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高考数学二轮大题解题技巧:圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 Word版含解析.doc

1、 - 1 - 大题考法专训(五)大题考法专训(五) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 A 级级中档题保分练中档题保分练 1(2019 武汉模拟武汉模拟)已知椭圆已知椭圆 C:x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为 A,B,且长轴,且长轴 长为长为 8,T 为椭圆为椭圆 C 上异于上异于 A,B 的点,直线的点,直线 TA,TB 的斜率之积为的斜率之积为3 4. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程;的方程; (2)设设 O 为坐标原点,过点为坐标原点,过点 M(8,0)的动直线与椭圆的动直线与椭圆 C 交于交于 P,Q 两点,求两

2、点,求OPQ 面积的最面积的最 大值大值 解析:解析:(1)设设 T(x,y)(x 4),则直线,则直线 TA 的斜率为的斜率为 k1 y x4,直线 ,直线 TB 的斜率为的斜率为 k2 y x4. 于是由于是由 k1k23 4, 得 , 得 y x4 y x4 3 4, 整理得 , 整理得x 2 16 y 2 12 1(x 4), 故椭圆, 故椭圆 C 的方程为的方程为x 2 16 y2 12 1. (2)由题意设直线由题意设直线 PQ 的方程为的方程为 xmy8, 由由 xmy8, x2 16 y 2 12 1, 得得(3m24)y248my1440, (48m)24144(3m24)1

3、248(m24)0, 即即 m24, yPyQ 48m 3m24, ,yPyQ 144 3m24. 所以所以|PQ| m21 3m24 24 m 2 1 m24 3m24 , 又点又点 O 到直线到直线 PQ 的距离的距离 d 8 m21. 所 以所 以S OPQ 1 2 |PQ|d 96 m24 3m24 96 3 m24 16 m24 43 当且仅当当且仅当m228 3 时等号成立,且满足时等号成立,且满足m24 . 故故OPQ 面积的最大值为面积的最大值为 4 3. 2.如图所示,如图所示,A,B,C,D 是抛物线是抛物线 E:x22py(p0)上的四点,上的四点,A, C 关于抛物线的

4、关于抛物线的对称轴对称且在直线对称轴对称且在直线 BD 的异侧,直线的异侧,直线 l:xy10 是抛物线在点是抛物线在点 C 处的切线,处的切线,BDl. (1)求抛物线求抛物线 E 的方程;的方程; - 2 - (2)求证:求证:AC 平分平分BAD. 解:解:(1)联立联立 x22py, xy10, 消去消去 y 得得 x22px2p0. l 与抛物线相切,与抛物线相切,4p28p0,p2, 抛物线抛物线 E 的方程为的方程为 x24y. (2)证明:设点证明:设点 B(xB,yB),D(xD,yD), 由由(1)可得可得 C(2,1),A(2,1) 直线直线 lBD,设直线设直线 BD

5、的的方程为方程为 yxt. 由由 yxt, x24y, 得得 x24x4t0, xBxD4. 又又kADkAB x2D 4 1 xD2 x2B 4 1 xB2 xD xB4 4 0, AC 平分平分BAD. 3已知已知 A,B 分别为曲线分别为曲线 C:x 2 a2 y21(y0,a0)与与 x 轴的左、右两个交点,直线轴的左、右两个交点,直线 l 过点过点 B 且与且与 x 轴垂直,轴垂直,M 为为 l 上位于上位于 x 轴上方的一点,连接轴上方的一点,连接 AM 交曲线交曲线 C 于点于点 T. (1)若曲线若曲线 C 为半圆,点为半圆,点 T 为为 AB 的三等分点,试求出点的三等分点,

6、试求出点 M 的坐标;的坐标; (2)若若 a1,SMAB2,当,当TAB 的最大面积为的最大面积为4 3时,求椭圆的离心率的取值范围 时,求椭圆的离心率的取值范围 解:解:(1)当曲线当曲线 C 为半圆时,得为半圆时,得 a1. 由点由点 T 为为 AB 的三等分点,得的三等分点,得BOT60 或或 120 . 当当BOT60 时,时,MAB30 ,又,又|AB|2, 故故MAB 中,有中,有|MB|AB| tan 30 2 3 3 , 所以所以 M 1,2 3 3 . 当当BOT120 时,同理可求得点时,同理可求得点 M 坐标为坐标为(1,2 3) (2)设直线设直线 AM 的方程为的方

7、程为 yk(xa), 则则 k0,|MB|2ka, 所以所以 SMAB1 2 2a 2ka 2,所以,所以 k 1 a2, , 代入直线方程得代入直线方程得 y 1 a2(x a), - 3 - 联立联立 y 1 a2 x a , x2 a2 y21, 解得解得 yT 2a a21, , 所以所以 STAB1 2 2a 2a a21 2a2 a21 4 3, , 解得解得 1a22, 所以椭圆的离心率所以椭圆的离心率 e1 1 a2 2 2 , 即椭圆的离心率的取值范围为即椭圆的离心率的取值范围为 0, 2 2 . B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1(2019 武汉调研武汉调研)已知椭圆已知

8、椭圆 :x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)经过点经过点 M(2,1),且右焦点,且右焦点 F( 3, 0) (1)求椭圆求椭圆 的标准方程;的标准方程; (2)过过 N(1,0)且斜率存在的直线且斜率存在的直线 AB 交椭圆交椭圆 于于 A,B 两点,记两点,记 tMA MB ,若 ,若 t 的最大的最大 值和最小值分别为值和最小值分别为 t1,t2,求,求 t1t2的值的值 解:解:(1)由椭圆由椭圆x 2 a2 y 2 b2 1 的右焦点为的右焦点为( 3,0),知,知 a2b23,即,即 b2a23,则,则x 2 a2 y2 a23 1. 又椭圆过点又椭圆过点 M(2,1), 4

9、a2 1 a23 1,又,又 a23,a26. 椭圆椭圆 的标准方程为的标准方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)设直线设直线 AB 的方程为的方程为 yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由由 x2 6 y 2 3 1, yk x1 , 得得 x22k2(x1)26, 即即(12k2)x24k2x2k260, 点点 N(1,0)在椭圆内部,在椭圆内部,0, x1x2 4k2 12k2, , x1x22k 2 6 2k21, , 则则 tMA MB (x12)(x22)(y11)(y21) x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1) - 4 - (1k2)x1x2(

10、2k2k)(x1x2)k22k5, 将将代入代入得,得, t(1k2) 2k26 2k21 (2k2k) 4k2 2k21 k22k5, t15k 2 2k1 2k21 , (152t)k22k1t0,kR R, 则则 1224(152t)(1t)0, (2t15)(t1)10,即,即 2t213t160, 由题意知由题意知 t1,t2是是 2t213t160 的两根,的两根, t1t213 2 . 2(2019 全国卷全国卷)已知点已知点 A(2,0),B(2,0),动点,动点 M(x,y)满足直线满足直线 AM 与与 BM 的斜率之的斜率之 积为积为1 2.记 记 M 的轨迹为曲线的轨迹为

11、曲线 C. (1)求求 C 的方程,并说明的方程,并说明 C 是什么曲线;是什么曲线; (2)过坐标原点的直线交过坐标原点的直线交 C 于于 P,Q 两点,点两点,点 P 在第一象限,在第一象限,PEx 轴,垂足为轴,垂足为 E,连接,连接 QE 并延长交并延长交 C 于点于点 G. 证明:证明:PQG 是直角三角形;是直角三角形; 求求PQG 面面积的最大值积的最大值 解:解:(1)由题设得由题设得 y x2 y x2 1 2, , 化简得化简得x 2 4 y 2 2 1(|x|2), 所以所以 C 为中心在坐标原点,焦点在为中心在坐标原点,焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆轴上不含长轴端点

12、的椭圆 (2)证明:设直线证明:设直线 PQ 的斜率为的斜率为 k,则其方程为,则其方程为 ykx(k0) 由由 ykx, x2 4 y 2 2 1 得得 x 2 12k2 . 设设 u 2 12k2,则 ,则 P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0) 于是直线于是直线 QG 的斜率为的斜率为k 2,其方程为 ,其方程为 yk 2(x u) 由由 yk 2 x u , x2 4 y 2 2 1 消去消去 y, 得得(2k2)x22uk2xk2u280.(*) - 5 - 设设 G(xG,yG),则,则u 和和 xG是方程是方程(*)的解,的解, 故故 xGu 3k 2 2 2k2 ,由此得

13、,由此得 yG uk3 2k2. 从而直线从而直线 PG 的斜率为的斜率为 uk3 2k2 uk u 3k22 2k2 u 1 k. 所以所以 PQPG,即,即PQG 是直角三角形是直角三角形 由由得得|PQ|2u 1k2,|PG|2uk k 2 1 2k2 , 所以所以PQG 的面积的面积 S1 2|PQ|PG| 8k 1k2 12k2 2k2 8 1 k k 12 1 k k 2. 设设 tk1 k, , 则由则由 k0 得得 t2,当且仅当,当且仅当 k1 时取等号时取等号 因为因为 S 8t 12t2在 在2,)上单调递减,上单调递减, 所以当所以当 t2,即,即 k1 时,时,S 取

14、得最大值,最大值为取得最大值,最大值为16 9 . 因此,因此,PQG 面积的最大值为面积的最大值为16 9 . 3已知抛物线已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点为的焦点为 F,过点,过点 F 垂直于垂直于 y 轴的直线与抛物线轴的直线与抛物线 C 相交相交 于于 A,B 两点,抛物线两点,抛物线 C 在在 A,B 两点处的切线及直线两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积为所围成的三角形面积为 16. (1)求抛物线求抛物线 C 的方程;的方程; (2)设设 P,M,N 为抛物线上不同的三点,且为抛物线上不同的三点,且 PMPN,求证:若,求证:若 P 为定点,则直线为定点,则直线

15、MN 过定点过定点 Q;并求当;并求当 P 点移动时,点移动时,|FQ|的最小值的最小值 解:解:(1)依题意得依题意得 A p,p 2 ,B p,p 2 , 由由 x22py(p0),得,得 yx 2 2p,则 ,则 yx p, , 抛物线抛物线 C 在点在点 A 处的切线斜率为处的切线斜率为1,在点,在点 B 处的切线斜率为处的切线斜率为 1, 抛物线抛物线 C 在点在点 A 处的切线方程为处的切线方程为 yp 2 xp,即,即 yxp 2,在点 ,在点 B 处的切线方程处的切线方程 为为 yp 2 xp,即,即 yxp 2. 可得两切线的交点坐标为可得两切线的交点坐标为 0,p 2 ,

16、- 6 - S1 2 2ppp216,解得,解得 p4. 抛物线抛物线 C 的方程为的方程为 x28y. (2)法一:法一:设设 P x0,x 2 0 8 ,M x1,x 2 1 8 ,N x2,x 2 2 8 , 则则 kPM x21 8 x 2 0 8 x1x0 x1 x0 8 ,同理可得,同理可得 kPNx2 x0 8 , kPM kPNx1 x0 8 x2x0 8 1, 化简得,化简得,x1x2x0(x1x2)x20640.(*) 直线直线 MN 的斜率一定存在,设的斜率一定存在,设 MN:ykxb. 由由 ykxb, x28y, 得得 x28kx8b0, x1x28k,x1x28b.

17、 代入代入(*),得,得8b8kx0x20640, 则则 bx0kx 2 0 8 8. 直线直线 MN 的方程可化为的方程可化为 ykxkx0x 2 0 8 8. 直线直线 MN 过定点过定点 Q x0,x 2 0 8 8 . 点点 Q 的轨迹方程为的轨迹方程为 yx 2 8 8,|FQ|的最小值为的最小值为 6. 法二:法二:设设 P x0,x 2 0 8 ,M x1,x 2 1 8 ,N x2,x 2 2 8 , 则则 kNM x21 8 x 2 2 8 x1x2 x1 x2 8 ,kPMx1 x0 8 ,kPNx2 x0 8 , 又又 PMPN,kPM kPNx1 x0 8 x2x0 8 1, 化简得化简得x1x2x0(x1x2)x2064. 直线直线 MN 的方程为的方程为 yx 2 1 8 x1 x2 8 (xx1), 化简得化简得 yx1 x2 8 xx1x2 8 . 把把代入代入得得 yx1 x2 8 (xx0)x 2 0 8 8, 直线直线 MN 过定点过定点 Q x0,x 2 0 8 8 . - 7 - 点点 Q 的轨迹方程为的轨迹方程为 yx 2 8 8,|FQ|的最小值为的最小值为 6.

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