河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考（全国卷）数学（理）试题（解析版）.doc

1、 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 若集合|0Bx x，且ABA，则集合A可能是（ ） A 1,2 B|1x x C1,0,1 DR 【答案】A 【解析】 试题分析：因为ABA，所以AB，下列选项中只有选项 A 中的集合是集合B的子集，故选 A. 考点：集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈 现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、 补运算；2.连续型数集间

2、的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参 数的值（或求参数的范围）. 2. 复数 1 i z i 的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算. 3. 已知平面向量, a b满足 5a ab，且2,1ab，则向量a与b夹角的余弦值为（ ） A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】C 【解析】 试题分析： 2 2 ()cos,42cos,5aabaa baa ba ba b ，所以 1 cos, 2 a b， 故选 C.来源:Z （2） 若新政策实施后的

3、 2016 年到 2035 年人口平均值超过49万， 则需调整政策， 否则继续实施, 问到 2035 年后是否需要调整政策？（说明: 10 10 0.991 0.010.9）. 【答案】 （1） 10 45.50.51 ,110 50 0.99,11 n n nn a n ； （2）到2035年不需要调整政策. （2）设 n S n S为数列 n a的前n项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和 公式得： 10 2010111220 .477.549501 0.99972.5SSaaa 万 新政策实施到2035年年人口均值为 20 48.6349 20 S 故到2

4、035年不需要调整政策 考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式， 属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将 等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作 方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 18. （本小题满分 12 分） 如图, 已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB

5、 ,且 2,1,ABBPADAEAEAB ,且 AEBP . （1） 设点M为棱PD中点, 在面ABCD内是否存在点N,使得MN 平面ABCD？若存在, 请证明, 若 不存在, 说明理由; （2）求二面角DPEA的余弦值. 【答案】(1)存在点N，为BD中点；(2) 2 3 . （2）以 A 为原点，AE，AB，AD 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立坐标系， AD平面 PEA 平面 PEA 的法向量) 1 , 0 , 0( 1 ADn 另外) 1 , 0 , 0(D，)0 , 0 , 1 (E，)0 , 2 , 2(P ) 1, 0 , 1 (DE，) 1, 2 , 2(DP,设平面 DPE

6、 的法向量),( 2 zyxn ，则 022 0 zyx zx ，令1x，得) 1 , 2 1 , 1 ( 2 n 3 2 ,cos 21 nn 又APED为锐二面角,所以二面角APED的余弦值为 3 2 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.来源:ZXXK 19. （本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次1,2,.8，其中 5X 为 标准A， 3X 为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B生 产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数 1 X的

7、概率分布列如下所示： 1 X 5 6 7 8 P 0.4来源: a b 0.1 且 1 X的数学期望 1 6E X,求, a b的值; （2） 为分析乙厂产品的等级系数 2 X， 从该厂生产的产品中随机抽取30件， 相应的等级系数组成一个样本， 数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2 X的数学期望； （3）在（1） 、 （2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注： 产品的“性价比”； “性价比”大的产品更具可购买性. 【答案】(1)0.3,0.2ab;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. （2）由已知得

8、，样本的频率分布表如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2的概率分布列如下： 2 X 3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以， 2 3 0.34 0.25 0.26 0.1 7 0.1 8 0.14.8EX 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下： 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元

9、/件，所以其性价比为 4.8 1.2 4 据此，乙厂的产品更具可购买性。 考点：1.离散型随机变量的概率分布列与期望；2.用样本的数据特征估计总体. 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形，直线3460xy与圆 2 22 xyba相切. （1）求椭圆C的方程; （2）已知椭圆C的左顶点A的两条直线 12 ,l l分别交椭圆C于,M N两点, 且 12 ll,求证: 直线MN过定 点, 并求出定点坐标； (3) 在(2) 的条件下求AMN面积的最大值. 【答案】(1) 2 2 1 4 x y;(2)过定点 6

10、 (,0) 5 ，证明见解析；(3) 16 25 . i) 1m 时， 2 5 4(1) MN m k m 2 56 :() 4(1)5 MN m lyx m 过定点 6 (,0) 5 ii) 1m时 6 : 5 MN lx 过点 6 (,0) 5 MN l过定点 6 (,0) 5 （3）由（2）知 3 2242 244 8 54414174 AMN mmmm S mmmm 2 1 8 8 119 4()94 1 m m mm mm m m 令 1 21tmm m 且时取等号 16 1 25 Sm 且时去等号， max 16 25 S 考点：1.椭圆的标准方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭

11、圆的位置关系；4.基本不等式. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题； 解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定 线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注 意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21. （本小题满分 12 分）已知函数 1 x f xa xea(常数0aRa且). （1）证明: 当0a时, 函数 f x有且只有一个极值点; （2）若函数 f x存在两个极

12、值点 12 ,x x,证明: 12 22 44 00f xf x ee 且. 【答案】(1)(2)均见解析. （1）当0x时， 0h xfx，所以 0fx 无解，则函数 f x 不存在大于零的极值点； 当0x时，由 10 x h xa xe，故 h x在 0,) 上单调递增. 又 2 00ha， ， 0 a haaa ea 所以 h xfx在0,) 上有且只有一个零点. 3 分 又注意到在 fx的零点左侧， 0fx ，在 fx的零点右侧， 0fx ， 所以函数 f x在0,)有且只有一个极值点. 综上所述，当0a 时，函数 f x在(,) 内有且只有一个极值点. 4 分 （2）因为函数)(xf

13、存在两个极值点 12 ,x x（不妨设 12 xx） ， 所以 12 ,x x,是 h xfx的两个零点，且由（1）知，必有0a. 令 10 x h xa xe得1x ； 令 1 x h xa xe0 得1x； 将代数式 232 2 t ettt 视为以t为自变量的函数 232 2 t g tettt 则 gt 22 121 t ett . 当1t 时，因为 2 10,210tt ，所以 0g t ， 则 g t在(, 1) 单调递增. 因为 1 1x ，所以 1 f x 1 2 4 1g xg e ， 又因为 11 2 2232 111111 210 xx f xexxxex x，所以 1

14、2 4 0fx e . 当10t 时，因为 2 10,210tt ，所以 0g t ， 则 g t在( 1,0)单调递减， 因为 2 10x ，所以 22 2 4 001gg xf xg e . 综上知， 1 2 4 0fx e 且 2 2 4 0f x e 12 分 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与不等式. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图, ,A B C D 四点在同一个圆上，BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上. （1）若 11 , 32 ECED

15、EBEA ,求 DC AB 的值; （2）若 2 EFFA FB,证明:EFCD. 【答案】(1) 6 6 ;(2)见解析. 考点：1.三角形相似；2.圆的性质与应用. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线l的参数方程为: 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数), 曲线C的极坐标方程为:4cos. （1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; （2）设直线l与曲线C相交于,P Q两点, 求PQ的值. 【答案】(1) 曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy, l 的普通方程为- 3 +10xy;(2)7. 考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义. 24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 223,12f xxaxg xx . （1）解不等式 5g x ; （2）若对任意 1 xR,都有 2 xR,使得 12 f xg x成立, 求实数a的取值范围. 【答案】(1) | 24xx ;(2) , 51, . 考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数值域的求法.