1、 - 1 - 大题考法专训(七)大题考法专训(七) 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 A 级级中档题保分练中档题保分练 1 (2019 济南模拟济南模拟)已知函数已知函数 f(x)asin xbcos x(a, bR), 曲线, 曲线 yf(x)在点在点 3, ,f 3 处处 的切线方程为的切线方程为 yx 3. (1)求求 a,b 的值;的值; (2)求函数求函数 g(x) f x 3 x 在在 0, 2 上的最小值上的最小值 解:解:(1)由切线方程知,当由切线方程知,当 x 3时, 时,y0, f 3 3 2 a1 2b 0. f(x)acos xbsin x
2、, 由切线方程知,由切线方程知,f 3 1 2a 3 2 b1. a1 2, ,b 3 2 . (2)由由(1)知,知,f(x)1 2sin x 3 2 cos xsin x 3 . g(x)sin x x 0x 2 ,g(x)xcos x sin x x2 . 设设 u(x)xcos xsin x 0x 2 , 则则 u(x)xsin x0, 故, 故 u(x)在在 0, 2 上单调递减上单调递减 u(x)u(0)0, g(x)在在 0, 2 上上 单调递减单调递减 g(x)在在 0, 2 上的最小值为上的最小值为 g 2 2 . 2已知函数已知函数 f(x)xexa 1 2x 2 x (a
3、R) (1)若若 a0,求曲线,求曲线 yf(x)在点在点(1,e)处的切线方程;处的切线方程; (2)当当 a0 时,求函数时,求函数 f(x)的单调区间的单调区间 解:解:(1)当当 a0 时,时,f(x)(x1)ex, 所以切线的斜率所以切线的斜率 kf(1)2e. 又又 f(1)e, 所以所以 yf(x)在点在点(1,e)处的切线方程为处的切线方程为 ye2e(x1),即,即 2exye0. (2)f(x)(x1)(exa), - 2 - 令令 f(x)0,得,得 x1 或或 xln a. 当当 a1 e时, 时,f(x)0 恒成立,所以恒成立,所以 f(x)在在 R 上单调递增上单调
4、递增 当当 0a1 e时, 时,ln a1,由,由 f(x)0,得,得 xln a 或或 x1;由;由 f(x)0,得,得 ln a x1, 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(,ln a),(1,),单调递减区间为,单调递减区间为(ln a,1) 当当 a1 e时, 时,ln a1,由,由 f(x)0,得,得 x1 或或 xln a;由;由 f(x)0,得,得1x ln a, 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(,1),(ln a,),单调递减区间为,单调递减区间为(1,ln a) 综上所述,当综上所述,当 a1 e时,函数 时,函数 f(x)
5、的单调递增区间为的单调递增区间为(,); 当当 0a1 e时,函数 时,函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(,ln a),(1,),单调递减区间为,单调递减区间为(ln a,1); 当当 a1 e时,函数 时,函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(,1),(ln a,),单调递减区间为,单调递减区间为(1, ln a) 3已知函数已知函数 f(x)1 2x 2 (a1)xaln x1,aR. (1)若若 x3 是是 f(x)的极值点,求的极值点,求 f(x)的极大值;的极大值; (2)求求 a 的取值范围,使得的取值范围,使得 f(x)1 恒成立恒成立 解:解:(1)f(
6、x)x(a1)a x(x 0) x3 是是 f(x)的极值点,的极值点, f(3)3(a1)a 3 0,解得,解得 a3. 当当 a3 时,时,f(x)x 2 4x3 x x 1 x3 x . 当当 x 变化时,变化时,f(x),f(x)的变化见下表:的变化见下表: x (0,1) 1 (1,3) 3 (3,) f(x) 0 0 f(x) 极大值极大值 极小值极小值 f(x)的极大值为的极大值为 f(1)5 2. (2)要使要使 f(x)1 恒成立,即恒成立,即 x0 时,时,1 2x 2 (a1)xaln x0 恒成立恒成立 - 3 - 设设 g(x)1 2x 2 (a1)xaln x, 则
7、则 g(x)x(a1)a x x 1 xa x . 当当 a0 时,由时,由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1), 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(1,), g(x)ming(1)a1 2 0,解得,解得 a1 2. 当当 0a1 时,由时,由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(a,1), 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,a),(1,), 此时此时 g(1)a1 2 0,不合题意,不合题意 当当 a1 时,时,g(x)在在(0,)上单调递增,此时上单调递增,此时
8、g(1)a1 2 0,不合题意,不合题意 当当 a1 时,由时,由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(1,a), 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,1),(a,),此时,此时 g(1)a1 2 0,不合题,不合题 意意 综上所述,若满足综上所述,若满足 f(x)1 恒成立,恒成立,a 的取值范围为的取值范围为 ,1 2 . B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1已知函数已知函数 f(x)ln x,g(x)1 2ax 2 2x(a0) (1)若函数若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求实数存在单调递减区间,求实数 a 的取
9、值范围;的取值范围; (2)若函数若函数 h(x)f(x)g(x)在在1,4上单调递减,求实数上单调递减,求实数 a 的取值范围的取值范围 解:解:(1)h(x)ln x1 2ax 2 2x,x(0,), 则则 h(x)1 x ax2. 由由 h(x)在在(0,)上存在单调递减区间,上存在单调递减区间, 知当知当 x(0,)时,时,1 x ax20 有解,有解, 即即 a 1 x2 2 x有解 有解 设设 G(x) 1 x2 2 x,则只要 ,则只要 aG(x)min即可,即可, 而而 G(x) 1 x 1 2 1, 所以所以 G(x)min1, - 4 - 所以所以 a1,即实数,即实数 a
10、 的取值范围为的取值范围为(1,) (2)由由 h(x)在在1,4上单调递减, 得当上单调递减, 得当 x1,4时,时, h(x)1 x ax20 恒成立, 即恒成立, 即 a 1 x2 2 x恒成立 恒成立 设设 G(x) 1 x2 2 x,则 ,则 aG(x)max, 而而 G(x) 1 x 1 2 1. 又又 x1,4,所以,所以1 x 1 4, ,1 , 所以所以 G(x)max 7 16(此时 此时 x4), 所以所以 a 7 16, , 即实数即实数 a 的取值范围为的取值范围为 7 16, , . 2(2019 银川模拟银川模拟)已知函数已知函数 f(x)ln xax2(a2)x
11、. (1)若若 f(x)在在 x1 处取得极值,求处取得极值,求 a 的值;的值; (2)求函数求函数 yf(x)在在a2,a上的最大值上的最大值 解:解:(1)f(x)ln xax2(a2)x, 函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0,) f(x)1 x 2ax(a2) 2x1 ax1 x . f(x)在在 x1 处取得极值,处取得极值, 即即 f(1)(21)(a1)0,a1. 当当 a1 时,在时,在 1 2, ,1 内内 f(x)0,在,在(1, ,)内内 f(x)0,x1 是函数是函数 yf(x)的的 极小值点极小值点 a1. (2)a2a,0a1.f(x)1 x 2ax(a2)
12、 2x1 ax1 x , x(0,),ax10, 当当 x 0,1 2 时,时,f(x)0,f(x)单调递增;单调递增; 当当 x 1 2, , 时,时,f(x)0,f(x)单调递减单调递减 当当 0a1 2时, 时,f(x)在在a2,a上单调递增,上单调递增, f(x)maxf(a)ln aa3a22a. - 5 - 当当 a1 2, , a21 2, , 即即1 2 a 2 2 时,时,f(x)在在 a2,1 2 上单调递增,在上单调递增,在 1 2, ,a 上单调递减,上单调递减, f(x)maxf 1 2 ln 2a 4 a 2 2 a 4 1ln 2. 当当1 2 a2,即,即 2
13、2 a1 时,时,f(x)在在a2,a上单调递减,上单调递减, f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2. 综上所述,当综上所述,当 0a1 2时,函数 时,函数 yf(x)在在a2,a上的最大值是上的最大值是 ln aa3a22a; 当当1 2 a 2 2 时,函数时,函数 yf(x)在在a2,a上的最大值是上的最大值是a 4 1ln 2; 当当 2 2 a1 时,函数时,函数 yf(x)在在a2,a上的最大值是上的最大值是 2ln aa5a32a2. 3已知函数已知函数 f(x)ex(cos xsin x) (1)求曲线求曲线 yf(x)在点在点(0,f(0)处的切线方程;处的切线
14、方程; (2)令令 g(x)f(x)ex(2x2)a(x22cos x),讨论,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,若有,的单调性并判断有无极值,若有, 求出极值求出极值 解:解:(1)f(x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2exsin x,f(0)0. 又又 f(0)1,切线方程为切线方程为 y1. (2)依题意得依题意得 g(x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x), g(x)ex(cos xsin x2x2)ex(sin xcos x2)a(2x2sin x)2(xsin x)(ex a) 令令 u(x)xsin x,则,则 u(x)1co
15、s x0, 函数函数 u(x)在在 R 上单调递增上单调递增 u(0)0,x0 时,时,u(x)0;x0 时,时,u(x)0. 当当 a0 时,时,exa0,则,则 x0 时,时,g(x)0,函数,函数 g(x)在在(0,)上单调递增;上单调递增;x0 时时,g(x)0,函数,函数 g(x)在在(,0)上单调递减上单调递减x0 时,函数时,函数 g(x)取得极小值,取得极小值,g(x)极小极小 值值g(0)2a1,无极大值,无极大值 当当 a0 时,时,g(x)2(xsin x)(exa)2(xsin x) (exeln a), 令令 g(x)0,得,得 x1ln a,x20. 若若 0a1,
16、 x(,ln a)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递增;单调递增; x(ln a,0)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递减;单调递减; x(0,)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递增,单调递增, - 6 - 当当 x0 时,函数时,函数 g(x)取得极小值,取得极小值,g(x)极小值极小值g(0)2a1; 当当 xln a 时,函数时,函数 g(x)取得极大值,取得极大值,g(x)极大值极大值g(ln a)aln2a2ln asin(ln a) cos(ln a)2 若若 a1,ln a0,xR 时,时,
17、g(x)0, 函数函数 g(x)在在 R 上单调递增,无极值上单调递增,无极值 若若 a1,ln a0, x(,0)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递增;单调递增; x(0,ln a)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递减;单调递减; x(ln a,)时,时,exeln a0,g(x)0,函数,函数 g(x)单调递增单调递增 当当 x0 时,函数时,函数 g(x)取得极大值,取得极大值,g(x)极大值极大值g(0)2a1;当;当 xln a 时,函数时,函数 g(x) 取得极小值,取得极小值,g(x)极小值极小值g(ln a)aln2a
18、2ln asin(ln a)cos(ln a)2 综上所述,当综上所述,当 a0 时,函数时,函数 g(x)在在(0,)上单调递增,在上单调递增,在(,0)上单调递减,上单调递减,g(x) 的极小值为的极小值为2a1,无极大值;,无极大值; 当当 0a1 时,函数时,函数 g(x)在在(,ln a),(0,)上单调递增,在上单调递增,在(ln a,0)上单调递减,上单调递减, g(x)的极小值为的极小值为2a1,极大值为,极大值为aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2; 当当 a1 时,函数时,函数 g(x)在在 R 上单调递增,无极值;上单调递增,无极值; 当当 a1 时,函数时,函数 g(x)在在(,0),(ln a,)上单调递增,在上单调递增,在(0,ln a)上单调递减,上单调递减,g(x) 的极大值为的极大值为2a1,极小值为,极小值为aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2
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