1、2ababICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图ADBCEFGHba22ab基本不等式基本不等式1：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab基本不等式基本不等式2：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：（1）两个不等式的）两个不等式的适用范围适用范围不同不同,而等号成立的条件相同而等号成立的条件相同（2）称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数 称为它们的算术平均数。称为它们的算术平均数。ab2ab基本不等式的几何解释：基本不等
2、式的几何解释：半弦半弦CD不大于半径不大于半径ABEDCab例例1.(1)已知已知 并指出等号并指出等号成立的条件成立的条件.10,2,xxx求证(2)已知已知 与与2的大小关系的大小关系,并说明理由并说明理由.abbaab寻找,0(3)已知已知 能得到什么结论能得到什么结论?请说明理由请说明理由.abbaab,0应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系练习练习2：若：若 ，则（，则（）（1）（）（2）（）（3）B练习练习1：设：设a0，b0，给出下列不等式，给出下列不等式其中恒成立的其中恒成立的 。21)1(aa4)1)(1)(2(bbaa4)11
3、)()(3(baba2111)4(22aa,lglg,1baPba)2lg(),lg(lg21baRbaQQPRA、RQPB、QPRC、RQPD、应用二：解决最大（小）值问题应用二：解决最大（小）值问题 例例2、已知、已知 都是正数，求证都是正数，求证（1）如果积）如果积 是定值是定值P，那么当，那么当 时，时，和和 有最小值有最小值（2）如果和）如果和 是定值是定值S，那么当，那么当 时，时，积积 有最大值有最大值yx,yxyxyx P2yx 241Sxy（1）一正：各项均为正数）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定
4、值，积有最大值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否，否则会出现错误则会出现错误小结：利用小结：利用 求最值时要注意下面三条：求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabbaxy例例3、（1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最最短篱笆是多少？短篱笆是多少？（2）一段长为）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大
5、。形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积最大面积是多少？是多少？2、(04重庆）已知重庆）已知则则x y 的最大值是的最大值是 。练习：练习：1、当、当x0时，时，的最小值为的最小值为 ，此时，此时x=。21xx1)0,0(232yxyx61 3、若实数、若实数 ，且，且 ，则，则 的最小值是（的最小值是（）A、10 B、C、D、4、在下列函数中，最小值为、在下列函数中，最小值为2的是（的是（）A、B、C、D、)0,(55xRxxxy)101(lg1lgxxxy)(33Rxyxx)20(sin1sinxxxyyx,5 yxyx333664318DC例4、求函数 的最小值4522xxy构造积为定值，利用基本不等式求最值思考：求函数 的最小值)3(31xxxy构造和为定值，利用基本不等式求最值例5、已知 ，求 的最大值10 x21xx练习：已知 且 ，则最大值是多少？0,0yx2052 yxyxlglg)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba证明：求证：已知求证：，是正数，且、已知等式利用基本不等式证明不
