1、 - 1 - 大题考法专训（五）大题考法专训（五） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 A 级级中档题保分练中档题保分练 1(2019 武汉模拟武汉模拟)已知椭圆已知椭圆 C：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为 A，B，且长轴，且长轴 长为长为 8，T 为椭圆为椭圆 C 上异于上异于 A，B 的点，直线的点，直线 TA，TB 的斜率之积为的斜率之积为3 4. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)设设 O 为坐标原点，过点为坐标原点，过点 M(8,0)的动直线与椭圆的动直线与椭圆 C 交于交于 P，Q 两点，求两
2、点，求OPQ 面积的最面积的最 大值大值 解析：解析：(1)设设 T(x，y)(x 4)，则直线，则直线 TA 的斜率为的斜率为 k1 y x4，直线 ，直线 TB 的斜率为的斜率为 k2 y x4. 于是由于是由 k1k23 4， 得 ， 得 y x4 y x4 3 4， 整理得 ， 整理得x 2 16 y 2 12 1(x 4)， 故椭圆， 故椭圆 C 的方程为的方程为x 2 16 y2 12 1. (2)由题意设直线由题意设直线 PQ 的方程为的方程为 xmy8， 由由 xmy8， x2 16 y 2 12 1， 得得(3m24)y248my1440， (48m)24144(3m24)1
3、248(m24)0， 即即 m24， yPyQ 48m 3m24， ，yPyQ 144 3m24. 所以所以|PQ| m21 3m24 24 m 2 1 m24 3m24 ， 又点又点 O 到直线到直线 PQ 的距离的距离 d 8 m21. 所 以所 以S OPQ 1 2 |PQ|d 96 m24 3m24 96 3 m24 16 m24 43 当且仅当当且仅当m228 3 时等号成立，且满足时等号成立，且满足m24 . 故故OPQ 面积的最大值为面积的最大值为 4 3. 2.如图所示，如图所示，A，B，C，D 是抛物线是抛物线 E：x22py(p0)上的四点，上的四点，A， C 关于抛物线的
4、关于抛物线的对称轴对称且在直线对称轴对称且在直线 BD 的异侧，直线的异侧，直线 l：xy10 是抛物线在点是抛物线在点 C 处的切线，处的切线，BDl. (1)求抛物线求抛物线 E 的方程；的方程； - 2 - (2)求证：求证：AC 平分平分BAD. 解：解：(1)联立联立 x22py， xy10， 消去消去 y 得得 x22px2p0. l 与抛物线相切，与抛物线相切，4p28p0，p2， 抛物线抛物线 E 的方程为的方程为 x24y. (2)证明：设点证明：设点 B(xB，yB)，D(xD，yD)， 由由(1)可得可得 C(2,1)，A(2,1) 直线直线 lBD，设直线设直线 BD
5、的的方程为方程为 yxt. 由由 yxt， x24y， 得得 x24x4t0， xBxD4. 又又kADkAB x2D 4 1 xD2 x2B 4 1 xB2 xD xB4 4 0， AC 平分平分BAD. 3已知已知 A，B 分别为曲线分别为曲线 C：x 2 a2 y21(y0，a0)与与 x 轴的左、右两个交点，直线轴的左、右两个交点，直线 l 过点过点 B 且与且与 x 轴垂直，轴垂直，M 为为 l 上位于上位于 x 轴上方的一点，连接轴上方的一点，连接 AM 交曲线交曲线 C 于点于点 T. (1)若曲线若曲线 C 为半圆，点为半圆，点 T 为为 AB 的三等分点，试求出点的三等分点，
6、试求出点 M 的坐标；的坐标； (2)若若 a1，SMAB2，当，当TAB 的最大面积为的最大面积为4 3时，求椭圆的离心率的取值范围 时，求椭圆的离心率的取值范围 解：解：(1)当曲线当曲线 C 为半圆时，得为半圆时，得 a1. 由点由点 T 为为 AB 的三等分点，得的三等分点，得BOT60 或或 120 . 当当BOT60 时，时，MAB30 ，又，又|AB|2， 故故MAB 中，有中，有|MB|AB| tan 30 2 3 3 ， 所以所以 M 1，2 3 3 . 当当BOT120 时，同理可求得点时，同理可求得点 M 坐标为坐标为(1,2 3) (2)设直线设直线 AM 的方程为的方
7、程为 yk(xa)， 则则 k0，|MB|2ka， 所以所以 SMAB1 2 2a 2ka 2，所以，所以 k 1 a2， ， 代入直线方程得代入直线方程得 y 1 a2(x a)， - 3 - 联立联立 y 1 a2 x a ， x2 a2 y21， 解得解得 yT 2a a21， ， 所以所以 STAB1 2 2a 2a a21 2a2 a21 4 3， ， 解得解得 1a22， 所以椭圆的离心率所以椭圆的离心率 e1 1 a2 2 2 ， 即椭圆的离心率的取值范围为即椭圆的离心率的取值范围为 0， 2 2 . B 级级拔高题满分练拔高题满分练 1(2019 武汉调研武汉调研)已知椭圆已知
8、椭圆 ：x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)经过点经过点 M(2,1)，且右焦点，且右焦点 F( 3， 0) (1)求椭圆求椭圆 的标准方程；的标准方程； (2)过过 N(1,0)且斜率存在的直线且斜率存在的直线 AB 交椭圆交椭圆 于于 A，B 两点，记两点，记 tMA MB ，若 ，若 t 的最大的最大 值和最小值分别为值和最小值分别为 t1，t2，求，求 t1t2的值的值 解：解：(1)由椭圆由椭圆x 2 a2 y 2 b2 1 的右焦点为的右焦点为( 3，0)，知，知 a2b23，即，即 b2a23，则，则x 2 a2 y2 a23 1. 又椭圆过点又椭圆过点 M(2,1)， 4
9、a2 1 a23 1，又，又 a23，a26. 椭圆椭圆 的标准方程为的标准方程为x 2 6 y 2 3 1. (2)设直线设直线 AB 的方程为的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由由 x2 6 y 2 3 1， yk x1 ， 得得 x22k2(x1)26， 即即(12k2)x24k2x2k260， 点点 N(1,0)在椭圆内部，在椭圆内部，0， x1x2 4k2 12k2， ， x1x22k 2 6 2k21， ， 则则 tMA MB (x12)(x22)(y11)(y21) x1x22(x1x2)4(kx1k1)(kx2k1) - 4 - (1k2)x1x2(
10、2k2k)(x1x2)k22k5， 将将代入代入得，得， t(1k2) 2k26 2k21 (2k2k) 4k2 2k21 k22k5， t15k 2 2k1 2k21 ， (152t)k22k1t0，kR R， 则则 1224(152t)(1t)0， (2t15)(t1)10，即，即 2t213t160， 由题意知由题意知 t1，t2是是 2t213t160 的两根，的两根， t1t213 2 . 2(2019 全国卷全国卷)已知点已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点，动点 M(x，y)满足直线满足直线 AM 与与 BM 的斜率之的斜率之 积为积为1 2.记 记 M 的轨迹为曲线的轨迹为
11、曲线 C. (1)求求 C 的方程，并说明的方程，并说明 C 是什么曲线；是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交过坐标原点的直线交 C 于于 P，Q 两点，点两点，点 P 在第一象限，在第一象限，PEx 轴，垂足为轴，垂足为 E，连接，连接 QE 并延长交并延长交 C 于点于点 G. 证明：证明：PQG 是直角三角形；是直角三角形； 求求PQG 面面积的最大值积的最大值 解：解：(1)由题设得由题设得 y x2 y x2 1 2， ， 化简得化简得x 2 4 y 2 2 1(|x|2)， 所以所以 C 为中心在坐标原点，焦点在为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上不含长轴端点的椭圆轴上不含长轴端点
12、的椭圆 (2)证明：设直线证明：设直线 PQ 的斜率为的斜率为 k，则其方程为，则其方程为 ykx(k0) 由由 ykx， x2 4 y 2 2 1 得得 x 2 12k2 . 设设 u 2 12k2，则 ，则 P(u，uk)，Q(u，uk)，E(u,0) 于是直线于是直线 QG 的斜率为的斜率为k 2，其方程为 ，其方程为 yk 2(x u) 由由 yk 2 x u ， x2 4 y 2 2 1 消去消去 y， 得得(2k2)x22uk2xk2u280.(*) - 5 - 设设 G(xG，yG)，则，则u 和和 xG是方程是方程(*)的解，的解， 故故 xGu 3k 2 2 2k2 ，由此得
13、，由此得 yG uk3 2k2. 从而直线从而直线 PG 的斜率为的斜率为 uk3 2k2 uk u 3k22 2k2 u 1 k. 所以所以 PQPG，即，即PQG 是直角三角形是直角三角形 由由得得|PQ|2u 1k2，|PG|2uk k 2 1 2k2 ， 所以所以PQG 的面积的面积 S1 2|PQ|PG| 8k 1k2 12k2 2k2 8 1 k k 12 1 k k 2. 设设 tk1 k， ， 则由则由 k0 得得 t2，当且仅当，当且仅当 k1 时取等号时取等号 因为因为 S 8t 12t2在 在2，)上单调递减，上单调递减， 所以当所以当 t2，即，即 k1 时，时，S 取
14、得最大值，最大值为取得最大值，最大值为16 9 . 因此，因此，PQG 面积的最大值为面积的最大值为16 9 . 3已知抛物线已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为的焦点为 F，过点，过点 F 垂直于垂直于 y 轴的直线与抛物线轴的直线与抛物线 C 相交相交 于于 A，B 两点，抛物线两点，抛物线 C 在在 A，B 两点处的切线及直线两点处的切线及直线 AB 所围成的三角形面积为所围成的三角形面积为 16. (1)求抛物线求抛物线 C 的方程；的方程； (2)设设 P，M，N 为抛物线上不同的三点，且为抛物线上不同的三点，且 PMPN，求证：若，求证：若 P 为定点，则直线为定点，则直线
15、MN 过定点过定点 Q；并求当；并求当 P 点移动时，点移动时，|FQ|的最小值的最小值 解：解：(1)依题意得依题意得 A p，p 2 ，B p，p 2 ， 由由 x22py(p0)，得，得 yx 2 2p，则 ，则 yx p， ， 抛物线抛物线 C 在点在点 A 处的切线斜率为处的切线斜率为1，在点，在点 B 处的切线斜率为处的切线斜率为 1， 抛物线抛物线 C 在点在点 A 处的切线方程为处的切线方程为 yp 2 xp，即，即 yxp 2，在点 ，在点 B 处的切线方程处的切线方程 为为 yp 2 xp，即，即 yxp 2. 可得两切线的交点坐标为可得两切线的交点坐标为 0，p 2 ，
16、- 6 - S1 2 2ppp216，解得，解得 p4. 抛物线抛物线 C 的方程为的方程为 x28y. (2)法一：法一：设设 P x0，x 2 0 8 ，M x1，x 2 1 8 ，N x2，x 2 2 8 ， 则则 kPM x21 8 x 2 0 8 x1x0 x1 x0 8 ，同理可得，同理可得 kPNx2 x0 8 ， kPM kPNx1 x0 8 x2x0 8 1， 化简得，化简得，x1x2x0(x1x2)x20640.(*) 直线直线 MN 的斜率一定存在，设的斜率一定存在，设 MN：ykxb. 由由 ykxb， x28y， 得得 x28kx8b0， x1x28k，x1x28b.
17、 代入代入(*)，得，得8b8kx0x20640， 则则 bx0kx 2 0 8 8. 直线直线 MN 的方程可化为的方程可化为 ykxkx0x 2 0 8 8. 直线直线 MN 过定点过定点 Q x0，x 2 0 8 8 . 点点 Q 的轨迹方程为的轨迹方程为 yx 2 8 8，|FQ|的最小值为的最小值为 6. 法二：法二：设设 P x0，x 2 0 8 ，M x1，x 2 1 8 ，N x2，x 2 2 8 ， 则则 kNM x21 8 x 2 2 8 x1x2 x1 x2 8 ，kPMx1 x0 8 ，kPNx2 x0 8 ， 又又 PMPN，kPM kPNx1 x0 8 x2x0 8 1， 化简得化简得x1x2x0(x1x2)x2064. 直线直线 MN 的方程为的方程为 yx 2 1 8 x1 x2 8 (xx1)， 化简得化简得 yx1 x2 8 xx1x2 8 . 把把代入代入得得 yx1 x2 8 (xx0)x 2 0 8 8， 直线直线 MN 过定点过定点 Q x0，x 2 0 8 8 . - 7 - 点点 Q 的轨迹方程为的轨迹方程为 yx 2 8 8，|FQ|的最小值为的最小值为 6.
