1、第十章 结构可靠度分析专题 目录v专题一：拱坝结构的动力可靠度v专题二：拱坝坝肩的整体稳定可靠度v专题三：隧洞结构的截面与体系可靠度专题一：拱坝结构的动力可靠度 1、结构自振频率的统计特性 在地震作用下，拱坝结构位移响应的动力学方程为：gpp)M(M)M(MCK (10-1)式中K为结构的劲度矩阵，C为结构的阻尼矩阵，M为质量矩阵，MP为动水压力的附加质量矩阵，分别为结构相对于基础的位移向量、速度向量和加速度向量，为地震时的地面加速度向量。,g 结构的阻尼对自振特性的影响很小，所以在研究自振特性时，可以略去阻尼的影响，得到求解广义特征值的方程如下：空库时：MuKu2j(10-2)满库时：)uM
2、(MKup2j(10-3)式中u为结点振幅向量，即振型；是与该振型对应的频率。j 结构的质量矩阵M、劲度矩阵K与材料特性和几何尺寸有关，一般只将材料的弹模作为随机变量。根据实践经验和统计分析的结果，自重的变异性很小，可作为定值处理。在式(10-2)中令 ，得到 jj2MuKuj(10-4)对于随机变量Xi(i=1,n)，在其均值点将K、j、u展开为泰勒级数，并取至二次项，得：)()K(21)()K(mK1121KXjjXiimXninkkiniXiimXimXmXXXmXXXX(10-5)()(21)()(1121XjjXiimXninkkijniXiimXijjjmXmXXXmXXmXX(1
3、0-6)()u(21)()u(mu1121uXjjXiimXninkkiniXiimXimXmXXXmXXXX(10-7)将式(10-5)、(10-6)、(10-7)代入式(10-2)，并利用振型的正交性加以整理，可得：XXmXjmX)Mu()Ku(jjXXXmXmXimXijXX)Muu/()uKu()(jTjjTjXXXmXmXjkimXkijuXXXX)Muu/()Ku()(jTj2Tj2(10-8)(10-9)(10-10)XXXXmXmXiijmXjmXiXXX)u()KM()MK()u(j1jXXXXXXmXimXiijmXmXkijijmXjmXkiXXXXXXXXX)u()KM
4、(2)u()KM()MK()u(jj221j2(10-11)(10-12)根据均值和协方差的定义，得到结构自振频率的统计特性为：ninkjimXkijmXjjXXCovXXEXX112),()(21)()(10-13)()()(),(jijijiEEECov(10-14)式(10-14)中 nrnssrmXsjrisrijsrjimXjijiXXCovXXXXXXEXX1122),(221)()(10-15)nrnssrmXsrijsrjimXjijiXXCovXXXXEEXX1122),(21)()()(10-16)舍去式（10-15）、(10-16)中的二次项，可得：),()(),(11s
5、rmXsjrinrnsjiXXCovXXCovX(10-17),()(41),(11srmXsjrinrnsjijiXXCovXXCovX(10-18)其标准差为：),()(21),(11srmXsjrinrnsiiiiXXCovXXCovX(10-19)根据中心极限定理，若各随机变量相互独立且对其总和有同等程度影响，则不管原来各个随机变量分布如何，它们的和倾向于正态分布。据此，可以假定结构自振频率服从正态分布。由上述讨论可见，求解式(10-4)是计算结构自振频率统计特性的关键一步，对于大型结构的特征值问题，要计算其全部特征值是十分困难的，也是没有必要的。在工程实际中，最关心的是结构的低阶特征
6、值。计算结构低阶特征值的方法很多，其中子空间迭代法是求解大中型结构特征值的最有效方法之一，应用很广。2、动水压力的附加质量矩阵 动水压力附加质量的计算常采用Westergard原理，具体计算方法如下：设作用在结点i的动水压力Pi为，则有：)(tvPniii(10-20)式中i为结点i的Westergard压力系数，其值为：)(87iiiiZHH 其中为水的密度，Hi为结点i处的水深，Zi为结点i距坝基面的高度。(10-21)式(10-20)中 为坝面结点i的法向加速度，其值为：)(tvni(t)v)(iTitvni其中 为结点i处坝面法线的方向余弦向量，为坝面结点i在整体坐标系中的加速度向量。
7、)(TizyxTiziyixtvtvtv)()()(t)vi(10-22)将式（10-22）代入式(10-20)，得：(t)viTiiiP(10-23)关于结点水压力转换为结点力，最简单的方法是借助“辅助面积”的概念进行转换，即认为在结点i的“辅助面积”上动水压力的强度为常量，它垂直于坝面。于是有：iiniAPF(10-24)式中Fni为结点的法向结点力，规定垂直坝面向外为正；Ai为与结点i有关的“辅助面积”。计算“辅助面积”的最简单的方法是：KKKiKKiiNDAAAA/(10-25)式中AiK为单元K在上游坝面的面积，NDK为K单元在上游坝面的结点数，K表示与结点i有关的单元编码。设 为结
8、点i在整体坐标系中的结点力向量，它与Fni存在如下关系：TiziyixFFF)(iFniFiiF(10-26)将式（10-23）、(10-24)代入上式可得：(t)v(t)vFiTiiiTiiiiiiiAA由于(t)vFiiPiM所以有：KKiiiipiAAMTKiKiTii)(10-27)(10-28)(10-29)即Mpi为结点i的水库动水压力的附加质量，可直接组合到坝体的质量矩阵中去，得到拱坝、地基、库水的整体质量矩阵M+Mp。3、拱坝结构自振频率特性算例 设某双曲拱坝的坝高为292米，划分为4288个单元，其中坝体单元696个，结点总数为5685个，拱坝的单元划分情况见图10-1。坝体
9、为混凝土材料，弹模Ec=2.61104MPa，泊桑比 ，容重 。基岩的弹模 ，泊桑比 。取弹模为随机变量，统计特性列于表10-1。18.0c3/24mkNcarMPE4102.224.0r表10-1 随机变量的统计特性 cE41061.2rE4102.2随机变量均值(MPa)变异系数分布类型0.22正态0.136正态对空库和满库两种情况，分别计算拱坝结构自振频率的统计特性，得到的前10阶自振频率统计特性列于表10-2。表10-2 拱坝结构自振频率的统计特性 振型空库频率满库频率 均值(HZ)变异系数均值（HZ）变异系数11.2740.09351.1490.049721.3210.09451.2
10、020.052031.8670.09521.7390.052842.5370.09542.3230.048852.5380.09532.3640.053162.8190.08132.6590.043373.1340.07352.9510.040683.2900.08953.0070.047993.2940.09683.0870.0519103.8980.09463.6100.0512返回目录专题二专题二：拱坝坝肩的整体稳定可靠度 拱坝是一种受力情况十分复杂的空间结构。由于坝肩岩体一般被多组断层、裂隙、软弱带切割，当某一组结构面所围成的岩体有可能滑移时，坝肩就有可能失稳，因此，坝肩三维稳定分析是
11、拱坝设计的重要组成部分。岩体的成因和构造复杂，岩性多样，各种岩体，特别是断层、裂隙、软弱带，其物理力学参数具有明显的不确定性。作用于坝肩岩体上的荷载，特别是拱端推力，由于受到诸如水压、变温、地震等不确定性因素的影响，也呈现出不确定性。坝肩岩体被多组断层、裂隙切割，失稳岩体的大小、形状、滑动型式以及结构面的物理参数等都具有明显的随机性，因此，坝肩稳定可靠度分析是不连续介质的体系可靠度问题。目前进行坝肩稳定性分析，一般先研究确定最大可能失稳岩体的大小、形状及各结构面的产状，再用刚体极限平衡理论分析其抗滑稳定性。在坝肩稳定可靠度分析中，采用以下假定：(a)滑移体为刚本，即不考虑岩体自身的变形。(b)
12、结构面为平面，各结构面的产状由现场地质测量获得。(c)岩体的失稳是在各种荷载作用下，达到极限平衡状态时沿着某结构面或某结构面交线产生剪切滑移。(d)只考虑滑移体上力的平衡，不考虑力矩的平衡。1.坝肩岩体的失稳及其判别式 以图10-2所示的四面体为例，设其三个结构面分别为P1,P2,P3它们的向内法矢量分别为n1,n2,n3。根据刚体极限平衡理论，坝肩岩体失稳有三种型式：即脱离周围岩体运动；沿结构面Pi滑动（当沿结构面Pi滑动时，其它结构面均脱离）；沿结构面Pi与Pj的交线滑动（当沿结构面Pi与Pj的交线滑动时，其余各面均脱开）。设作用于坝肩岩体上主动力的合力为R，当坝肩岩体脱离周围岩体运动时，
13、其运动方向S应与主动力合力R的方向一致，并且使坝肩岩体各结构面脱离周围岩体，判别条件为 S|R|R(10-30)3,2,1(i(10-31)坝肩岩体沿Pi面滑动的运动学条件有两个：一是R的方向使岩体不脱离Pi面，二是岩体的运动方向S与合力R在Pi面上的投影方向Si一致，且使Pi以外各面与周围岩体脱开，即 0nRi0nRi0nSli)(li|Rn|n)Rn(SSiiii式中(10-32)(10-33)(10-34)坝肩岩体沿Pi面滑动的力学条件是净滑动力F大于零，即0|Rn|Rn|FjiiiiAcf(10-35)式中，为Pi面的凝聚力、摩擦因数、面积。iiiAfc,坝肩岩体同时沿Pi与Pj面滑动
14、即是沿此二平面的交线运动，其运动学条件为：运动方向S使岩体不脱离Pi及Pj面，而使Pi、Pj以外的各面与周围岩体脱开，即：0nSji0nSii0nSl)(jil式中 R)nn(|Rn|n)Rn(SSjiiiiijSign(10-36)(10-37)(10-38)(10-39)坝肩岩体沿Pi与Pj面滑动的力学条件仍为净滑动力F大于零，即0|)nn()nR(|)nn()nR(|nn|nn(R|nn|12jjiijiiijijijijijiAcAcffF(10-40)2.坝肩岩体失稳概率的计算 作用于坝肩岩体上的荷载以及滑移面的凝聚力、摩擦因数等都是随机变量，对于所有可能的滑动型式，坝肩岩体失稳这一
15、事件都是可能发生的，必须充分考虑坝肩岩体失稳滑动型式和产生滑动的不确定性，才能得到符合实际的结果。以图10-2所示的四面体为例，共存在7种可能失稳型式：即3种单面滑型，3种双面滑型，以及脱离周围岩体运动。记该“四面体失稳”为事件A，7种可能失稳滑型分别为事件，B1,B2,B7。由于各事件Bi(i=1,2,7)两两互不相容，故可以用全概率公式计算A事件发生的概率：)()|()()|()()|()(772211BPBAPBPBAPBPBAPAP)()|0()()|)0(222111BPBFPBPBFP)()|0(777BPBFP式中P(Bi)为Bi滑型出现的概率；为在Bi滑型出现条件下坝肩岩体滑动
16、的概率。)|0(iiBFP(10-41)精确计算式(10-41)比较困难，目前通常作出各滑型统计独立、力学条件与运动学条件统计独立的假定，得到：)0()|0(iiiFPBFP)()()()()(4321PPPPPPPPBPi式中P(Pj)为结构面（或临空面）Pj(j=1,2,3,4)满足Bi滑型条件的概率。(10-43)(10-42)3.计算实例 设某双曲拱坝坝顶高程639m，最低建基面高程408m，最大坝高231m，上游水位高程630m，下游水位高程408m，考虑两种工况，即(a)正常水位+相应下游水位+泥沙压力+自重+温降。(b)校核洪水位+相应下游水位+泥沙压力+自重+正常温升。表10-
17、3 右岸各高程拱端、梁端作用力 工况高程/m 梁端作用力/kNm-1 拱端作用力/kNm-1 a639610580 4562585310833-12631-8378-12219-12150-19180-522802531783342805-773-45929-90597-3901-11260-11320 540 16123-22512-1000075794-124317-10096 500 38912-39377-14780095343-126617-7796 470 90607-63599-214100 82090-100545-1265 6394133-6615-13430 3355-93
18、19-520 610 5071-5676-22440 17287-57988-5875 b580 12054-9472-54950 38074-93765 6220 540 18689-16424-103500 72116-126946-2460 50039956-33622-15150093278-132084-110047087265-64643-22030081057-107957-3744表10-4 随机变量及其统计特性 变 量均值 变异系数 分布坝肩岩体容重26.20.02正态扬压力折减系数0.250.4正态抗滑动摩擦系数f1.60.2正态抗滑动凝聚力c/MPa1.920.2正态3/
19、mkN 根据有关资料，选取右岸485m高程处进行坝肩整体抗滑稳定可靠度分析。设右岸坝肩可能失稳岩体为四面体，底滑面为水平面，侧滑面走向290，倾向NE，倾角60。为简化计算，用多拱梁法计算拱端推力时，暂不考虑有关变量的随机性，将计算结果列于表10-3。坝肩稳定可靠度计算中取扬压力、岩体自重、抗剪断参数为随机变量。由于扬压力是扬压力折减系数的函数，故取为变量，以描述扬压力的随机性，各随机变量的统计特性列于表10-4。由上述讨论知：坝肩岩体失稳有多种滑型，对于每一种滑型，可根据其运动学条件和力学条件建立相应的极限状态方程。将计算得到的右岸485m高程坝肩岩体各滑型出现的概率、沿该滑型滑动的概率、坝
20、肩失稳的全概率以及坝肩稳定的可靠指标列于表10-5。对于实际上不可能出现的滑型，表中未列出。作为比较，表10-5还给出了摩擦系数、凝聚力的变异系数为0.3时的计算结果。表10-5 坝肩抗滑稳定可靠指标3.0Vf3.0CV3.0V3.0CV工况单 面 滑 型双 面 滑 型坝肩失稳坝肩稳定备注结构面滑型出现概率 滑动概率结构面滑型出现概率滑动概率全概率可靠指标P10.00.003797P1P30.00.00.185410-44.1250aP31.00.00001854P10.00.01720P1P30.00.655710-60.131910-23.0070P31.00.001319P10.00.0
21、02746P1P30.536410-60.00.179410-44.1325bP30.9999 0.00001794P10.00.01466P1P30.536410-60.415710-120.129110-23.0135P30.99990.001291 从表10-5的计算结果可见，工况a只出现沿P3面（底滑面）滑动的单面滑型，工况b以沿P3面滑动的单面滑型为主，并有沿P1与P3面交线滑动的双面滑型出现，但出现的概率很小。从算得的可靠指标来看，f、c的变异系数为0.2时，可靠指标能达到水利水电工程结构可靠度设计统一标准I级建筑物的要求；若f、c的变异系数为0.3，算得的可靠指标数值降低很多。可
22、以看出，f、c的变异性对坝肩岩体的稳定可靠度影响显著，所以，对于实际工程，f、c的取值应由实验资料统计得到。返回目录专题三专题三：隧洞结构的截面与体系可靠度 在修筑隧洞的地段，设计时考虑围岩、衬砌及外来作用的不确定性是十分重要的。目前分析隧洞结构的可靠度，一般假定为均匀地基，取确定的截面，按平面应变问题计算其可靠度。对于复杂地基条件下的隧洞结构，计算其截面可靠度宜采用随机有限元。隧洞结构的破坏可发生在沿隧洞轴线的任一位置，每一处破坏都形成一个区域（如图10-3所示）。隧洞结构沿其轴向的工作状态是由破坏区F和非破坏区S组成的，每一破坏区的长度也是不确定的，可见一个截面的可靠度并不能代表整个体系的
23、可靠度，所以在计算截面可靠度的基础上，有必要对整个体系的可靠度进行分析。设隧洞的长度为，若在内有破坏区出现，则定义为隧洞体系破坏。在给定围岩、衬砌和外部作用的情况下，隧洞的截面破坏概率可由弹性力学方法或随机有限元法求得。破坏区域的长度是一随便机变量，但其平均长度可根据围岩的特性，参考同类工程的破坏、维修情况估算出来。采用二维等参随机有限元法求结构的可靠指标，需求解结构的应力状态，并计算梯度向量 。二维等参元计算结构位移响应的方程为：G(Y)FK 式中K为整体劲度矩阵，F为整体荷载向量，分别由单元劲度矩阵Ke和单元荷载列阵Fe组合而成。(10-45)1.二维等参随机有限元列式 单元劲度矩阵为：t
24、HtddggTe g)JDBB(JDBBKT1111(10-46)由体力引起的单元荷载列阵为：t)(HtddgggeJNpJNpF1111(10-47)由静水压力引起的单元荷载列阵为：tdqT111T1eq)xy(NFt)q(HgTgg11TxyN(10-48)由式（10-45）解得结构位移响应后，即可求出单元e内任一点的应力：eDB(10-49)将式（10-45）微分并整理得：XKXFXK(10-50)求得 、之后，即可由上式解出 。XFXKX2.隧洞结构截面可靠度计算 设混凝土衬砌隧洞的横截面如图10-4所示，其内半径ri=3.0m，衬砌厚度0.5m，埋深25m,承受50m水头作用，各随机
25、变量及其统计特性如表10-6。泊桑比取为定值，混凝土取值0.167，围岩取值0.25。在边界水荷载下，计算隧洞周边各单元的可靠指标。采用四结点等参随机有限元法计算，算得的结构可靠指标列于表10-7。由表中的计算结果可见：隧洞顶部、底部单元的可靠指标较低，中部单元的可靠指标较高；隧洞周边单元的可靠指标值均在3.6以上，能满足一般水工建筑物的可靠度要求。表10-6随机变量及其统计特性变 量混凝土抗拉强度/MPa混凝土弹性模量/MPa混凝土容 重/kNm-3围岩弹性模量/MPa围 岩容 重/kNm-3内水压力/MPa均 值变异系数分布类型2.30.25正态2.681040.1正态250.02正态1.
26、801040.1正态250.02正态0.50.06正态表10-7 混凝土衬砌单元的结构可靠指标单元号1234563.653 3.823 4.129 4.483 4.776 4.866单元号7891011124.861 4.794 4.574 4.224 3.892 3.6983.隧洞结构体系可靠度分析方法 (1)基本理论及公式 设系统从工作状态起到系统破坏（或失效）的时间为X，X是一随机变量，设其概率密度函数为fx(x)，则在时刻t，系统由工作状态变为破坏状态的速率为：tXXxsxxftftXPtftd)()()()()(10-51)如果 为修理时间Y的概率密度函数，由破坏状态到工作状态的速率
27、为)(yfYtYYfdyyftft)()()(10-52)在时刻t系统状态转变和状态转变的概率可由图10-5表明，图中S和F分别表示工作状态和破坏状态。设Ps(t)和PF（t）分别表示系统在时刻处于状态S和状态F的概率，若当t=0时，系统从状态S开始，可得PF（t）=exp-Q(t)t0d)()(exptttQs(10-53)式中Q(t)=。tfs(t)dt(t)0 当已知概率密度函数fx(x)和fY(y)时，系统在时刻t处于破坏状态的概率可由式（10-51）、（10-52）、（10-53）求得。系统在时刻t处于工作状态的概率即为该系统的适用性，用A(t)表示，即 A(t)=Ps(t)=1-P
28、F(t)（10-54）系统在时间经历t内的平均适用性为t0d)(1)(ttAttAE(10-55)系统正常工作时间X，修理时间Y常取为指数分布，对于第一个工作循环，系统从工作状态开始，则 xsXsxfe)(x0(10-56)由式（10-51）得stxstssdxeetss)(10-57)设在第一个循环内出现破坏的时刻为，修理时间为Y，则)(e)(yfYfyf y0(10-58)由式（10-52）得 fytftffdytff)()()(ee(10-59)tdttQfstfs)()()(0dttttPsfstfsF)(exp)(exp)(0)(exp1(tfsfss(10-60)系统的适用性为)(
29、exp1(1)(ttAfsfss(10-61)t)t()(A(t)Efsfssfsfexp12平均适用性为(10-62)当t 时，适用性达到一个稳定值，记为 fsfSVAP)(10-63)系统的破坏概率即为fsfSVFVPP11(10-64)(2)隧洞结构体系可靠度分析 隧洞结构的破坏区域沿轴线可能发生在任一部位（参见图10-3）。一般来说，破坏仅发生在小的区域，但如果围岩是均匀的弱质岩石，破坏区域也可能延伸较长的距离。破坏域和非破坏域的长度常假设为指数分布，两种状态的出现构成马尔可夫链，隧洞轴向某截面处的破坏概率可由式（10-64）得到，即fsfFVP1ffl1(10-65)设破坏区域的平均
30、长度为lf,lf的值取决于修筑隧洞地段的地质情况，可参考同类工程在使用中破坏、维修的情况，用统计方法估算出来。对于指数分布的破坏域长度，隧洞结构出现破坏的平均速率 是破坏域平均长度lf的倒数，即f若已知 和 的值，可由式（10-64）、（10-65）求得 为flFVPsfFVFVslPP)1(10-66)在隧洞轴向长度为L（L为随机变量）的区域内系统不破坏的概率Ps(L)可计算如下：计算该段隧洞在起始位置不破坏的概率PSV，亦即隧洞结构轴向任一截面不破坏的概率PSV=1PFV(10-67)1(exp)(fFVFVLlPLPeLPs内不破坏(10-68)隧洞体系在长为L的区域内不破坏的概率应为式
31、（10-67）、（10-68）的乘积，即)1(exp)1()(fFVFVFVslPLPPLP(10-69)而系统在L内破坏的概率PF（L）为)1(exp)1(1)(1)(fFVFVFVsFlPLPPLPLP(10-70)隧洞轴向某截面的破坏概率PFV即为随机有限元法算得的隧洞结构截面的破坏概率，所以，在分析隧洞结构体系可靠度时，通常先计算隧洞结构的截面可靠度得到PFV的值，再由式（10-70）计算隧洞结构体系的破坏概率，并分析该体系的靠度。4.隧洞结构体系可靠度计算 对于算例一讨论的混凝土衬砌隧洞，用随机有限元法求得截面最可能破坏单元的可靠指标为=3.653，破坏概率PFV=0.0002。以此
32、为隧洞结构截面的破坏率，讨论隧洞长度l、破坏区域平均长度lf对结构体系破坏概率的影响。对于不同的lf值，图10-6绘出了结构体系破坏概率关于隧洞尺度的变化曲线。由图示曲线可见，在给定截面破坏概率PFV的情况下，隧洞体系的破坏概率随长度L的增大而增大（即隧洞越长越容易破坏），随破坏区域的平均长度lf的减小而增大。当lf很小时，隧洞各破坏区域的关联就很弱，出现小区域破坏的可能性就增大，隧洞体系接近于各破坏区域统计独立的情况，这时体系的破坏概率PF（L）就比截面破坏率PFV大得多。当lf很大时，沿隧洞轴向的破坏是高度关联的，即整个隧洞体系接近于破坏完全相关情况，因此，体系破坏概率PF（L）将趋近于截面破坏概率PFV。所以，位于轴向均匀岩体中的隧洞结构，其体系可靠度接近于截面可靠度，而轴向不均匀岩体中的隧洞结构，其体系可靠度将大大低于其截面可靠度。
