1、 - 1 - 大题考法专训（七）大题考法专训（七） 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 A 级级中档题保分练中档题保分练 1 (2019 济南模拟济南模拟)已知函数已知函数 f(x)asin xbcos x(a， bR)， 曲线， 曲线 yf(x)在点在点 3， ，f 3 处处 的切线方程为的切线方程为 yx 3. (1)求求 a，b 的值；的值； (2)求函数求函数 g(x) f x 3 x 在在 0， 2 上的最小值上的最小值 解：解：(1)由切线方程知，当由切线方程知，当 x 3时， 时，y0， f 3 3 2 a1 2b 0. f(x)acos xbsin x
2、， 由切线方程知，由切线方程知，f 3 1 2a 3 2 b1. a1 2， ，b 3 2 . (2)由由(1)知，知，f(x)1 2sin x 3 2 cos xsin x 3 . g(x)sin x x 0x 2 ，g(x)xcos x sin x x2 . 设设 u(x)xcos xsin x 0x 2 ， 则则 u(x)xsin x0， 故， 故 u(x)在在 0， 2 上单调递减上单调递减 u(x)u(0)0， g(x)在在 0， 2 上上 单调递减单调递减 g(x)在在 0， 2 上的最小值为上的最小值为 g 2 2 . 2已知函数已知函数 f(x)xexa 1 2x 2 x (a
3、R) (1)若若 a0，求曲线，求曲线 yf(x)在点在点(1，e)处的切线方程；处的切线方程； (2)当当 a0 时，求函数时，求函数 f(x)的单调区间的单调区间 解：解：(1)当当 a0 时，时，f(x)(x1)ex， 所以切线的斜率所以切线的斜率 kf(1)2e. 又又 f(1)e， 所以所以 yf(x)在点在点(1，e)处的切线方程为处的切线方程为 ye2e(x1)，即，即 2exye0. (2)f(x)(x1)(exa)， - 2 - 令令 f(x)0，得，得 x1 或或 xln a. 当当 a1 e时， 时，f(x)0 恒成立，所以恒成立，所以 f(x)在在 R 上单调递增上单调
4、递增 当当 0a1 e时， 时，ln a1，由，由 f(x)0，得，得 xln a 或或 x1；由；由 f(x)0，得，得 ln a x1， 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，ln a)，(1，)，单调递减区间为，单调递减区间为(ln a，1) 当当 a1 e时， 时，ln a1，由，由 f(x)0，得，得 x1 或或 xln a；由；由 f(x)0，得，得1x ln a， 所以函数所以函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为，单调递减区间为(1，ln a) 综上所述，当综上所述，当 a1 e时，函数 时，函数 f(x)
5、的单调递增区间为的单调递增区间为(，)； 当当 0a1 e时，函数 时，函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，ln a)，(1，)，单调递减区间为，单调递减区间为(ln a，1)； 当当 a1 e时，函数 时，函数 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(，1)，(ln a，)，单调递减区间为，单调递减区间为(1， ln a) 3已知函数已知函数 f(x)1 2x 2 (a1)xaln x1，aR. (1)若若 x3 是是 f(x)的极值点，求的极值点，求 f(x)的极大值；的极大值； (2)求求 a 的取值范围，使得的取值范围，使得 f(x)1 恒成立恒成立 解：解：(1)f(
6、x)x(a1)a x(x 0) x3 是是 f(x)的极值点，的极值点， f(3)3(a1)a 3 0，解得，解得 a3. 当当 a3 时，时，f(x)x 2 4x3 x x 1 x3 x . 当当 x 变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化见下表：的变化见下表： x (0,1) 1 (1,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极大值极大值 极小值极小值 f(x)的极大值为的极大值为 f(1)5 2. (2)要使要使 f(x)1 恒成立，即恒成立，即 x0 时，时，1 2x 2 (a1)xaln x0 恒成立恒成立 - 3 - 设设 g(x)1 2x 2 (a1)xaln x， 则
7、则 g(x)x(a1)a x x 1 xa x . 当当 a0 时，由时，由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(0,1)， 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(1，)， g(x)ming(1)a1 2 0，解得，解得 a1 2. 当当 0a1 时，由时，由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(a,1)， 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0，a)，(1，)， 此时此时 g(1)a1 2 0，不合题意，不合题意 当当 a1 时，时，g(x)在在(0，)上单调递增，此时上单调递增，此时
8、g(1)a1 2 0，不合题意，不合题意 当当 a1 时，由时，由 g(x)0 得得 g(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(1，a)， 由由 g(x)0 得得 g(x)的单调递增区间为的单调递增区间为(0,1)，(a，)，此时，此时 g(1)a1 2 0，不合题，不合题 意意 综上所述，若满足综上所述，若满足 f(x)1 恒成立，恒成立，a 的取值范围为的取值范围为 ，1 2 . B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1已知函数已知函数 f(x)ln x，g(x)1 2ax 2 2x(a0) (1)若函数若函数 h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求实数存在单调递减区间，求实数 a 的取
9、值范围；的取值范围； (2)若函数若函数 h(x)f(x)g(x)在在1,4上单调递减，求实数上单调递减，求实数 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)h(x)ln x1 2ax 2 2x，x(0，)， 则则 h(x)1 x ax2. 由由 h(x)在在(0，)上存在单调递减区间，上存在单调递减区间， 知当知当 x(0，)时，时，1 x ax20 有解，有解， 即即 a 1 x2 2 x有解 有解 设设 G(x) 1 x2 2 x，则只要 ，则只要 aG(x)min即可，即可， 而而 G(x) 1 x 1 2 1， 所以所以 G(x)min1， - 4 - 所以所以 a1，即实数，即实数 a
10、 的取值范围为的取值范围为(1，) (2)由由 h(x)在在1,4上单调递减， 得当上单调递减， 得当 x1,4时，时， h(x)1 x ax20 恒成立， 即恒成立， 即 a 1 x2 2 x恒成立 恒成立 设设 G(x) 1 x2 2 x，则 ，则 aG(x)max， 而而 G(x) 1 x 1 2 1. 又又 x1,4，所以，所以1 x 1 4， ，1 ， 所以所以 G(x)max 7 16(此时 此时 x4)， 所以所以 a 7 16， ， 即实数即实数 a 的取值范围为的取值范围为 7 16， ， . 2(2019 银川模拟银川模拟)已知函数已知函数 f(x)ln xax2(a2)x
11、. (1)若若 f(x)在在 x1 处取得极值，求处取得极值，求 a 的值；的值； (2)求函数求函数 yf(x)在在a2，a上的最大值上的最大值 解：解：(1)f(x)ln xax2(a2)x， 函数函数 f(x)的定义域为的定义域为(0，) f(x)1 x 2ax(a2) 2x1 ax1 x . f(x)在在 x1 处取得极值，处取得极值， 即即 f(1)(21)(a1)0，a1. 当当 a1 时，在时，在 1 2， ，1 内内 f(x)0，在，在(1， ，)内内 f(x)0，x1 是函数是函数 yf(x)的的 极小值点极小值点 a1. (2)a2a，0a1.f(x)1 x 2ax(a2)
12、 2x1 ax1 x ， x(0，)，ax10， 当当 x 0，1 2 时，时，f(x)0，f(x)单调递增；单调递增； 当当 x 1 2， ， 时，时，f(x)0，f(x)单调递减单调递减 当当 0a1 2时， 时，f(x)在在a2，a上单调递增，上单调递增， f(x)maxf(a)ln aa3a22a. - 5 - 当当 a1 2， ， a21 2， ， 即即1 2 a 2 2 时，时，f(x)在在 a2，1 2 上单调递增，在上单调递增，在 1 2， ，a 上单调递减，上单调递减， f(x)maxf 1 2 ln 2a 4 a 2 2 a 4 1ln 2. 当当1 2 a2，即，即 2
13、2 a1 时，时，f(x)在在a2，a上单调递减，上单调递减， f(x)maxf(a2)2ln aa5a32a2. 综上所述，当综上所述，当 0a1 2时，函数 时，函数 yf(x)在在a2，a上的最大值是上的最大值是 ln aa3a22a； 当当1 2 a 2 2 时，函数时，函数 yf(x)在在a2，a上的最大值是上的最大值是a 4 1ln 2； 当当 2 2 a1 时，函数时，函数 yf(x)在在a2，a上的最大值是上的最大值是 2ln aa5a32a2. 3已知函数已知函数 f(x)ex(cos xsin x) (1)求曲线求曲线 yf(x)在点在点(0，f(0)处的切线方程；处的切线
14、方程； (2)令令 g(x)f(x)ex(2x2)a(x22cos x)，讨论，讨论 g(x)的单调性并判断有无极值，若有，的单调性并判断有无极值，若有， 求出极值求出极值 解：解：(1)f(x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2exsin x，f(0)0. 又又 f(0)1，切线方程为切线方程为 y1. (2)依题意得依题意得 g(x)ex(cos xsin x2x2)a(x22cos x)， g(x)ex(cos xsin x2x2)ex(sin xcos x2)a(2x2sin x)2(xsin x)(ex a) 令令 u(x)xsin x，则，则 u(x)1co
15、s x0， 函数函数 u(x)在在 R 上单调递增上单调递增 u(0)0，x0 时，时，u(x)0；x0 时，时，u(x)0. 当当 a0 时，时，exa0，则，则 x0 时，时，g(x)0，函数，函数 g(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增；x0 时时，g(x)0，函数，函数 g(x)在在(，0)上单调递减上单调递减x0 时，函数时，函数 g(x)取得极小值，取得极小值，g(x)极小极小 值值g(0)2a1，无极大值，无极大值 当当 a0 时，时，g(x)2(xsin x)(exa)2(xsin x) (exeln a)， 令令 g(x)0，得，得 x1ln a，x20. 若若 0a1，
16、 x(，ln a)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增；单调递增； x(ln a,0)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递减；单调递减； x(0，)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增，单调递增， - 6 - 当当 x0 时，函数时，函数 g(x)取得极小值，取得极小值，g(x)极小值极小值g(0)2a1； 当当 xln a 时，函数时，函数 g(x)取得极大值，取得极大值，g(x)极大值极大值g(ln a)aln2a2ln asin(ln a) cos(ln a)2 若若 a1，ln a0，xR 时，时，
17、g(x)0， 函数函数 g(x)在在 R 上单调递增，无极值上单调递增，无极值 若若 a1，ln a0， x(，0)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增；单调递增； x(0，ln a)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递减；单调递减； x(ln a，)时，时，exeln a0，g(x)0，函数，函数 g(x)单调递增单调递增 当当 x0 时，函数时，函数 g(x)取得极大值，取得极大值，g(x)极大值极大值g(0)2a1；当；当 xln a 时，函数时，函数 g(x) 取得极小值，取得极小值，g(x)极小值极小值g(ln a)aln2a
18、2ln asin(ln a)cos(ln a)2 综上所述，当综上所述，当 a0 时，函数时，函数 g(x)在在(0，)上单调递增，在上单调递增，在(，0)上单调递减，上单调递减，g(x) 的极小值为的极小值为2a1，无极大值；，无极大值； 当当 0a1 时，函数时，函数 g(x)在在(，ln a)，(0，)上单调递增，在上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，上单调递减， g(x)的极小值为的极小值为2a1，极大值为，极大值为aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2； 当当 a1 时，函数时，函数 g(x)在在 R 上单调递增，无极值；上单调递增，无极值； 当当 a1 时，函数时，函数 g(x)在在(，0)，(ln a，)上单调递增，在上单调递增，在(0，ln a)上单调递减，上单调递减，g(x) 的极大值为的极大值为2a1，极小值为，极小值为aln2a2ln asin(ln a)cos(ln a)2
