1、第第二二章章一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式宫宫春雨制作春雨制作1.掌握基本不等式的内容，了解基本不等式的证明过程.学 习 目 标学 习 目 标2.理解基本不等式最值定理（一正、二定、三相等）；3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.重点：目标1，2，3；重 点 难 点重 点 难 点难点：用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.一一、重要不等式重要不等式复习巩固复习巩固【证明一】22,a bab设两条直角边分别为、则斜边长（即正方形的边长）为 ；+4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2b2，由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，所以有：a2b
2、22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab.【证明二】对对a，bR，(ab)20，因为：因为：a2b22ab(ab)2.二二、基本不等式基本不等式：如果a0，b0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得 到什么样结论？222（【】：）+（）+设a,bR,b则aab解解2：+即a bab12习惯：）表示成+（a bab当且仅当时，等立。=号成a b2,a ba b（1）式就是著名的，其中叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均+数。基本不等a bab式表明：两个证书的算术平均数不小于他们的【基本不几何等式】平均数。【问题】上述不等式是在重要不
3、等式基础上转化出来的，是否对所有的a0，b0都能成立？请给出证明.提示方法一(作差法)当且仅当ab时，等号成立.【问题】上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a0，b0都能成立？请给出证明.方法二(性质法)当且仅当ab时，等号成立.【问题】上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a0，b0都能成立？请给出证明.方法三(利用几何意义证明)如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，ACa，BCb，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，由于CD小于或等于圆的半径，由此也可以得出圆的半径不小于半弦.新知学习新知学习+设a,bR,则a+bab，2三、三、求求简单代数式的最
4、值简单代数式的最值解因为x0，因为x0，故原式的最大值为4.解因为x1，故有x10，因此所求最小值为5.【悟】在利用基本不等式求最值时要注意三点:(1)各项；(2)寻求，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；(3)考虑成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时 的x的值是否为已知范围内的值，故三点缺一不可.四四、最值定理最值定理问题4 4你能写出基本不等式的几种变形吗？由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值.新知学习新知学习+a+bab，2设a,bR,则当且仅当a=b时，等
5、号成立。(二（）（一正）（三）相等定+min1时，（ab=p(定值a+b）2a=a、bR,b;p=，）(二）（）（）一三正相等定+max2（2）时，（a+b=s(定ab）=值a=a、bR,，;s4）b最值定理最值定理例2 2(1)设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为A.80 B.77C.81 D.82解析因为x0，y0，当且仅当xy9时，(xy)max81.(2)已知0 x ，则yx(12x)的最大值为_.【悟】拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数 的调整，做到等价转换；代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；拆项、添项应注意检验利用
6、基本不等式的前提.练练2 2(1)当x取什么值时，x2 取得最小值？最小值是多少？(2)已知1x1，求1x2的最大值.解当x1时，1x20.当且仅当1x1x，即x0时取等号.1x2的最大值为1，此时x0.当1x0,1x0，(1)基本不等式的推导与证明.(2)求简单代数式的最值.(3)最值定理.课堂小结课堂小结利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一 不可，尤其是“当且仅当，等号成立”这八个字，更是不能缺少.随堂演练随堂演练1.不等式a212a中等号成立的条件是A.a1 B.a1C.a1 D.a01234解析当a212a，即(a1)20，即a1时，等号成立.1234123412344.当a，bR时，下列不等关系成立的是_.本课结束本课结束
