1、函数的极值、最值和零点问题知识导引1.极值一般地,设函数的定义域为,取,如果对于附近的任意不同于的(是指存在区间,使得且都有:(1),则称为函数的一个极大值点,且在处取得极大值;(2),则称为函数的一个极小值点,且在处取得极小值.极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.一般地,如果是的极值点,且在处可导,则必有.若存在,则“”是“是的极值点”的必要不充分条件.2.最值闭区间上的连续函数一定有最值;最值一般在极值与端点函数值中取得.3.零点连续函数,若存在,使得,则存在,使得,在具体函数中,寻找常常与极值点有联系.4.*当在处可导,若,则是的极小值点;若,则是的极大值点.进阶提
2、升题目1已知函数,若函数的最大值为,求函数的表达式.审题利用函数的单调性求出,进而得到的表达式.解析,当时,函数在上为减函数,所以,解得;当时,函数在上为增函数,在上为减函数,故,解得(不符合,舍去)；当时,函数在上为增函数,解得(不符合,舍去);所以,即.回炉分类讨论求出函数最值,是此类问题的常见解法.【相似题1】若函数在上的最大值为2,则_题目2若函数在其定义域内的一个子集上存在极值,求实数的取值范围.审题求出极值点位于区间即可,一定要注意定义域.解析对求导得.当时,单调递减;当时,单调递增.故为的极小值点.若在定义域内的一个子集上存在极值,则有,解得.回炉必要条件为在上有解.【相似题2】
3、设函数有两个极值点,且(1)试求的取值范围;(2)求证:.题目3已知函数的图象与直线有2个不同的交点，求实数的取值范围.审题本题考查三次函数图象特点,利用函数单调性得到函数图象进行分析.解析对求导得.当时,单调递增;当时单调递减;当时,单调递增,其中.若的图象与直线有2个不同的交点,则有或,解得或.回炉本题中并不含参数,因此图象是固定的,通过数形结合不难知道:若函数的图象与直线有2个不同的交点,则必与函数极值产生联系.【相似题3】已知函数.(1)当时,求的最小值;(2)讨论函数的零点的个数.题目4设已知函数.(1)当时,证明:当时,;(2)当时,证明:函数有唯一零点.审题(1)构造函数来处理不
4、等式问题,(2)先利用第(1)小题的结论,易得当时,恒成立,所以只需考虑在时的零点问题.解析(1)即证等价于,记,则.因为,所以,所以,则为增函数,故成立,所以.(2)当时,因为,由(1)知,所以函数在时没有零点.下面考虑当时的零点情况.记.记,则,令,因为,所以递增,即递增,因为且,故在上存在唯一零点,所以在上递减,在上递减.由,所以在上有唯一零点,记为,则当时,当时,所以在上为增函数,在上为减函数.因为,所以在无零点.又因为,当时,所以当时,（或当时,)所以在上有唯一零点,综上可知,函数有唯一零点.回炉利用函数单调性与极值是处理函数零点的常见方法.【相似题4】已知函数为的导数.证明:(1)
5、在区间上存在唯一极大值点;(2)有且仅有2个零点.题目5已知函数.(1)求函数的单调区间和极值;(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明:当时,;(3)如果,且,证明:.审题单调区间问题和不等式问题可利用构造函数法解决,第(3)小题可利用第(2)小题的对称函数,再利用函数的单调性,求得的关系.解析(1)因为,所以的增区间为,减区间为,当时,有极大值.(2)由题意可知,令,即,于是,当时,从而,又,所以,从而函数在上是增函数.又,所以当时,有,即当时,.（3）不妨设,则由题意借助的单调性可得,由(2)可知,因为,所以,从而.因为,所以.又由可知函数在区间上是增函数,所以,即.回炉构造对
6、称函数,利用函数单调性可以解决函数值相等的两变量的大小问题.【相似题5】已知函数.(1)讨论的单调性；（2）设,证明:当时,;(3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:题目6已知函数.（1）证明:当时,;（2）设函数在上有极小值,求的取值范围.审题(1)因为函数式很复杂,难以处理,直接求导不可行,所以需要进行不等式放缩,常见函数不等式有,当且仅当时取等号;,当且仅当时取等号.解析(1)当时,易证,当且仅当时取等号;,当且仅当时取等号,因为,所以,当且仅当时取等号,当且仅当时取等号,所以,得证.(2)(注:分离变量),令,则,所以,当时,没有极值,不合题意;当时,当时,所以是的极
7、小值,满足题意;当时,;令,则,所以在上递增,则,要使有极小值,必需,即,综上,.回炉利用基本指、对数不等式进行放缩,需要掌握一些变形技巧;若令,则会纠缠不清.【相似题6】已知函数.(1)若是的极值点,求的值;(2)若在上为增函数,求的取值范围；(3)当时,方程有实根,求的最大值.题目7已知函数有两个极值点.(1)求实数的取值范围;(2)求证:;(3)若,求的最大值.审题(1)利用导函数有两个不同零点来求参数范围;(2)利用得到与的关系,然后得到的单变量解析式;(3)可用比值换元将变成单变量问题.解析(1)函数的定义域为,因为有两个解,所以方程有两个不同的正根,由,且,可得的取值范围是.(2)
8、由(1)知,不妨设时,在和上递增,在上递减,因为,所以,因为,所以,故只要证.设,则,函数在上递增,在上递减,故,则得证.(3)根据韦达定理,令,因为,所以令,设,其中,则,所以函数在区间上单调递减,当时,则的最大值是.回炉利用根表示系数,进而转变为单变量问题;比值换元是处理双变量问题的常见方法之一.【相似题7】已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,证明:.题目8已知函数,其中,曲线在点处的切线方程为.(1)求的值;(2)证明:.审题(1)直接利用导函数即可;(2)作差构造函数,求导后发现导函数有一个零点不好求,所以虚设零点再估计的范围求解.解析(1)对已知函数求导,得.由题意知,解得.(2)由(1)知.令,则.再令,易知单调递减.又所以,使得,即有.当时,单调递增;当时,单调递减,从而,所以.回炉本题第2问实质上是通过隐零点来讨论函数的单调性,之后通过整体代换求得函数的最大值.另外,本题也可以利用代数式的恒等变形,再利用指数不等式来求解,简要过程为.【相似题8】已知定义在正实数集上的函数,其中,设两条曲线有公共点,且在该点处的切线相同.(1)用表示,并求的最大值;(2)求证:当时,.
