1、第十章 结构可靠度分析专题 目录v专题一:拱坝结构的动力可靠度v专题二:拱坝坝肩的整体稳定可靠度v专题三:隧洞结构的截面与体系可靠度专题一:拱坝结构的动力可靠度 1、结构自振频率的统计特性 在地震作用下,拱坝结构位移响应的动力学方程为:gpp)M(M)M(MCK (10-1)式中K为结构的劲度矩阵,C为结构的阻尼矩阵,M为质量矩阵,MP为动水压力的附加质量矩阵,分别为结构相对于基础的位移向量、速度向量和加速度向量,为地震时的地面加速度向量。,g 结构的阻尼对自振特性的影响很小,所以在研究自振特性时,可以略去阻尼的影响,得到求解广义特征值的方程如下:空库时:MuKu2j(10-2)满库时:)uM
2、(MKup2j(10-3)式中u为结点振幅向量,即振型;是与该振型对应的频率。j 结构的质量矩阵M、劲度矩阵K与材料特性和几何尺寸有关,一般只将材料的弹模作为随机变量。根据实践经验和统计分析的结果,自重的变异性很小,可作为定值处理。在式(10-2)中令 ,得到 jj2MuKuj(10-4)对于随机变量Xi(i=1,n),在其均值点将K、j、u展开为泰勒级数,并取至二次项,得:)()K(21)()K(mK1121KXjjXiimXninkkiniXiimXimXmXXXmXXXX(10-5)()(21)()(1121XjjXiimXninkkijniXiimXijjjmXmXXXmXXmXX(1
3、0-6)()u(21)()u(mu1121uXjjXiimXninkkiniXiimXimXmXXXmXXXX(10-7)将式(10-5)、(10-6)、(10-7)代入式(10-2),并利用振型的正交性加以整理,可得:XXmXjmX)Mu()Ku(jjXXXmXmXimXijXX)Muu/()uKu()(jTjjTjXXXmXmXjkimXkijuXXXX)Muu/()Ku()(jTj2Tj2(10-8)(10-9)(10-10)XXXXmXmXiijmXjmXiXXX)u()KM()MK()u(j1jXXXXXXmXimXiijmXmXkijijmXjmXkiXXXXXXXXX)u()KM
4、(2)u()KM()MK()u(jj221j2(10-11)(10-12)根据均值和协方差的定义,得到结构自振频率的统计特性为:ninkjimXkijmXjjXXCovXXEXX112),()(21)()(10-13)()()(),(jijijiEEECov(10-14)式(10-14)中 nrnssrmXsjrisrijsrjimXjijiXXCovXXXXXXEXX1122),(221)()(10-15)nrnssrmXsrijsrjimXjijiXXCovXXXXEEXX1122),(21)()()(10-16)舍去式(10-15)、(10-16)中的二次项,可得:),()(),(11s
5、rmXsjrinrnsjiXXCovXXCovX(10-17),()(41),(11srmXsjrinrnsjijiXXCovXXCovX(10-18)其标准差为:),()(21),(11srmXsjrinrnsiiiiXXCovXXCovX(10-19)根据中心极限定理,若各随机变量相互独立且对其总和有同等程度影响,则不管原来各个随机变量分布如何,它们的和倾向于正态分布。据此,可以假定结构自振频率服从正态分布。由上述讨论可见,求解式(10-4)是计算结构自振频率统计特性的关键一步,对于大型结构的特征值问题,要计算其全部特征值是十分困难的,也是没有必要的。在工程实际中,最关心的是结构的低阶特征
6、值。计算结构低阶特征值的方法很多,其中子空间迭代法是求解大中型结构特征值的最有效方法之一,应用很广。2、动水压力的附加质量矩阵 动水压力附加质量的计算常采用Westergard原理,具体计算方法如下:设作用在结点i的动水压力Pi为,则有:)(tvPniii(10-20)式中i为结点i的Westergard压力系数,其值为:)(87iiiiZHH 其中为水的密度,Hi为结点i处的水深,Zi为结点i距坝基面的高度。(10-21)式(10-20)中 为坝面结点i的法向加速度,其值为:)(tvni(t)v)(iTitvni其中 为结点i处坝面法线的方向余弦向量,为坝面结点i在整体坐标系中的加速度向量。
7、)(TizyxTiziyixtvtvtv)()()(t)vi(10-22)将式(10-22)代入式(10-20),得:(t)viTiiiP(10-23)关于结点水压力转换为结点力,最简单的方法是借助“辅助面积”的概念进行转换,即认为在结点i的“辅助面积”上动水压力的强度为常量,它垂直于坝面。于是有:iiniAPF(10-24)式中Fni为结点的法向结点力,规定垂直坝面向外为正;Ai为与结点i有关的“辅助面积”。计算“辅助面积”的最简单的方法是:KKKiKKiiNDAAAA/(10-25)式中AiK为单元K在上游坝面的面积,NDK为K单元在上游坝面的结点数,K表示与结点i有关的单元编码。设 为结
8、点i在整体坐标系中的结点力向量,它与Fni存在如下关系:TiziyixFFF)(iFniFiiF(10-26)将式(10-23)、(10-24)代入上式可得:(t)v(t)vFiTiiiTiiiiiiiAA由于(t)vFiiPiM所以有:KKiiiipiAAMTKiKiTii)(10-27)(10-28)(10-29)即Mpi为结点i的水库动水压力的附加质量,可直接组合到坝体的质量矩阵中去,得到拱坝、地基、库水的整体质量矩阵M+Mp。3、拱坝结构自振频率特性算例 设某双曲拱坝的坝高为292米,划分为4288个单元,其中坝体单元696个,结点总数为5685个,拱坝的单元划分情况见图10-1。坝体
9、为混凝土材料,弹模Ec=2.61104MPa,泊桑比 ,容重 。基岩的弹模 ,泊桑比 。取弹模为随机变量,统计特性列于表10-1。18.0c3/24mkNcarMPE4102.224.0r表10-1 随机变量的统计特性 cE41061.2rE4102.2随机变量均值(MPa)变异系数分布类型0.22正态0.136正态对空库和满库两种情况,分别计算拱坝结构自振频率的统计特性,得到的前10阶自振频率统计特性列于表10-2。表10-2 拱坝结构自振频率的统计特性 振型空库频率满库频率 均值(HZ)变异系数均值(HZ)变异系数11.2740.09351.1490.049721.3210.09451.2
10、020.052031.8670.09521.7390.052842.5370.09542.3230.048852.5380.09532.3640.053162.8190.08132.6590.043373.1340.07352.9510.040683.2900.08953.0070.047993.2940.09683.0870.0519103.8980.09463.6100.0512返回目录专题二专题二:拱坝坝肩的整体稳定可靠度 拱坝是一种受力情况十分复杂的空间结构。由于坝肩岩体一般被多组断层、裂隙、软弱带切割,当某一组结构面所围成的岩体有可能滑移时,坝肩就有可能失稳,因此,坝肩三维稳定分析是
11、拱坝设计的重要组成部分。岩体的成因和构造复杂,岩性多样,各种岩体,特别是断层、裂隙、软弱带,其物理力学参数具有明显的不确定性。作用于坝肩岩体上的荷载,特别是拱端推力,由于受到诸如水压、变温、地震等不确定性因素的影响,也呈现出不确定性。坝肩岩体被多组断层、裂隙切割,失稳岩体的大小、形状、滑动型式以及结构面的物理参数等都具有明显的随机性,因此,坝肩稳定可靠度分析是不连续介质的体系可靠度问题。目前进行坝肩稳定性分析,一般先研究确定最大可能失稳岩体的大小、形状及各结构面的产状,再用刚体极限平衡理论分析其抗滑稳定性。在坝肩稳定可靠度分析中,采用以下假定:(a)滑移体为刚本,即不考虑岩体自身的变形。(b)
12、结构面为平面,各结构面的产状由现场地质测量获得。(c)岩体的失稳是在各种荷载作用下,达到极限平衡状态时沿着某结构面或某结构面交线产生剪切滑移。(d)只考虑滑移体上力的平衡,不考虑力矩的平衡。1.坝肩岩体的失稳及其判别式 以图10-2所示的四面体为例,设其三个结构面分别为P1,P2,P3它们的向内法矢量分别为n1,n2,n3。根据刚体极限平衡理论,坝肩岩体失稳有三种型式:即脱离周围岩体运动;沿结构面Pi滑动(当沿结构面Pi滑动时,其它结构面均脱离);沿结构面Pi与Pj的交线滑动(当沿结构面Pi与Pj的交线滑动时,其余各面均脱开)。设作用于坝肩岩体上主动力的合力为R,当坝肩岩体脱离周围岩体运动时,
13、其运动方向S应与主动力合力R的方向一致,并且使坝肩岩体各结构面脱离周围岩体,判别条件为 S|R|R(10-30)3,2,1(i(10-31)坝肩岩体沿Pi面滑动的运动学条件有两个:一是R的方向使岩体不脱离Pi面,二是岩体的运动方向S与合力R在Pi面上的投影方向Si一致,且使Pi以外各面与周围岩体脱开,即 0nRi0nRi0nSli)(li|Rn|n)Rn(SSiiii式中(10-32)(10-33)(10-34)坝肩岩体沿Pi面滑动的力学条件是净滑动力F大于零,即0|Rn|Rn|FjiiiiAcf(10-35)式中,为Pi面的凝聚力、摩擦因数、面积。iiiAfc,坝肩岩体同时沿Pi与Pj面滑动
14、即是沿此二平面的交线运动,其运动学条件为:运动方向S使岩体不脱离Pi及Pj面,而使Pi、Pj以外的各面与周围岩体脱开,即:0nSji0nSii0nSl)(jil式中 R)nn(|Rn|n)Rn(SSjiiiiijSign(10-36)(10-37)(10-38)(10-39)坝肩岩体沿Pi与Pj面滑动的力学条件仍为净滑动力F大于零,即0|)nn()nR(|)nn()nR(|nn|nn(R|nn|12jjiijiiijijijijijiAcAcffF(10-40)2.坝肩岩体失稳概率的计算 作用于坝肩岩体上的荷载以及滑移面的凝聚力、摩擦因数等都是随机变量,对于所有可能的滑动型式,坝肩岩体失稳这一
15、事件都是可能发生的,必须充分考虑坝肩岩体失稳滑动型式和产生滑动的不确定性,才能得到符合实际的结果。以图10-2所示的四面体为例,共存在7种可能失稳型式:即3种单面滑型,3种双面滑型,以及脱离周围岩体运动。记该“四面体失稳”为事件A,7种可能失稳滑型分别为事件,B1,B2,B7。由于各事件Bi(i=1,2,7)两两互不相容,故可以用全概率公式计算A事件发生的概率:)()|()()|()()|()(772211BPBAPBPBAPBPBAPAP)()|0()()|)0(222111BPBFPBPBFP)()|0(777BPBFP式中P(Bi)为Bi滑型出现的概率;为在Bi滑型出现条件下坝肩岩体滑动
16、的概率。)|0(iiBFP(10-41)精确计算式(10-41)比较困难,目前通常作出各滑型统计独立、力学条件与运动学条件统计独立的假定,得到:)0()|0(iiiFPBFP)()()()()(4321PPPPPPPPBPi式中P(Pj)为结构面(或临空面)Pj(j=1,2,3,4)满足Bi滑型条件的概率。(10-43)(10-42)3.计算实例 设某双曲拱坝坝顶高程639m,最低建基面高程408m,最大坝高231m,上游水位高程630m,下游水位高程408m,考虑两种工况,即(a)正常水位+相应下游水位+泥沙压力+自重+温降。(b)校核洪水位+相应下游水位+泥沙压力+自重+正常温升。表10-
17、3 右岸各高程拱端、梁端作用力 工况高程/m 梁端作用力/kNm-1 拱端作用力/kNm-1 a639610580 4562585310833-12631-8378-12219-12150-19180-522802531783342805-773-45929-90597-3901-11260-11320 540 16123-22512-1000075794-124317-10096 500 38912-39377-14780095343-126617-7796 470 90607-63599-214100 82090-100545-1265 6394133-6615-13430 3355-93
18、19-520 610 5071-5676-22440 17287-57988-5875 b580 12054-9472-54950 38074-93765 6220 540 18689-16424-103500 72116-126946-2460 50039956-33622-15150093278-132084-110047087265-64643-22030081057-107957-3744表10-4 随机变量及其统计特性 变 量均值 变异系数 分布坝肩岩体容重26.20.02正态扬压力折减系数0.250.4正态抗滑动摩擦系数f1.60.2正态抗滑动凝聚力c/MPa1.920.2正态3/
19、mkN 根据有关资料,选取右岸485m高程处进行坝肩整体抗滑稳定可靠度分析。设右岸坝肩可能失稳岩体为四面体,底滑面为水平面,侧滑面走向290,倾向NE,倾角60。为简化计算,用多拱梁法计算拱端推力时,暂不考虑有关变量的随机性,将计算结果列于表10-3。坝肩稳定可靠度计算中取扬压力、岩体自重、抗剪断参数为随机变量。由于扬压力是扬压力折减系数的函数,故取为变量,以描述扬压力的随机性,各随机变量的统计特性列于表10-4。由上述讨论知:坝肩岩体失稳有多种滑型,对于每一种滑型,可根据其运动学条件和力学条件建立相应的极限状态方程。将计算得到的右岸485m高程坝肩岩体各滑型出现的概率、沿该滑型滑动的概率、坝
20、肩失稳的全概率以及坝肩稳定的可靠指标列于表10-5。对于实际上不可能出现的滑型,表中未列出。作为比较,表10-5还给出了摩擦系数、凝聚力的变异系数为0.3时的计算结果。表10-5 坝肩抗滑稳定可靠指标3.0Vf3.0CV3.0V3.0CV工况单 面 滑 型双 面 滑 型坝肩失稳坝肩稳定备注结构面滑型出现概率 滑动概率结构面滑型出现概率滑动概率全概率可靠指标P10.00.003797P1P30.00.00.185410-44.1250aP31.00.00001854P10.00.01720P1P30.00.655710-60.131910-23.0070P31.00.001319P10.00.0
21、02746P1P30.536410-60.00.179410-44.1325bP30.9999 0.00001794P10.00.01466P1P30.536410-60.415710-120.129110-23.0135P30.99990.001291 从表10-5的计算结果可见,工况a只出现沿P3面(底滑面)滑动的单面滑型,工况b以沿P3面滑动的单面滑型为主,并有沿P1与P3面交线滑动的双面滑型出现,但出现的概率很小。从算得的可靠指标来看,f、c的变异系数为0.2时,可靠指标能达到水利水电工程结构可靠度设计统一标准I级建筑物的要求;若f、c的变异系数为0.3,算得的可靠指标数值降低很多。可
22、以看出,f、c的变异性对坝肩岩体的稳定可靠度影响显著,所以,对于实际工程,f、c的取值应由实验资料统计得到。返回目录专题三专题三:隧洞结构的截面与体系可靠度 在修筑隧洞的地段,设计时考虑围岩、衬砌及外来作用的不确定性是十分重要的。目前分析隧洞结构的可靠度,一般假定为均匀地基,取确定的截面,按平面应变问题计算其可靠度。对于复杂地基条件下的隧洞结构,计算其截面可靠度宜采用随机有限元。隧洞结构的破坏可发生在沿隧洞轴线的任一位置,每一处破坏都形成一个区域(如图10-3所示)。隧洞结构沿其轴向的工作状态是由破坏区F和非破坏区S组成的,每一破坏区的长度也是不确定的,可见一个截面的可靠度并不能代表整个体系的
23、可靠度,所以在计算截面可靠度的基础上,有必要对整个体系的可靠度进行分析。设隧洞的长度为,若在内有破坏区出现,则定义为隧洞体系破坏。在给定围岩、衬砌和外部作用的情况下,隧洞的截面破坏概率可由弹性力学方法或随机有限元法求得。破坏区域的长度是一随便机变量,但其平均长度可根据围岩的特性,参考同类工程的破坏、维修情况估算出来。采用二维等参随机有限元法求结构的可靠指标,需求解结构的应力状态,并计算梯度向量 。二维等参元计算结构位移响应的方程为:G(Y)FK 式中K为整体劲度矩阵,F为整体荷载向量,分别由单元劲度矩阵Ke和单元荷载列阵Fe组合而成。(10-45)1.二维等参随机有限元列式 单元劲度矩阵为:t
24、HtddggTe g)JDBB(JDBBKT1111(10-46)由体力引起的单元荷载列阵为:t)(HtddgggeJNpJNpF1111(10-47)由静水压力引起的单元荷载列阵为:tdqT111T1eq)xy(NFt)q(HgTgg11TxyN(10-48)由式(10-45)解得结构位移响应后,即可求出单元e内任一点的应力:eDB(10-49)将式(10-45)微分并整理得:XKXFXK(10-50)求得 、之后,即可由上式解出 。XFXKX2.隧洞结构截面可靠度计算 设混凝土衬砌隧洞的横截面如图10-4所示,其内半径ri=3.0m,衬砌厚度0.5m,埋深25m,承受50m水头作用,各随机
25、变量及其统计特性如表10-6。泊桑比取为定值,混凝土取值0.167,围岩取值0.25。在边界水荷载下,计算隧洞周边各单元的可靠指标。采用四结点等参随机有限元法计算,算得的结构可靠指标列于表10-7。由表中的计算结果可见:隧洞顶部、底部单元的可靠指标较低,中部单元的可靠指标较高;隧洞周边单元的可靠指标值均在3.6以上,能满足一般水工建筑物的可靠度要求。表10-6随机变量及其统计特性变 量混凝土抗拉强度/MPa混凝土弹性模量/MPa混凝土容 重/kNm-3围岩弹性模量/MPa围 岩容 重/kNm-3内水压力/MPa均 值变异系数分布类型2.30.25正态2.681040.1正态250.02正态1.
26、801040.1正态250.02正态0.50.06正态表10-7 混凝土衬砌单元的结构可靠指标单元号1234563.653 3.823 4.129 4.483 4.776 4.866单元号7891011124.861 4.794 4.574 4.224 3.892 3.6983.隧洞结构体系可靠度分析方法 (1)基本理论及公式 设系统从工作状态起到系统破坏(或失效)的时间为X,X是一随机变量,设其概率密度函数为fx(x),则在时刻t,系统由工作状态变为破坏状态的速率为:tXXxsxxftftXPtftd)()()()()(10-51)如果 为修理时间Y的概率密度函数,由破坏状态到工作状态的速率
27、为)(yfYtYYfdyyftft)()()(10-52)在时刻t系统状态转变和状态转变的概率可由图10-5表明,图中S和F分别表示工作状态和破坏状态。设Ps(t)和PF(t)分别表示系统在时刻处于状态S和状态F的概率,若当t=0时,系统从状态S开始,可得PF(t)=exp-Q(t)t0d)()(exptttQs(10-53)式中Q(t)=。tfs(t)dt(t)0 当已知概率密度函数fx(x)和fY(y)时,系统在时刻t处于破坏状态的概率可由式(10-51)、(10-52)、(10-53)求得。系统在时刻t处于工作状态的概率即为该系统的适用性,用A(t)表示,即 A(t)=Ps(t)=1-P
28、F(t)(10-54)系统在时间经历t内的平均适用性为t0d)(1)(ttAttAE(10-55)系统正常工作时间X,修理时间Y常取为指数分布,对于第一个工作循环,系统从工作状态开始,则 xsXsxfe)(x0(10-56)由式(10-51)得stxstssdxeetss)(10-57)设在第一个循环内出现破坏的时刻为,修理时间为Y,则)(e)(yfYfyf y0(10-58)由式(10-52)得 fytftffdytff)()()(ee(10-59)tdttQfstfs)()()(0dttttPsfstfsF)(exp)(exp)(0)(exp1(tfsfss(10-60)系统的适用性为)(
29、exp1(1)(ttAfsfss(10-61)t)t()(A(t)Efsfssfsfexp12平均适用性为(10-62)当t 时,适用性达到一个稳定值,记为 fsfSVAP)(10-63)系统的破坏概率即为fsfSVFVPP11(10-64)(2)隧洞结构体系可靠度分析 隧洞结构的破坏区域沿轴线可能发生在任一部位(参见图10-3)。一般来说,破坏仅发生在小的区域,但如果围岩是均匀的弱质岩石,破坏区域也可能延伸较长的距离。破坏域和非破坏域的长度常假设为指数分布,两种状态的出现构成马尔可夫链,隧洞轴向某截面处的破坏概率可由式(10-64)得到,即fsfFVP1ffl1(10-65)设破坏区域的平均
30、长度为lf,lf的值取决于修筑隧洞地段的地质情况,可参考同类工程在使用中破坏、维修的情况,用统计方法估算出来。对于指数分布的破坏域长度,隧洞结构出现破坏的平均速率 是破坏域平均长度lf的倒数,即f若已知 和 的值,可由式(10-64)、(10-65)求得 为flFVPsfFVFVslPP)1(10-66)在隧洞轴向长度为L(L为随机变量)的区域内系统不破坏的概率Ps(L)可计算如下:计算该段隧洞在起始位置不破坏的概率PSV,亦即隧洞结构轴向任一截面不破坏的概率PSV=1PFV(10-67)1(exp)(fFVFVLlPLPeLPs内不破坏(10-68)隧洞体系在长为L的区域内不破坏的概率应为式
31、(10-67)、(10-68)的乘积,即)1(exp)1()(fFVFVFVslPLPPLP(10-69)而系统在L内破坏的概率PF(L)为)1(exp)1(1)(1)(fFVFVFVsFlPLPPLPLP(10-70)隧洞轴向某截面的破坏概率PFV即为随机有限元法算得的隧洞结构截面的破坏概率,所以,在分析隧洞结构体系可靠度时,通常先计算隧洞结构的截面可靠度得到PFV的值,再由式(10-70)计算隧洞结构体系的破坏概率,并分析该体系的靠度。4.隧洞结构体系可靠度计算 对于算例一讨论的混凝土衬砌隧洞,用随机有限元法求得截面最可能破坏单元的可靠指标为=3.653,破坏概率PFV=0.0002。以此
32、为隧洞结构截面的破坏率,讨论隧洞长度l、破坏区域平均长度lf对结构体系破坏概率的影响。对于不同的lf值,图10-6绘出了结构体系破坏概率关于隧洞尺度的变化曲线。由图示曲线可见,在给定截面破坏概率PFV的情况下,隧洞体系的破坏概率随长度L的增大而增大(即隧洞越长越容易破坏),随破坏区域的平均长度lf的减小而增大。当lf很小时,隧洞各破坏区域的关联就很弱,出现小区域破坏的可能性就增大,隧洞体系接近于各破坏区域统计独立的情况,这时体系的破坏概率PF(L)就比截面破坏率PFV大得多。当lf很大时,沿隧洞轴向的破坏是高度关联的,即整个隧洞体系接近于破坏完全相关情况,因此,体系破坏概率PF(L)将趋近于截面破坏概率PFV。所以,位于轴向均匀岩体中的隧洞结构,其体系可靠度接近于截面可靠度,而轴向不均匀岩体中的隧洞结构,其体系可靠度将大大低于其截面可靠度。
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