1、 有理数专题详解有理数专题详解 专题 01 有理数专题详解 1 1.1 正数和负数 . 5 知识框架 . 5 一、基础知识点 . 5 知识点 1 负数的产生 5 知识点 2 相反意义的量的表示方式 5 知识点 3 正数、负数及 0 的意义 5 二、典型题型 . 6 题型 1 平均数与正负数 6 题型 2 用正负数表示误差范围 7 题型 3 正负数规律探究 7 1.2 有理数 . 8 1.2.1 有理数 8 知识框架 . 8 一、基础知识点 . 8 知识点 1 有理数及相关概念 8 知识点 2 小数分类补充 8 知识点 3 有理数的分类 9 知识点 4 常用数学概念的含义 9 二、典型题型 .
2、10 题型 1 数集问题 10 题型 2 规律探究 10 1.2.2 数轴 12 知识框架 . 12 一、基础知识点 . 12 知识点 1 数轴的概念 12 知识点 2 数轴的读数与画法 12 知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 13 知识点 4 数轴与数的大小 13 二、典型题型 . 13 题型 1 利用数轴求两点间距离 13 题型 2 数轴上点的运动 14 1.2.3 相反数 16 知识框架 . 16 一、基础知识点 . 16 知识点 1 相反数的概念 16 知识点 2 相反数的意义 16 知识点 3 多重符号的化简 17 二、典型题型 . 17 题型 1 相反数的性质与
3、求法 17 题型 2 相反数与数轴相结合 17 1.2.4 绝对值 19 知识框架 . 19 一、基础知识点 . 19 知识点 1 绝对值的意义 19 知识点 2 绝对值的性质 19 知识点 3 绝对值与数的大小 20 二、典型题型 . 20 题型 1 由数求绝对值，由绝对值求数 20 题型 2 比较有理数大小的方法 20 题型 3 含有字母的绝对值的化简求值 21 题型 4 绝对值非负性的应用 22 三、难点题型 . 22 题型 1 求绝对值的值 22 题型 2 含字母绝对值的化简（复杂） 22 题型 3 借助数轴解绝对值问题 23 1.3 有理数的加减法 . 24 知识框架 . 24 一、
4、基础知识点 . 24 知识点 1 有理数的加法 24 知识点 2 有理数的加法运算律 24 知识点 3 运用运算律简化计算 25 知识点 4 有理数减法的意义 25 知识点 5 有理数的加减混合运算 25 二、典型题型 . 25 题型 1 有理数加法的应用 25 题型 2 加法运算定律的应用 26 题型 3 有理数减法的应用 26 题型 4 运用作差法比较有理数的大小 27 三、难点题型 . 27 题型 1 有理数与数轴、相反数、绝对值等知识的综合 27 题型 2 定义新运算 27 1.4 有理数的乘除法 . 29 知识框架 . 29 一、基础知识点 . 29 知识点 1 有理数的乘法法则 2
5、9 知识点 2 有理数乘法的运算律 29 知识点 3 倒数的概念 30 知识点 4 有理数的除法法则 30 知识点 5 有理数四则混合运算 31 知识点 6 正负数的表示方法 31 二、典型题型 . 33 题型 1 有理数乘除法与绝对值的综合应用 33 三、难点题型 . 33 题型 1 1 赋值问题 33 题型 2 定义新运算 33 1.5 有理数的乘方 . 35 知识框架 . 35 一、基础知识点 . 35 知识点 1 乘方的意义 35 知识点 2 乘方运算法则 36 知识点 3 科学记数法的概念 36 知识点 4 近似数与准确数 37 知识点 5 理解精确度 37 二、典型题型 . 37
6、题型 1 有理数的混合运算 37 题型 2 乘方的简便计算 38 题型 3 确定末位数字 38 题型 4 由近似数估算准确数的取值范围 38 三、难点题型 . 38 题型 1 乘方在实际问题中的应用 38 题型 2 实际问题中的近似数 . 39 1.1 正数和负数正数和负数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 负数的产生负数的产生 1） 负数：规定一种意义的量为正数，与之意义相反的量规定为负数。 知识点知识点 2 相反意义的量的表示方式相反意义的量的表示方式 1）用正负号表示相反意义量，一般用（+）表示增多等情况，用（-）表示减少量。 2）注意： a.相反意义的量
7、是成对出现的； b.相反意义的量必须是同类量； c.用正负表示时，一定要说明数量和单位； 3）在实际生活生产中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为 “0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负。 例例 1. 小明的姐姐在银行工作， 她把存入 3万元记作+3万元， 那么支取2 万元应记作_， 4 万元表示_。 例例 2.下列说法中正确的是（ ） A.上升与下降具有相反意义的量 B.前进 20m 具有相反意义的量 C.向南 50m 与向北 40m 是相反意义的量 D.收入 20 元于下降 2m 具有相反意义的量 知识点知识点 3 正数、负数及正数、负数及 0 的
8、意义的意义 1）正数：大于零的数，如 3， 2 1 ， 等，其中（+）可以省略 2）负数：小于零的数，如-1，- 4 3 ，30%等，其中（）不可以省略 3）0：正数和负数的分界线，既不是正数，也不是负数。 （0 并非表示没有） 注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义 如：+（）3，（）3 （+）-肯定 （）-否定 0a0 0 0a ， 负 数 ， 正 数 ， aa 例例 1. 下列说法中，正确的有哪些： 0 是自然数；0 既不是正数，也不是负数；0 可以表示海平面的高度；正数 比 0 大，负数比 0 小，0 是正数和负数的分界线；0 只表示什么都没有；0 是非正数。 例例
9、2. 下列说法中正确的有： 0表示没有温度；0 是最小的正数；0 是偶数，也是自然数；不带负号的数 都是正数；带负号的数不一定是负数。 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 平均数与正负数平均数与正负数 性质：性质：某一个量规定为“0”作为基准数，比基准（零）大的为正，比基准（零）小的为负 解题技巧：解题技巧：求一组数的平均数，可以用正负数的思想解决。首先目测选取这组数中较为居 中的数为基准数“0”；然后将实际数与基准数进行比较，用正负数表示这组数据，超出记为 正， 不足记为负； 接着求出这组数据正负数的平均值； 最后用正负数的平均值与基准数比较， 得出这组数的实际平均值。 例例 1.下表列
10、出了国外几个城市与北京的时差（正数表示同一时刻比北京早的时数） ： 城市 时差 城市 时差 纽约 -13 东京 1 巴黎 -7 芝加哥 -14 如果现在北京时间是 7:00，那么现在纽约时间是几点？ 例例 2.实际测量一座山的高度时， 可在若干个观测点中测量每相邻两个可视观测点的相对 高度，然后用这些相对高度计算出山的高度。下表是某次测量数据的一部分（A-C 表示 观测点 A 相对观测点 C 的高度，例如，下表第一列表示 A 比 C 高 90 米） 。 A-C C-D E-D F-E G-F B-G 90 米 80 米 -60 米 50 米 -70 米 40 米 根据这些观测的数据，观测点 A
11、 相对观测点 B 的高度时多少米？ 题型题型 2 用正负数表用正负数表示误差范围示误差范围 性质：性质：a b 表示取值范围为：ab 至 a+b 之间 解题技巧：解题技巧：首先根据 a b 的实际意义，先求出物体允许的误差范围；在将数据与 这个误差范围比较，若在这个范围内，则为合格，反之为不合格。 例例 1. 一商品的标准价格是 120 元，但随着季节的变化，商品的价格可以浮动10%。 10%的含义是什么？ 请你计算该商品的最高价格和最低价格 例例 2. 下面几个数表示的是四个足球的质量与标准质量偏差的克数， 其中质量较好的是： A.+10 B.-20 C.-5 D.+15 题型题型 3 正负
12、数规律探究正负数规律探究 解题技巧：解题技巧：规律探究题分两步寻找规律。首先寻找数字间的规律；然后再寻找正 负号间的规律；最后将正负号和数字结合起来，得到最终结果。 例例 1.观察下面排列的一列，请写出后面的数。 （1）1， ，3， ，5， ， ， （2） ， ， ， ， 例例 2. 观察这一串数字： 4 1 , 4 2 , 4 3 , 4 4 , 4 3 , 4 2 , 4 1 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 2 , 3 1 , 2 1 , 2 2 , 2 1 , 1 1 等，试 问 11 7 是第几个数？ 1.2 有理数有理数 1.2.1 有理数有理数 知识框架知识框架 一、基
13、础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数及相关概念有理数及相关概念 正整数正整数：像 1， 2， 3， 4 等这样的数叫作正整数 负整数：负整数：像1， 2， 3 等这样的数叫作负整数 正分数正分数：像 ，0.24， 1.64 等这样的数叫作正分数 负分数负分数：像 ，3.56， 0.78 等这样的数叫作负分数 整数整数：正整数、0、负整数统称为整数 分数分数：正分数、负分数统称为分数 有理数有理数：整数和分数统称为有理数 例例 1. 下列说法中，错误的有： -2 7 4 是负分数；1.5 不是整数；非负有理数不包括 0；正整数、负整数统称为有 理数；0 是最小的有理数；3.14 不是
14、有理数 例例 2. 下列说法中，正确的是： 正有理数和负有理数统称为有理数 正整数和负整数统称为整数 整数和分数统称为有理数 非正数就是指 0、负整数和所有分数 知识点知识点 2 小数分类补充小数分类补充 1）小数 2）有限小数可以转化为分数，故我们将这类小数划分为分数类。如 0.3= 无限循环小数也可以转化为分数，故我们也将这类小数划分为分数类。如 0. = 无限不循环小数不可以转化为分数，故不是分数，也不是有理数。如 知识点知识点 3 有理数的分类有理数的分类 1）分类： 按整数、分数分类 负分数 正分数 分数 负整数 正整数 整数 有理数 0 按数的正负性分 负分数 负整数 负有理数 负
15、整数 正整数 正有理数 有理数 0 注：无论怎么分类，一共有 5 类，不可重复，也不可遗漏 拓展：无理数，如 例例 1. 将下列各数填在相应位置 -50，+10，1， 5 1 ，+102， 51.2，-3.06，0，2 . 0 ，+1 13 1 ， （+2） ，2，3.12 正整数有： 分数有： 正分数有： 非正数有： 无理数有： 知识点知识点 4 常用数学概念的含义常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和 0 6）非负数：正数和 0 7）非正整数：负整数和 0 8）非
16、负整数：正整数和 0 例例 1.下列结论错误的是： A.负分数都是负有理数 B.分数中除了正分数就是负分数 C.有理数中除了分数就是小数 D.有限小数是分数，也是有理数 例例 2. 在有理数中，是整数而不是正数的数统称为： 是负数而不是分数的数统称为： 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 数集问题数集问题 性质：性质：有理数的分类 注：注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复 解题技巧：解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合 关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分 的框图，再填写单一框图部分的数据。 例例 1. 如下图所示
17、，大圆覆盖的区域表示有理数的范围，中圆覆盖的区域表示整数的范 围，小圆覆盖的区域表示正整数的范围，把下列各数填入它所属于的集合的圆内：15， ，-5，0.1，-5.32，-80，123，2.333 例例 2.请将以下数据按要求填入对应框图中：7，3.5，0，3， 2，2.5，8， 题型题型 2 规律探究规律探究 解题技巧：解题技巧： 该类题型比较灵活， 需视具体情况而定。 在有理数的规律探究题型中， 往往需要寻找两部分规律： （1）数字之间的规律； （2）正负号的规律 例例 1.有一列数：， ，求第 7 个数。 例例 2.有一列数： ，求第 5 个数和第 6 个数。 例例 3. 如下表所示，从
18、左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻 格子中所填整数之和都相等，则第 2019 个格子中的数为： 3 a b c -1 2 . 1.2.2 数轴数轴 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 数轴的概念数轴的概念 1）数轴数轴：用一条直线上的点表示数，这条直线叫作数轴 2）三要素三要素：原点参考点，正负数分界点； 方向一般选取向右为正方向； 单位长度同一条数轴上的单位长度应当一致 例例 1.画数轴需要三个条件，即 、 方向和 长度。 （三要素） 知识点知识点 2 数轴的读数与画法数轴的读数与画法 1）数轴的读数数轴的读数：在原点的左边，则为正数，在数
19、轴的右边，则为负数。 2）画数轴步骤画数轴步骤：a.直线 b.确定原点 c.选正方向（通常从原点向右或向上定 位正方向） d.选取单位长度（选取适当长度为单位长度，直线上从原点向右， 每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，；从原点向左，用类似方法 依次表示1，2，3，） e.标数（用实心点标数） 例例 1. .下图是几位同学所画数轴，其中正确的是： 例例 2. 如下图所示，在数轴上的点 M 表示的数可能是： A.1.5 B.-1.5 C.-2.4 D.2.4 知识点知识点 3 数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合）数轴上的点与有理数之间的关系（数形结合） 1）数轴上的点并不是都是有
20、理数 2）正方向可以不按照常规方向选取 3）a0，与原点的距离是 a，在数轴上可以是a（存在多解的情况） 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向 例例 1. 下列说法中正确的是： A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B.数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数 C.有理数如- 100 1 在数轴上无法表示出来 D.任何一个有理数都可以再数轴上找到它对应的唯一点 例例 2. 数轴上点 A 到原点的距离是 2， 点 B 到原点的距离是 3， 则 A， B 两点的距离是多少？ 知识点知识点 4 数轴与数的大小数轴与数的大小 1）正方向上，离原点越远，数越大 2）负方向上，离原点越近，数越大（
21、负数数字越大，结果反而越小） 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。 例例 1. 下表是四个城市今年二月份某天的气温，请画出数轴，并依据数轴判断气温最低的城市是 哪个。 城市 吐鲁番 乌鲁木齐 喀什 阿勒泰 气温 -8 -16 5 -25 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 利用数轴求两点间距离利用数轴求两点间距离 注：注：距离没有方向性，所以到某点的距离为 a 的点一般有两个 解题技巧：解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为 a，意味 着这个点可以在参考点左边距离为a的位置， 也可在参考点右边距离为a的位置。 因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的
22、数轴，读出两点之间 的距离。 例例 1.如图，数轴上标出的所以点中，相邻两点间的距离都相等，已知点 A 表示 16，点 G 表示 8. （1）表示原点的点是： ，点 C 表示的数是： （2）若数轴上有两点 M，N，点 M 到点 E 的距离为 4，点 N 到点 E 的距离是 3，求点 M，N 之间的距离。 （3）点 P 为数轴上一点，且表示的数是整数，点 P 到 A 点的距离与 P 到 G 点的距离之和为 24，则这样的 P 点有 个。 题型题型 2 数轴上点的运动数轴上点的运动 性质：性质：数轴数形结合的应用 注：注：若题干中有说明运动的方向，则结果为唯一确定值；若未说明运动的方向，则也 会存
23、在向左右两边运动的多解情况。 解题技巧：解题技巧：此类题型考察的是数轴数形结合的应用。先画出数轴，根据题干要求 标出参考点；再根据题干要求进行相应的运动，确定最终位置并解答题目。需注 意点为：若运动过程中未指出运动方向，则会存在多解情况。 例例 1. 点 P 从数轴（向右为正方向）上的1 出发，分别按照下列条件移动两次后到达 终点，说出点 P 在终点时所表示的数。 （1）先向右移动 3 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度； （2）先向右移动 2 个单位长度，再向左移动 3 个单位长度。 例例 2. 数轴上点 A 对应的数是-1，一只小虫从点 A 出发，沿着数轴以每秒钟 4 个单位的速度爬
24、行至点 B，再立即沿原路返回至点 A，共用 9 秒钟。 （1）小虫爬行的路程是多少个单位长度？ （2）点 B 对应的数是多少？ 1.2.3 相反数相反数 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 相反数的概念相反数的概念 相反数相反数：像 2 和2、5 和5、3 和3 这样，只有符号不同的两个数互为相反数（注：0 的相反数是 0） 注：相反数是成对出现的 知识点知识点 2 相反数的意义相反数的意义 （1）代数意义代数意义：只有符号不同的两个数，一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0 （2）几何意义：几何意义：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数互为相反
25、 数。 例例 1.在数轴上描出表示 5、2、5、+2 这四个数的点。 观察上图并填空： 数轴上与原点的距离是 2 的点有 个，这些点表示的数 是 ；与原点的距离是 5 的点有 个，这些点表示的数是 。从上面 问题可以看出，一般地，如果 a 是一个正数，那么数轴上与原点的距离是 a 的点有两个，即 一个表示 a，另一个是 ，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对 称。 例例 2.2017 的相反数是： A.2017 B.-2017 C. 2017 1 D.- 2017 1 例例 3.下列说法中正确的是： A.正数和负数互为相反数 B.任何一个数的相反数都与它本身不同 C.任何一个数
26、都有它的相反数 D.数轴上原点两侧的两个点表示的数互为相反数 知识点知识点 3 多重符号的化简多重符号的化简 1）“-”表示否 “+”表示是 2）看“-”的个数，奇数个为负，偶数个为正。“+”个数不影响结果。 3）a.负负得正 b.负正得负 c.正正得正 例 1. 化简下列各数： a.-（-12） b.-（+5） c.+（-6） d.+（+3） e.-（-3） f.-+（-a） 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 相反数的性质与求法相反数的性质与求法 性质：性质：a.除 0 外，一组相反数一定是一正一负 b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量） c.一组相反
27、数的和为 0 解题技巧：解题技巧： （1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性 质 b，直接在这个数前面添加“”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。 （2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质 c，将两个数相加和 为 0，表示成方程的形式，直接解方程即可。 例例 1.若-a 不是负数，则 a： A.是正数 B.不是负数 C.是负数 D.不是正数 例例 2.求 a-b 的相反数 例例 3.已知 2a-1 与 7- 2 1 a 互为相反数，则 a 的值是： 例例 4.如果 a，b 都是有理数，在什么条件下：a+b 与 a-b 互为相反数 题型题型 2 相反数与数轴相结合相反
28、数与数轴相结合 性质：性质：相反数几何意义为数轴上原点两旁，与原点距离相等的点所表示的数。 解题技巧：解题技巧：利用相反数的几何意义，先在数轴上表示出互为相反数的两个点，在 根据题干要求，利用数轴分析求解题目。 例例 1.有理数 x，y 在数轴上的对应点如图所示： 试把 x，y，0，-x，-y 这五个数按从大到小的顺序排列 例例 2. 已知数轴上点 A 和点 B 分别表示互为相反数的两个数 a 和 b（ab） ，且 A，B 两点间 的距离是 6，则 a 和 b 分别是多少？ 1.2.4 绝对值绝对值 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 绝对值的意义绝对值的意义 绝
29、对值绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作a 例例 1. 求下列各的绝对值 -2.1 +（-3） - 3 2 例例 2.下图中两点距离原点的距离以及对应的绝对值分别是多少，发现了什么规律？ 例例 3.若a=-a，则数 a 在数轴上的对应点一定在： A.原点左侧 B.原点或原点左侧 C.原点右侧 D.原点或原点右侧 知识点知识点 2 绝对值的性质绝对值的性质 1）绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a0，即： 0, 0, 0 0, aa a aa a 2）互为相反数的两个数绝对值相等 例例 1. 下列说法中正确的是： A.a一定是正数 B.a不是正数 C.-a是负
30、数 D.a不是负数 知识点知识点 3 绝对值与数的大小绝对值与数的大小 1）正数大于 0，0 大于负数。 2）理解：绝对值是指距离原点的距离 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。 例例 1. 排序： 5 4 ， 3 2 ， 4 5 ，0，2. 例例 2. （1）若 a0，则 a+b=+（a+b） （2）.若 a0，bb； 当 ab=0 时，a=b； 当 aba+c；a+c0 例例 2. 若3x与42 y互为相反数，求 x+y 的值。 题型题型 2 定义新运算定义新运算 解题技巧：解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的 运算规则，将题干写成有
31、理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法 则求解最终答案。 例例 1.将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行 2 列，两边各加一条竖线后记作，定 义。计算。 例例 2.定义一种运算，规定 ab=。计算 23。 1.4 有理数的乘除法有理数的乘除法 知识框架知识框架 一、基础知识点一、基础知识点 知识点知识点 1 有理数的乘法法则有理数的乘法法则 1）规律：几个非零数相乘，值为绝对值相乘，符号由负号个数确定（奇数个为 负，偶数个为正） 任何数乘 0，积为 0 例例 1. 计算：（-2） 3 4 （-1） 1.2 （-1 5 4 ） （-2.5） （- 9 5 ） （-3） （-1）
32、2 （-6） 0 （-7） 知识点知识点 2 有理数乘法的运算律有理数乘法的运算律 1）正数乘法运算定律可推广到有理数中： 交换律：a b=b a 结合律：a b c=a （b c） 分配率：a （b+c）=a b+a c 注：运用运算律时，因数作为一个整体，符号要与因数一同变换 2）运用运算律的一些技巧（先当作正数计算出有理数的数值，最后在判断符号） 运用结合律，将能约分的先结合计算。如：10 5 1 3 1 小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：1.27 3 带分数应先化为假分数的形式。如： 3 2 7 5 1 几个分数相乘，先约分，在相乘。如； 5 4 4 3 3 2 2 1 一个数
33、与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。 如：12 （ 4 1 3 1 2 1 ） 例例 1. 计算： ) 2 1 1() 3 1 ( ) 5 1 1( 5 4 1.25 （-4） （-25） （-8） ) 15 14 3 4 8( 4 3 ) 4 1 (25 2 1 )25( 4 3 25 知识点知识点 3 倒数的概念倒数的概念 1）倒数：乘积是 1 的两个数互为倒数，0 无倒数。即 a b=1（a，b0） 注：注：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 无倒数。 2）相反数：仅符号不同的两个数互为相反数，0 的相反数为 0.即 a+b=0 例例 1. -1 3 1 的倒数是 ，-3.2
34、的倒数是 。 例例 2. 4 1 1的倒数与 4 的相反数的商是多少？ 知识点知识点 4 有理数的除法法则有理数的除法法则 1）有理数除法法则；除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数 符号的判定看负号的数量，奇为负，偶为正 2）有理数乘除法运算步骤：绝对值运算数值 根据奇偶判断符号 例例 1.计算 -2+ 3 1 （-2） （-0.4）0.02 （-5） ) 24 1 () 6 1 2 1 4 1 ( 14 3 ) 7 2 ( 14 5 知识点知识点 5 有理数四则混合运算有理数四则混合运算 正数四则混合运算法则可推广到有理数中，先算括号里的，再算乘除，最后加减， 同级之间从左往右依次计算
35、。 例例 1.计算 ) 3 1 2 1 13 1 () 78 1 ( （-28 8 7 +14 9 7 ）7 45. 118) 18 3 6 5 9 7 ( 6+3.95 6 知识点知识点 6 正负数的表示方法正负数的表示方法 有理数 a、b 例例 1.下列说法中正确的是： A.若 a+b0，则 ab0 B.若 a+b0，则 ab0，且 ab0，b0 D.若 a+b0，则 a0，b0，求式子 z z y y x x 的值 例例 2.已知 ab0 时， （-a）n=注：会出现多解问题 为奇数， 为偶数 n , n n a na 例例 1. 填空： （1） （-2）3的底数是 ，指数是 ，它表示
36、； （2）-23的底数是 ，指数是 ，它表示 。 （3） 3 ) 3 2 (的底数是 ，指数是 ，它表示 ； （4） 3 23 的底数是 ，指数是 ，它表示 。 36 知识点知识点 2 乘方运算法则乘方运算法则 1）乘方就是多个数相乘的运算，因此在运算法则中应排在加减前面；又因乘方是一个不 可分割的乘法整体，故也应排在乘除前。 那么就是，先括号，后乘方，再乘除，最后加减。 （有括号，永远是括号的等级最高） 例例 1. 计算：（-4）3； -43； （- 4 3 ）3； - 4 33 ； （-1）2017； （ 2 1 1）3； -23 （-3）2； （-0.2）3 例例 2. 计算：（-2）4
37、 4 1 ) 6 1 ( 2 1 5) 3 2 2( 2 2017342 ) 1()22()2() 13 4 () 2 1 6() 3 1 3( ) 2 1 1( 3 1 1 3 2 2 1 ) 3 2 () 2 1 () 3 1 ( 222 知识点知识点 3 科学记数法科学记数法的概念的概念 1）把一个大于 10 的数表示成 a 10n的形式， （其中：1a10，n 为正整数） ，这种方法就叫做科学记数 法。 2）如何用科学记数法表示一个大数： 取 a，1a10，即 a 取为几点几的形式。 如：12300 a=1.23；12000 a=1.2 求n， n为正整数， 即要使a扩大多少个10倍，
38、 也即小数点后还有几位数字。 如12300 n=4； 12000 n=4 3）将科学记数法的数还原为原来数 a 10n中，将 a 的小数点向右移动 n 位，不够的在右边添 0。 例例 1.用科学记数法表下列各数： 2000000；-6300000；-3978.5； 89725.6；-974255.8；32 万 例例 2.把下列科学记数法表示的数写成原数： 1 104；6.25 105；-7.05 104 37 知识点知识点 4 近似数近似数与准确数与准确数 1）在许多情况下，我们难以取得准确的数或不必要使用精确数，这是我们就可以使用近似数。 2）近似数产生的原因： 测量工具精度不够 不易或不可
39、得到精确数字，如：人口普查 不必使用精确数字，如：有 20 亿元 计算产生近似数，如：除不尽 知识点知识点 5 理解精确度理解精确度 四舍五入法四舍五入法：按需要截取到指定数位时，如果省略部分的数小于 5，就直接舍去；若大于等于 5，则向前进一 位。 几种表示方式：精确到百分位；保留 2 为小数；保留 3 位有效数字 注注：取近似数时，要用约等于（）；保留几位小数时，若第几位为 0，也需要保留 例例 1.将 59.997 精确到个位约是（ ） ，精确到十分位约是（ ） ，精确到百分位约是（ ） 。 例例 2.将 2.3955 保留一位有效数字约是（ ） ，保留两位有效数字是（ ） ，保留四位有
40、效数字是（ ） 。 二、典型题型二、典型题型 题型题型 1 有理数的混合运算有理数的混合运算 解题技巧：解题技巧：主要是要注意混合运算的运算顺序。一级运算：加减法；二级运算：乘除法；三级 运算：乘方运算。规定：先算高级运算，再算低级运算，同级运算从左到右依次进行。 （1）有括号，先算括号里面的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行； （2）先乘方、再 乘除、最后加减； （3）同级运算，按从左往右依次进行。 当然，在准守上述计算原则的前提下，也需要灵活使用运算律，以简化运算。 例例 1. 计算：（-2）3+（-3） （-4）2-2-（-3）2（- 2 1 ） ； 1- 2 1 3 （- 3 2
41、）2-（-1）4+ 4 1 （- 2 1 ）3； 3 2 3187) 1(2 7 9 9 7 3 ； ) 7 6 3()74() 7 6 3()7() 7 6 3()5( 22 38 201720172 4)25. 0( 3 1 ) 5 1 () 5 1 3 1 ( 题型题型 2 乘方的简便计算乘方的简便计算 性质：性质： 解题技巧：解题技巧：利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的 乘方运算。 例例 1. 计算： （-0.125）2016 （8）2017 例例 2. 若，求 2的值。 题型题型 3 确定末位数字确定末位数字 解题技巧：解题技巧： 此类题型通常乘
42、方运算种的幂比较大， 且无简单计算方法， 直接计算几乎无法进行。 但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这 类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后 依旧变化规律，分析出最终结果。 例例 1. 试确定 22010的末位数字 例例 2. 试确定 72017-52017的个位数字 题型题型 4 由近似数估算准确数的取值范围由近似数估算准确数的取值范围 解题技巧：解题技巧： 此类题型为求近似数的逆过程， 已知近似数， 求原数的取值范围。 原数的最大值为： 近似数+精确度后一位数字为 4+精确度后剩下数为 9； 原数的
43、最小值为： （近似数精确度位数 1）+精确度后一位数字为 5+精确度后剩下数为 0. 例例 1.近似值是 1.73 的三位小数中，最大的是（ ） ，最小的是（ ） 。 例例 2. 由四舍五入法得到的近似数 a2.1， b2.10， 那么 a 的范围为： ， b 的范围为 。 三、三、难点题型难点题型 题型题型 1 乘方在实际问题中的应用乘方在实际问题中的应用 解题技巧：解题技巧：此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情 39 形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要 求计算结果。 例例 1.拉面师傅用一根苗条，把两头捏在
44、一起拉伸，再次捏合，再拉伸，如此反复。 （1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？ （2）捏合到第几次后可拉成 128 根面条？ 例例 2. 某种细胞开始有 2 个，1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个，2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个，3 小时后分 裂成 10 个并死去 1 个。按此规律，5 小时候细胞存活的个数是多少？ 题型题型 2 实际问题中的近似数实际问题中的近似数 解题技巧：解题技巧：在实际问题中，除了“四舍五入”法求近似数外，还需要用到“去尾法”和“进一法”。 “去尾法”是把一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数字无论为多少，全部舍去。 “进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是 0，都要在保留的最 后一位数上加 1. 例例 1.要用 50 厘米的圆钢截成 3 厘米长的一段零件，最多可以截多少段？ 例例 2.某校 546 人，租用 45 座的客车秋游，应租多少辆车？
