法的意义 25 知识点 5 有理数的加减混合运算 25 二、典型题型 . 25 题型 1 有理数加法的应用 25 题型 2 加法运算定律的应用 26 题型 3 有理数减法的应用 26 题型 4 运用作差法比较有理数的大小 27 三、难点题型 . 27 题型 1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 27 题型 2 定义新运算 27 1.4 有理数的乘除法 . 29 知识框架 . 29 一、基础知识点 . 29 知识点 1 有理数的乘法法则 2

5、9 知识点 2 有理数乘法的运算律 29 知识点 3 倒数的概念 30 知识点 4 有理数的除法法则 30 知识点 5 有理数四则混合运算 31 知识点 6 正负数的表示方法 31 二、典型题型 . 33 题型 1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 33 三、难点题型 . 33 题型 1 1 赋值问题 33 题型 2 定义新运算 33 1.5 有理数的乘方 . 35 知识框架 . 35 一、基础知识点 . 35 知识点 1 乘方的意义 35 知识点 2 乘方运算法则 36 知识点 3 科学记数法的概念 36 知识点 4 近似数与准确数 37 知识点 5 理解精确度 37 二、典型题型 . 37

6、题型 1 有理数的混合运算 37 题型 2 乘方的简便计算 38 题型 3 确定末位数字 38 题型 4 由近似数估算准确数的取值范围 38 三、难点题型 . 38 题型 1 乘方在实际问题中的应用 38 题型 2 实际问题中的近似数 . 39 1.1 正数和负数正数和负数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 负数的产生负数的产生 1) 负数:规定一种意义的量为正数,与之意义相反的量规定为负数。 知识点知识点 2 相反意义的量的表示方式相反意义的量的表示方式 1)用正负号表示相反意义量,一般用(+)表示增多等情况,用(-)表示减少量。 2)注意: a.相反意义的量

7、是成对出现的; b.相反意义的量必须是同类量; c.用正负表示时,一定要说明数量和单位; 3)在实际生活生产中,并没有出现常见的意义相反的量,而是把其中某一个量规定为 “0”作为基准数,比基准(零)大的为正,比基准(零)小的为负。 例例 1. 小明的姐姐在银行工作, 她把存入 3万元记作+3万元, 那么支取2 万元应记作_, 4 万元表示_。 例例 2.下列说法中正确的是( ) A.上升与下降具有相反意义的量 B.前进 20m 具有相反意义的量 C.向南 50m 与向北 40m 是相反意义的量 D.收入 20 元于下降 2m 具有相反意义的量 知识点知识点 3 正数、负数及正数、负数及 0 的

8、意义的意义 1)正数:大于零的数,如 3, 2 1 , 等,其中(+)可以省略 2)负数:小于零的数,如-1,- 4 3 ,30%等,其中()不可以省略 3)0:正数和负数的分界线,既不是正数,也不是负数。 (0 并非表示没有) 注:不能简单的根据符号来判断正负,而需要根据正负数的定义 如:+()3,()3 (+)-肯定 ()-否定 0a0 0 0a , 负 数 , 正 数 , aa 例例 1. 下列说法中,正确的有哪些: 0 是自然数;0 既不是正数,也不是负数;0 可以表示海平面的高度;正数 比 0 大,负数比 0 小,0 是正数和负数的分界线;0 只表示什么都没有;0 是非正数。 例例

9、2. 下列说法中正确的有: 0表示没有温度;0 是最小的正数;0 是偶数,也是自然数;不带负号的数 都是正数;带负号的数不一定是负数。 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 平均数与正负数平均数与正负数 性质:性质:某一个量规定为“0”作为基准数,比基准(零)大的为正,比基准(零)小的为负 解题技巧:解题技巧:求一组数的平均数,可以用正负数的思想解决。首先目测选取这组数中较为居 中的数为基准数“0”;然后将实际数与基准数进行比较,用正负数表示这组数据,超出记为 正, 不足记为负; 接着求出这组数据正负数的平均值; 最后用正负数的平均值与基准数比较, 得出这组数的实际平均值。 例例 1.下表列

10、出了国外几个城市与北京的时差(正数表示同一时刻比北京早的时数) : 城市 时差 城市 时差 纽约 -13 东京 1 巴黎 -7 芝加哥 -14 如果现在北京时间是 7:00,那么现在纽约时间是几点? 例例 2.实际测量一座山的高度时, 可在若干个观测点中测量每相邻两个可视观测点的相对 高度,然后用这些相对高度计算出山的高度。下表是某次测量数据的一部分(A-C 表示 观测点 A 相对观测点 C 的高度,例如,下表第一列表示 A 比 C 高 90 米) 。 A-C C-D E-D F-E G-F B-G 90 米 80 米 -60 米 50 米 -70 米 40 米 根据这些观测的数据,观测点 A

11、 相对观测点 B 的高度时多少米? 题型题型 2 用正负数表用正负数表示误差范围示误差范围 性质:性质:a b 表示取值范围为:ab 至 a+b 之间 解题技巧:解题技巧:首先根据 a b 的实际意义,先求出物体允许的误差范围;在将数据与 这个误差范围比较,若在这个范围内,则为合格,反之为不合格。 例例 1. 一商品的标准价格是 120 元,但随着季节的变化,商品的价格可以浮动10%。 10%的含义是什么? 请你计算该商品的最高价格和最低价格 例例 2. 下面几个数表示的是四个足球的质量与标准质量偏差的克数, 其中质量较好的是: A.+10 B.-20 C.-5 D.+15 题型题型 3 正负

12、数规律探究正负数规律探究 解题技巧:解题技巧:规律探究题分两步寻找规律。首先寻找数字间的规律;然后再寻找正 负号间的规律;最后将正负号和数字结合起来,得到最终结果。 例例 1.观察下面排列的一列,请写出后面的数。 (1)1, ,3, ,5, , , (2) , , , , 例例 2. 观察这一串数字: 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 , 4 3 , 4 2 , 4 1 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 2 1 , 2 2 , 2 1 , 1 1 等,试 问 11 7 是第几个数? 1.2 有理数有理数 1.2.1 有理数有理数 知识框架知识框架 一、基

13、础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数及相关概念有理数及相关概念 正整数正整数:像 1, 2, 3, 4 等这样的数叫作正整数 负整数:负整数:像1, 2, 3 等这样的数叫作负整数 正分数正分数:像 ,0.24, 1.64 等这样的数叫作正分数 负分数负分数:像 ,3.56, 0.78 等这样的数叫作负分数 整数整数:正整数、0、负整数统称为整数 分数分数:正分数、负分数统称为分数 有理数有理数:整数和分数统称为有理数 例例 1. 下列说法中,错误的有: -2 7 4 是负分数;1.5 不是整数;非负有理数不包括 0;正整数、负整数统称为有 理数;0 是最小的有理数;3.14 不是

14、有理数 例例 2. 下列说法中,正确的是: 正有理数和负有理数统称为有理数 正整数和负整数统称为整数 整数和分数统称为有理数 非正数就是指 0、负整数和所有分数 知识点知识点 2 小数分类补充小数分类补充 1)小数 2)有限小数可以转化为分数,故我们将这类小数划分为分数类。如 0.3= 无限循环小数也可以转化为分数,故我们也将这类小数划分为分数类。如 0. = 无限不循环小数不可以转化为分数,故不是分数,也不是有理数。如 知识点知识点 3 有理数的分类有理数的分类 1)分类: 按整数、分数分类 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数 有理数 0 按数的正负性分 负分数 负整数 负有理数 负

15、整数 正整数 正有理数 有理数 0 注:无论怎么分类,一共有 5 类,不可重复,也不可遗漏 拓展:无理数,如 例例 1. 将下列各数填在相应位置 -50,+10,1, 5 1 ,+102, 51.2,-3.06,0,2 . 0 ,+1 13 1 , (+2) ,2,3.12 正整数有: 分数有: 正分数有: 非正数有: 无理数有: 知识点知识点 4 常用数学概念的含义常用数学概念的含义 1)正整数:既是正数,又是整数 2)负整数:既是负数,又是整数 3)正分数:既是整数,又是分数 4)负分数:既是负数,又是分数 5)非正数:负数和 0 6)非负数:正数和 0 7)非正整数:负整数和 0 8)非

16、负整数:正整数和 0 例例 1.下列结论错误的是: A.负分数都是负有理数 B.分数中除了正分数就是负分数 C.有理数中除了分数就是小数 D.有限小数是分数,也是有理数 例例 2. 在有理数中,是整数而不是正数的数统称为: 是负数而不是分数的数统称为: 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 数集问题数集问题 性质:性质:有理数的分类 注:注:数集关系中有包含关系时,数的分类不可重复 解题技巧:解题技巧:此类题型是有理数分类题型的拓展,一般用框图表示数据分类的集合 关系,多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时,先填写有重合和被包含部分 的框图,再填写单一框图部分的数据。 例例 1. 如下图所示

17、,大圆覆盖的区域表示有理数的范围,中圆覆盖的区域表示整数的范 围,小圆覆盖的区域表示正整数的范围,把下列各数填入它所属于的集合的圆内:15, ,-5,0.1,-5.32,-80,123,2.333 例例 2.请将以下数据按要求填入对应框图中:7,3.5,0,3, 2,2.5,8, 题型题型 2 规律探究规律探究 解题技巧:解题技巧: 该类题型比较灵活, 需视具体情况而定。 在有理数的规律探究题型中, 往往需要寻找两部分规律: (1)数字之间的规律; (2)正负号的规律 例例 1.有一列数:, ,求第 7 个数。 例例 2.有一列数: ,求第 5 个数和第 6 个数。 例例 3. 如下表所示,从

18、左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻 格子中所填整数之和都相等,则第 2019 个格子中的数为: 3 a b c -1 2 . 1.2.2 数轴数轴 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 数轴的概念数轴的概念 1)数轴数轴:用一条直线上的点表示数,这条直线叫作数轴 2)三要素三要素:原点参考点,正负数分界点; 方向一般选取向右为正方向; 单位长度同一条数轴上的单位长度应当一致 例例 1.画数轴需要三个条件,即 、 方向和 长度。 (三要素) 知识点知识点 2 数轴的读数与画法数轴的读数与画法 1)数轴的读数数轴的读数:在原点的左边,则为正数,在数

19、轴的右边,则为负数。 2)画数轴步骤画数轴步骤:a.直线 b.确定原点 c.选正方向(通常从原点向右或向上定 位正方向) d.选取单位长度(选取适当长度为单位长度,直线上从原点向右, 每隔一个单位长度取一个点,依次表示 1,2,3,;从原点向左,用类似方法 依次表示1,2,3,) e.标数(用实心点标数) 例例 1. .下图是几位同学所画数轴,其中正确的是: 例例 2. 如下图所示,在数轴上的点 M 表示的数可能是: A.1.5 B.-1.5 C.-2.4 D.2.4 知识点知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系(数形结合)数轴上的点与有理数之间的关系(数形结合) 1)数轴上的点并不是都是有

20、理数 2)正方向可以不按照常规方向选取 3)a0,与原点的距离是 a,在数轴上可以是a(存在多解的情况) 注:要确定在数轴上的具体位置,必须要距离+方向 例例 1. 下列说法中正确的是: A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数 C.有理数如- 100 1 在数轴上无法表示出来 D.任何一个有理数都可以再数轴上找到它对应的唯一点 例例 2. 数轴上点 A 到原点的距离是 2, 点 B 到原点的距离是 3, 则 A, B 两点的距离是多少? 知识点知识点 4 数轴与数的大小数轴与数的大小 1)正方向上,离原点越远,数越大 2)负方向上,离原点越近,数越大(

21、负数数字越大,结果反而越小) 注:数轴从负方向向正方向,数值逐渐增大。 例例 1. 下表是四个城市今年二月份某天的气温,请画出数轴,并依据数轴判断气温最低的城市是 哪个。 城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温 -8 -16 5 -25 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 利用数轴求两点间距离利用数轴求两点间距离 注:注:距离没有方向性,所以到某点的距离为 a 的点一般有两个 解题技巧:解题技巧:根据题干要求,先找出参考点位置;某点到参考点的距离为 a,意味 着这个点可以在参考点左边距离为a的位置, 也可在参考点右边距离为a的位置。 因此,此类题型一般有多解情况,请注意。最后根据画出的

22、数轴,读出两点之间 的距离。 例例 1.如图,数轴上标出的所以点中,相邻两点间的距离都相等,已知点 A 表示 16,点 G 表示 8. (1)表示原点的点是: ,点 C 表示的数是: (2)若数轴上有两点 M,N,点 M 到点 E 的距离为 4,点 N 到点 E 的距离是 3,求点 M,N 之间的距离。 (3)点 P 为数轴上一点,且表示的数是整数,点 P 到 A 点的距离与 P 到 G 点的距离之和为 24,则这样的 P 点有 个。 题型题型 2 数轴上点的运动数轴上点的运动 性质:性质:数轴数形结合的应用 注:注:若题干中有说明运动的方向,则结果为唯一确定值;若未说明运动的方向,则也 会存

23、在向左右两边运动的多解情况。 解题技巧:解题技巧:此类题型考察的是数轴数形结合的应用。先画出数轴,根据题干要求 标出参考点;再根据题干要求进行相应的运动,确定最终位置并解答题目。需注 意点为:若运动过程中未指出运动方向,则会存在多解情况。 例例 1. 点 P 从数轴(向右为正方向)上的1 出发,分别按照下列条件移动两次后到达 终点,说出点 P 在终点时所表示的数。 (1)先向右移动 3 个单位长度,再向右移动 2 个单位长度; (2)先向右移动 2 个单位长度,再向左移动 3 个单位长度。 例例 2. 数轴上点 A 对应的数是-1,一只小虫从点 A 出发,沿着数轴以每秒钟 4 个单位的速度爬

24、行至点 B,再立即沿原路返回至点 A,共用 9 秒钟。 (1)小虫爬行的路程是多少个单位长度? (2)点 B 对应的数是多少? 1.2.3 相反数相反数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 相反数的概念相反数的概念 相反数相反数:像 2 和2、5 和5、3 和3 这样,只有符号不同的两个数互为相反数(注:0 的相反数是 0) 注:相反数是成对出现的 知识点知识点 2 相反数的意义相反数的意义 (1)代数意义代数意义:只有符号不同的两个数,一个是另一个的相反数,0 的相反数是 0 (2)几何意义:几何意义:在数轴上原点的两旁,离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反

25、 数。 例例 1.在数轴上描出表示 5、2、5、+2 这四个数的点。 观察上图并填空: 数轴上与原点的距离是 2 的点有 个,这些点表示的数 是 ;与原点的距离是 5 的点有 个,这些点表示的数是 。从上面 问题可以看出,一般地,如果 a 是一个正数,那么数轴上与原点的距离是 a 的点有两个,即 一个表示 a,另一个是 ,它们分别在原点的左边和右边,我们说,这两点关于原点对 称。 例例 2.2017 的相反数是: A.2017 B.-2017 C. 2017 1 D.- 2017 1 例例 3.下列说法中正确的是: A.正数和负数互为相反数 B.任何一个数的相反数都与它本身不同 C.任何一个数

26、都有它的相反数 D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数 知识点知识点 3 多重符号的化简多重符号的化简 1)“-”表示否 “+”表示是 2)看“-”的个数,奇数个为负,偶数个为正。“+”个数不影响结果。 3)a.负负得正 b.负正得负 c.正正得正 例 1. 化简下列各数: a.-(-12) b.-(+5) c.+(-6) d.+(+3) e.-(-3) f.-+(-a) 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 相反数的性质与求法相反数的性质与求法 性质:性质:a.除 0 外,一组相反数一定是一正一负 b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号(负号的意义就是表示相反量) c.一组相反

27、数的和为 0 解题技巧:解题技巧: (1)此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性 质 b,直接在这个数前面添加“”号,在利用多重符号化简的方法化简即可。 (2)已知两个含有字母的数为相反数,利用性质 c,将两个数相加和 为 0,表示成方程的形式,直接解方程即可。 例例 1.若-a 不是负数,则 a: A.是正数 B.不是负数 C.是负数 D.不是正数 例例 2.求 a-b 的相反数 例例 3.已知 2a-1 与 7- 2 1 a 互为相反数,则 a 的值是: 例例 4.如果 a,b 都是有理数,在什么条件下:a+b 与 a-b 互为相反数 题型题型 2 相反数与数轴相结合相反

28、数与数轴相结合 性质:性质:相反数几何意义为数轴上原点两旁,与原点距离相等的点所表示的数。 解题技巧:解题技巧:利用相反数的几何意义,先在数轴上表示出互为相反数的两个点,在 根据题干要求,利用数轴分析求解题目。 例例 1.有理数 x,y 在数轴上的对应点如图所示: 试把 x,y,0,-x,-y 这五个数按从大到小的顺序排列 例例 2. 已知数轴上点 A 和点 B 分别表示互为相反数的两个数 a 和 b(ab) ,且 A,B 两点间 的距离是 6,则 a 和 b 分别是多少? 1.2.4 绝对值绝对值 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 绝对值的意义绝对值的意义 绝

29、对值绝对值:数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作a 例例 1. 求下列各的绝对值 -2.1 +(-3) - 3 2 例例 2.下图中两点距离原点的距离以及对应的绝对值分别是多少,发现了什么规律? 例例 3.若a=-a,则数 a 在数轴上的对应点一定在: A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧 知识点知识点 2 绝对值的性质绝对值的性质 1)绝对值表示的是点到原点的距离,故有非负性a0,即: 0, 0, 0 0, aa a aa a 2)互为相反数的两个数绝对值相等 例例 1. 下列说法中正确的是: A.a一定是正数 B.a不是正数 C.-a是负

30、数 D.a不是负数 知识点知识点 3 绝对值与数的大小绝对值与数的大小 1)正数大于 0,0 大于负数。 2)理解:绝对值是指距离原点的距离 所以:两个负数,绝对值大的反而小;两个正数,绝对值大的大。 例例 1. 排序: 5 4 , 3 2 , 4 5 ,0,2. 例例 2. (1)若 a0,则 a+b=+(a+b) (2).若 a0,bb; 当 ab=0 时,a=b; 当 aba+c;a+c0 例例 2. 若3x与42 y互为相反数,求 x+y 的值。 题型题型 2 定义新运算定义新运算 解题技巧:解题技巧:该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则,我们只需要照定义的 运算规则,将题干写成有

31、理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法 则求解最终答案。 例例 1.将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行 2 列,两边各加一条竖线后记作,定 义。计算。 例例 2.定义一种运算,规定 ab=。计算 23。 1.4 有理数的乘除法有理数的乘除法 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数的乘法法则有理数的乘法法则 1)规律:几个非零数相乘,值为绝对值相乘,符号由负号个数确定(奇数个为 负,偶数个为正) 任何数乘 0,积为 0 例例 1. 计算:(-2) 3 4 (-1) 1.2 (-1 5 4 ) (-2.5) (- 9 5 ) (-3) (-1)

32、2 (-6) 0 (-7) 知识点知识点 2 有理数乘法的运算律有理数乘法的运算律 1)正数乘法运算定律可推广到有理数中: 交换律:a b=b a 结合律:a b c=a (b c) 分配率:a (b+c)=a b+a c 注:运用运算律时,因数作为一个整体,符号要与因数一同变换 2)运用运算律的一些技巧(先当作正数计算出有理数的数值,最后在判断符号) 运用结合律,将能约分的先结合计算。如:10 5 1 3 1 小数与分数相乘,一般先将小数化为分数。如:1.27 3 带分数应先化为假分数的形式。如: 3 2 7 5 1 几个分数相乘,先约分,在相乘。如; 5 4 4 3 3 2 2 1 一个数

33、与几个数的和相乘,通常用分配律可简化计算。 如:12 ( 4 1 3 1 2 1 ) 例例 1. 计算: ) 2 1 1() 3 1 ( ) 5 1 1( 5 4 1.25 (-4) (-25) (-8) ) 15 14 3 4 8( 4 3 ) 4 1 (25 2 1 )25( 4 3 25 知识点知识点 3 倒数的概念倒数的概念 1)倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数,0 无倒数。即 a b=1(a,b0) 注:注:正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,0 无倒数。 2)相反数:仅符号不同的两个数互为相反数,0 的相反数为 0.即 a+b=0 例例 1. -1 3 1 的倒数是 ,-3.2

34、的倒数是 。 例例 2. 4 1 1的倒数与 4 的相反数的商是多少? 知识点知识点 4 有理数的除法法则有理数的除法法则 1)有理数除法法则;除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数 符号的判定看负号的数量,奇为负,偶为正 2)有理数乘除法运算步骤:绝对值运算数值 根据奇偶判断符号 例例 1.计算 -2+ 3 1 (-2) (-0.4)0.02 (-5) ) 24 1 () 6 1 2 1 4 1 ( 14 3 ) 7 2 ( 14 5 知识点知识点 5 有理数四则混合运算有理数四则混合运算 正数四则混合运算法则可推广到有理数中,先算括号里的,再算乘除,最后加减, 同级之间从左往右依次计算

35、。 例例 1.计算 ) 3 1 2 1 13 1 () 78 1 ( (-28 8 7 +14 9 7 )7 45. 118) 18 3 6 5 9 7 ( 6+3.95 6 知识点知识点 6 正负数的表示方法正负数的表示方法 有理数 a、b 例例 1.下列说法中正确的是: A.若 a+b0,则 ab0 B.若 a+b0,则 ab0,且 ab0,b0 D.若 a+b0,则 a0,b0,求式子 z z y y x x 的值 例例 2.已知 ab0 时, (-a)n=注:会出现多解问题 为奇数, 为偶数 n , n n a na 例例 1. 填空: (1) (-2)3的底数是 ,指数是 ,它表示

36、; (2)-23的底数是 ,指数是 ,它表示 。 (3) 3 ) 3 2 (的底数是 ,指数是 ,它表示 ; (4) 3 23 的底数是 ,指数是 ,它表示 。 36 知识点知识点 2 乘方运算法则乘方运算法则 1)乘方就是多个数相乘的运算,因此在运算法则中应排在加减前面;又因乘方是一个不 可分割的乘法整体,故也应排在乘除前。 那么就是,先括号,后乘方,再乘除,最后加减。 (有括号,永远是括号的等级最高) 例例 1. 计算:(-4)3; -43; (- 4 3 )3; - 4 33 ; (-1)2017; ( 2 1 1)3; -23 (-3)2; (-0.2)3 例例 2. 计算:(-2)4

37、 4 1 ) 6 1 ( 2 1 5) 3 2 2( 2 2017342 ) 1()22()2() 13 4 () 2 1 6() 3 1 3( ) 2 1 1( 3 1 1 3 2 2 1 ) 3 2 () 2 1 () 3 1 ( 222 知识点知识点 3 科学记数法科学记数法的概念的概念 1)把一个大于 10 的数表示成 a 10n的形式, (其中:1a10,n 为正整数) ,这种方法就叫做科学记数 法。 2)如何用科学记数法表示一个大数: 取 a,1a10,即 a 取为几点几的形式。 如:12300 a=1.23;12000 a=1.2 求n, n为正整数, 即要使a扩大多少个10倍,

38、 也即小数点后还有几位数字。 如12300 n=4; 12000 n=4 3)将科学记数法的数还原为原来数 a 10n中,将 a 的小数点向右移动 n 位,不够的在右边添 0。 例例 1.用科学记数法表下列各数: 2000000;-6300000;-3978.5; 89725.6;-974255.8;32 万 例例 2.把下列科学记数法表示的数写成原数: 1 104;6.25 105;-7.05 104 37 知识点知识点 4 近似数近似数与准确数与准确数 1)在许多情况下,我们难以取得准确的数或不必要使用精确数,这是我们就可以使用近似数。 2)近似数产生的原因: 测量工具精度不够 不易或不可

39、得到精确数字,如:人口普查 不必使用精确数字,如:有 20 亿元 计算产生近似数,如:除不尽 知识点知识点 5 理解精确度理解精确度 四舍五入法四舍五入法:按需要截取到指定数位时,如果省略部分的数小于 5,就直接舍去;若大于等于 5,则向前进一 位。 几种表示方式:精确到百分位;保留 2 为小数;保留 3 位有效数字 注注:取近似数时,要用约等于();保留几位小数时,若第几位为 0,也需要保留 例例 1.将 59.997 精确到个位约是( ) ,精确到十分位约是( ) ,精确到百分位约是( ) 。 例例 2.将 2.3955 保留一位有效数字约是( ) ,保留两位有效数字是( ) ,保留四位有

40、效数字是( ) 。 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 有理数的混合运算有理数的混合运算 解题技巧:解题技巧:主要是要注意混合运算的运算顺序。一级运算:加减法;二级运算:乘除法;三级 运算:乘方运算。规定:先算高级运算,再算低级运算,同级运算从左到右依次进行。 (1)有括号,先算括号里面的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行; (2)先乘方、再 乘除、最后加减; (3)同级运算,按从左往右依次进行。 当然,在准守上述计算原则的前提下,也需要灵活使用运算律,以简化运算。 例例 1. 计算:(-2)3+(-3) (-4)2-2-(-3)2(- 2 1 ) ; 1- 2 1 3 (- 3 2

41、)2-(-1)4+ 4 1 (- 2 1 )3; 3 2 3187) 1(2 7 9 9 7 3 ; ) 7 6 3()74() 7 6 3()7() 7 6 3()5( 22 38 201720172 4)25. 0( 3 1 ) 5 1 () 5 1 3 1 ( 题型题型 2 乘方的简便计算乘方的简便计算 性质:性质: 解题技巧:解题技巧:利用乘方的运算性质,将可以凑整的部分先放在一起简化运算,再求凑整后部分的 乘方运算。 例例 1. 计算: (-0.125)2016 (8)2017 例例 2. 若,求 2的值。 题型题型 3 确定末位数字确定末位数字 解题技巧:解题技巧: 此类题型通常乘

42、方运算种的幂比较大, 且无简单计算方法, 直接计算几乎无法进行。 但此类题型也并非需要求解出最终的结果,往往只需要求解这组数的末尾数字。因此,在解这 类时,我们只需要关注末位数字,通过多计算几组末尾数字,找出末尾数字的变化规律。最后 依旧变化规律,分析出最终结果。 例例 1. 试确定 22010的末位数字 例例 2. 试确定 72017-52017的个位数字 题型题型 4 由近似数估算准确数的取值范围由近似数估算准确数的取值范围 解题技巧:解题技巧: 此类题型为求近似数的逆过程, 已知近似数, 求原数的取值范围。 原数的最大值为: 近似数+精确度后一位数字为 4+精确度后剩下数为 9; 原数的

43、最小值为: (近似数精确度位数 1)+精确度后一位数字为 5+精确度后剩下数为 0. 例例 1.近似值是 1.73 的三位小数中,最大的是( ) ,最小的是( ) 。 例例 2. 由四舍五入法得到的近似数 a2.1, b2.10, 那么 a 的范围为: , b 的范围为 。 三、三、难点题型难点题型 题型题型 1 乘方在实际问题中的应用乘方在实际问题中的应用 解题技巧:解题技巧:此类题型的难点在于分析问题,建立乘方的数学模型。基本步骤为:首先从特殊情 39 形入手,逐步分析、归纳,找出变化规律;然后根据规律写出乘方数学模型;最后根据题干要 求计算结果。 例例 1.拉面师傅用一根苗条,把两头捏在

44、一起拉伸,再次捏合,再拉伸,如此反复。 (1)第四次捏合后拉成的面条是多少根? (2)捏合到第几次后可拉成 128 根面条? 例例 2. 某种细胞开始有 2 个,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分 裂成 10 个并死去 1 个。按此规律,5 小时候细胞存活的个数是多少? 题型题型 2 实际问题中的近似数实际问题中的近似数 解题技巧:解题技巧:在实际问题中,除了“四舍五入”法求近似数外,还需要用到“去尾法”和“进一法”。 “去尾法”是把一个数保留到某一指定的数位为止,后面的数字无论为多少,全部舍去。 “进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时,只要后面的数不是 0,都要在保留的最 后一位数上加 1. 例例 1.要用 50 厘米的圆钢截成 3 厘米长的一段零件,最多可以截多少段? 例例 2.某校 546 人,租用 45 座的客车秋游,应租多少辆车?

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