1、 第卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 若集合|0Bx x,且ABA,则集合A可能是( ) A 1,2 B|1x x C1,0,1 DR 【答案】A 【解析】 试题分析:因为ABA,所以AB,下列选项中只有选项 A 中的集合是集合B的子集,故选 A. 考点:集合的运算. 【名师点睛】本题考查集合的运算;容易题;有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题形式呈 现,试题难度不大,多为低档题,对集合运算的考查主要有以下几个命题角度:1.离散型数集间的交、并、 补运算;2.连续型数集间
2、的交、并、补运算;3.已知集合的运算结果求集合;4.已知集合的运算结果求参 数的值(或求参数的范围). 2. 复数 1 i z i 的共轭复数在复平面上对应的点在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 考点:1.复数的相关概念;2.复数的运算. 3. 已知平面向量, a b满足 5a ab,且2,1ab,则向量a与b夹角的余弦值为( ) A 3 2 B 3 2 C 1 2 D 1 2 【答案】C 【解析】 试题分析: 2 2 ()cos,42cos,5aabaa baa ba ba b ,所以 1 cos, 2 a b, 故选 C.来源:Z (2) 若新政策实施后的
3、 2016 年到 2035 年人口平均值超过49万, 则需调整政策, 否则继续实施, 问到 2035 年后是否需要调整政策?(说明: 10 10 0.991 0.010.9). 【答案】 (1) 10 45.50.51 ,110 50 0.99,11 n n nn a n ; (2)到2035年不需要调整政策. (2)设 n S n S为数列 n a的前n项和,则从2016 年到2035年共20年,由等差数列及等比数列的求和 公式得: 10 2010111220 .477.549501 0.99972.5SSaaa 万 新政策实施到2035年年人口均值为 20 48.6349 20 S 故到2
4、035年不需要调整政策 考点:1.数列的应用;2.等差数列的通项公式与求和公式;3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式, 属中档题;等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将 等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作 方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB
5、 ,且 2,1,ABBPADAEAEAB ,且 AEBP . (1) 设点M为棱PD中点, 在面ABCD内是否存在点N,使得MN 平面ABCD?若存在, 请证明, 若 不存在, 说明理由; (2)求二面角DPEA的余弦值. 【答案】(1)存在点N,为BD中点;(2) 2 3 . (2)以 A 为原点,AE,AB,AD 所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立坐标系, AD平面 PEA 平面 PEA 的法向量) 1 , 0 , 0( 1 ADn 另外) 1 , 0 , 0(D,)0 , 0 , 1 (E,)0 , 2 , 2(P ) 1, 0 , 1 (DE,) 1, 2 , 2(DP,设平面 DPE
6、 的法向量),( 2 zyxn ,则 022 0 zyx zx ,令1x,得) 1 , 2 1 , 1 ( 2 n 3 2 ,cos 21 nn 又APED为锐二面角,所以二面角APED的余弦值为 3 2 考点:1.线面垂直的判定与性质;2.空间向量的应用.来源:ZXXK 19. (本小题满分 12 分)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次1,2,.8,其中 5X 为 标准A, 3X 为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B生 产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. (1)已知甲厂产品的等级系数 1 X的
7、概率分布列如下所示: 1 X 5 6 7 8 P 0.4来源: a b 0.1 且 1 X的数学期望 1 6E X,求, a b的值; (2) 为分析乙厂产品的等级系数 2 X, 从该厂生产的产品中随机抽取30件, 相应的等级系数组成一个样本, 数据如下: 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 2 X的数学期望; (3)在(1) 、 (2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由. 注: 产品的“性价比”; “性价比”大的产品更具可购买性. 【答案】(1)0.3,0.2ab;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性. (2)由已知得
8、,样本的频率分布表如下: 2 X 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数 X2的概率分布列如下: 2 X 3 4 5 6 7 8 p 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以, 2 3 0.34 0.25 0.26 0.1 7 0.1 8 0.14.8EX 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ,价格为6 元/件,所以其性价比为 6 1 6 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ,价格为4 元
9、/件,所以其性价比为 4.8 1.2 4 据此,乙厂的产品更具可购买性。 考点:1.离散型随机变量的概率分布列与期望;2.用样本的数据特征估计总体. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三 角形,直线3460xy与圆 2 22 xyba相切. (1)求椭圆C的方程; (2)已知椭圆C的左顶点A的两条直线 12 ,l l分别交椭圆C于,M N两点, 且 12 ll,求证: 直线MN过定 点, 并求出定点坐标; (3) 在(2) 的条件下求AMN面积的最大值. 【答案】(1) 2 2 1 4 x y;(2)过定点 6
10、 (,0) 5 ,证明见解析;(3) 16 25 . i) 1m 时, 2 5 4(1) MN m k m 2 56 :() 4(1)5 MN m lyx m 过定点 6 (,0) 5 ii) 1m时 6 : 5 MN lx 过点 6 (,0) 5 MN l过定点 6 (,0) 5 (3)由(2)知 3 2242 244 8 54414174 AMN mmmm S mmmm 2 1 8 8 119 4()94 1 m m mm mm m m 令 1 21tmm m 且时取等号 16 1 25 Sm 且时去等号, max 16 25 S 考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的几何性质;3.直线与椭
11、圆的位置关系;4.基本不等式. 【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式,属难题; 解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种:(1)从特殊入手,求出定点、定值、定线,再证明定点、定值、定 线与变量无关;(2)直接计算、推理,并在计算、推理的过程中消去变量,从而得到定点、定值、定线.应注 意到繁难的代数运算是此类问题的特点,设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 1 x f xa xea(常数0aRa且). (1)证明: 当0a时, 函数 f x有且只有一个极值点; (2)若函数 f x存在两个极
12、值点 12 ,x x,证明: 12 22 44 00f xf x ee 且. 【答案】(1)(2)均见解析. (1)当0x时, 0h xfx,所以 0fx 无解,则函数 f x 不存在大于零的极值点; 当0x时,由 10 x h xa xe,故 h x在 0,) 上单调递增. 又 2 00ha, , 0 a haaa ea 所以 h xfx在0,) 上有且只有一个零点. 3 分 又注意到在 fx的零点左侧, 0fx ,在 fx的零点右侧, 0fx , 所以函数 f x在0,)有且只有一个极值点. 综上所述,当0a 时,函数 f x在(,) 内有且只有一个极值点. 4 分 (2)因为函数)(xf
13、存在两个极值点 12 ,x x(不妨设 12 xx) , 所以 12 ,x x,是 h xfx的两个零点,且由(1)知,必有0a. 令 10 x h xa xe得1x ; 令 1 x h xa xe0 得1x; 将代数式 232 2 t ettt 视为以t为自变量的函数 232 2 t g tettt 则 gt 22 121 t ett . 当1t 时,因为 2 10,210tt ,所以 0g t , 则 g t在(, 1) 单调递增. 因为 1 1x ,所以 1 f x 1 2 4 1g xg e , 又因为 11 2 2232 111111 210 xx f xexxxex x,所以 1
14、2 4 0fx e . 当10t 时,因为 2 10,210tt ,所以 0g t , 则 g t在( 1,0)单调递减, 因为 2 10x ,所以 22 2 4 001gg xf xg e . 综上知, 1 2 4 0fx e 且 2 2 4 0f x e 12 分 考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与不等式. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ,A B C D 四点在同一个圆上,BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上. (1)若 11 , 32 ECED
15、EBEA ,求 DC AB 的值; (2)若 2 EFFA FB,证明:EFCD. 【答案】(1) 6 6 ;(2)见解析. 考点:1.三角形相似;2.圆的性质与应用. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合,直线l的参数方程为: 3 1 2 ( 1 2 xt t yt 为参数), 曲线C的极坐标方程为:4cos. (1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程; (2)设直线l与曲线C相交于,P Q两点, 求PQ的值. 【答案】(1) 曲线C的直角坐标方程为 2 2 24xy, l 的普通方程为- 3 +10xy;(2)7. 考点:1.极坐标与直角坐标的互化;2,参数方程与普通方程的互化;3.直线参数方程参数的几何意义. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 223,12f xxaxg xx . (1)解不等式 5g x ; (2)若对任意 1 xR,都有 2 xR,使得 12 f xg x成立, 求实数a的取值范围. 【答案】(1) | 24xx ;(2) , 51, . 考点:1.含绝对值不等式的解法;2.含绝对值函数值域的求法.