1、第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念 第五章第五章 不定积分不定积分)()(xfxFdxxfxdF)()(例如，在区间 内有 ，故 是 在 内的一个原函数。),(233)(xx3x23x),(定义定义1 设函数 在某区间I内有定义，如果存在函数 ，使得对I内的每一点x都有)(xF()f x)(xF)(xf则称 为 在I内的一个原函数。或或 显然，的原函数除了 以外，诸如 ，等等，只要与 相差一个常数的函数都是 的原函数。3x23x13x33x323x3x3xC23x从上面可以看到，给出一个函数，它的导数是唯一的，但是给定一个函数，它的原函数就不是唯一的，而是有无限多个。一般地，若 是 在
2、某区间I内的一个原函数，则 （C为任意常数）都是 的原函数。这是因为 则必有 。)(xF)(xf()F xC)(xf)()(xfxF()()()F xCF xf x这就说明了，如果 有一个原函数 ，那么有无限多个原函数 。)(xf)(xF()F xC由拉格朗日中值定理的推论知 （为常数）既然 都是 的原函数，那么 是否包括了 的全体原函数呢？()F xC)(xf()F xC)(xf设 为 在某区间I内的一个原函数，是 在同一区间I内的另一个原函数，)(xf)(xF)(x)(xf0)()()()()()(xfxfxFxxFx()()xF xC回答是肯定的回答是肯定的。)()(xfxF)()(xf
3、x 则 ，于是所以 。这表明，如果 是 的一个原函数，则 即可表示 的全体原函数，（其中C为任意常数）。()()xF xC)(xf)(xF()F xC)(xf由此，我们引进不定积分概念。定义定义2 函数 在某区间I内的全体原函数称为在该区间I内的不定积分不定积分，记为 ，其中，符号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。)(xf)(xfdxxf)(dxxf)()(xf根据上面的讨论可知，如果 是 的一个原函数，那么 （C为任意常数）。因此，求 的不定积分时，只要求出 的一个原函数，再加上任意常数即可。)(xf)(xF()()f x dxF xC)(xf)(xf例例1 求5x
4、dx65()6xx656xx dxC因为解：解：所以 因为 ，例例2 求dxx211211)(arctanxx所以 是 的一个原函数，xarctan211xcxdxxarctan112求一个不定积分有时是困难的，但是一旦找到了，检验起来却相对容易：对结果的右边求导，其导数应该是被积函数。解：解：因此(1)正确。理由：对等式的右边求导，其导数正是被积函数：(2)错误。理由：对等式的右边求导，其导数不是被积函数：例例3检验不定积分的正确性(1)(2)cossincosxxdxxxxccossinxxdxxxc(sincos)cossinsin0cosdxxxcxxxxxxdx(sin)cossin
5、0cosdxxcxxxxxdx解：解：设所求的曲线方程为 ，由导数的几何意义知：故必有某个常数C使 。即曲线方程为 。例例4 已知某曲线上任一点 处切线的斜率为2x，且该曲线通过点(1,2)，求该曲线方程。),(yxM)(xfy xdxdy22()f xxC2yxC22xdxxC因为)(xf即 是2x 的一个原函数。解：解：因所求曲线通过(1,2)，故 ，得 。21C 1C 1)(2 xxf于是所求曲线方程为 函数的原函数 的图形称为 的积分曲线。上例即是求函数2x的通过点(1,2)的那条积分曲线。显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线（例如 ）经y轴方向平移而得。)(xf)(xf2xy，其中
6、 ；解：解：设在时刻t，邮包的速度为 ，离地面高度为 。地球表面附近的重力加速度为9.8米/秒 。假设没有另外的力作用在下落的包裹上，我们有()v t()s t29.8dvdt(0)12v这就是邮包运动的数学模型。从此模型我们可以求出邮包的速度。例例5一个邮包从直升机上掉落，当时直升机位于离地面80米高空，正以12米/秒的速度上升。多长时间该邮包落到地面？1由重力加速度为邮包速度的导数的关系：9.8dvdt 9.8dvdtdtdt9.8vtc 我们可以得到邮包速度与时间的依赖关系：2求C：令 ，有0t 12v 129.8(0)c 12C 9.812vt()dsv tdt0t 又由于速度是高度的导数和当 时邮包掉落，当时位于离地面80米高空，从而我们有另一个高度与速度之间的关系：邮包的速度为故有 9.812dstdt(0)80s(9.812)dsdttdtdt24.912sttC 求高度的原函数，有 且满足：。求C：令 ，有0t 80s 2804.9(0)12(0)C 80C 24.91280stt 在时刻t邮包离地面的高度为，（无意义，舍去）3.模型的求解:为了求该邮包落到地面的时间，我们设s等于0来求解t：24.912800tt2491208000tt12017120098t15.45t 22.998t 邮包从直升机上掉落后，大约5.45秒落到地面。
