1、第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形平行四边形 18.1.2 平行四边形的平行四边形的判定判定 新知新知 1 平行四边形的定义平行四边形的定义 平行四边形的判定定理： (1)平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边 形是平行四边形； (2)平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形； (3)平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形 是平行四边形； (4)平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形. 例题精讲例题精讲 【例1】如图18112，已知ACDE且ACDE，AD， CE交于点B，AF，DG分别是ABC，BDE的中线， 求证：四边形AGD
2、F是平行四边形. 解析 由已知可证ABCDBE，又AF，DG分 别是ABC，BDE的中线，则依据平行四边形的 判定定理即可得证. 解 ACED，ACDE， CE，CABEDB. ABCDBE. ABDB，CBEB. AF，DG分别是ABC，BDE的中线， BGBF. 四边形AGDF是平行四边形. 举一反三 1. 如图18113，已知D是ABC的边AB上一点， CEAB，DE交AC于点O，且OAOC. 求证：四边形 ADCE是平行四边形. 证明：CEAB，ADECED. 在AOD与COE中， AODCOE(AAS). ODOE. 四边形ADCE是平行四边形. OAOC， ADOCEO， AODC
3、OE， 2.以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点，作形 状不同的平行四边形，一共可以作( ) A. 0个或3个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 2.如图18114，在四边形ABCD中，M是边BC 的中点，AM，BD互相平分并交于点O，求证：四 边形AMCD是平行四边形. 证明：连接DM，如答图1811所示. AM，BD互相平分于点O， 即AOOM，BODO， 四边形ABMD为平行四边形. ADBM，ADBM. 又M为BC的中点，BM MC. ADMC，ADMC. 四边形AMCD为平行四边形. 新知新知 2 三角形中位线定理三角形中位线定理 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的
4、中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角 形的第三边，且等于第三边的一半. 例题精讲 【例2】如图18115所示，等边ABC的边长是2， D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF BC，连接CD和EF. (1)求证：DECF； (2)求EF的长. 解析 (1)直接利用三角形中位线定理得出 进而得出DECF；(2)利用平行四边形的判定与性质 得出DCEF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定 理得出EF的长. 答案 (1)证明：D，E分别为AB，AC的中点， DEBC且DE BC. CF BC，DECF. (2)解：由(1)得DEBC，DEFC， 四边形DEFC是平行四边形
5、.DCEF. D为AB的中点，等边ABC的边长是2， ADBD1，CDAB，BC2. EFDC . 点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行 四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得 出 是解题关键. 举一反三 1.1.如图18116，在ABC中，AB4，AC3， AD，AE分别是ABC角平分线和中线，过点C作 CGAD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的 长. 解：在AGF和ACF中， AGFACF. AGAC3，GFCF， 则BGABAG431. 又BECE，EF是BCG的中位线. EF BG . AFGAFC， GAFCAF， AFAF， 2. 如图18117所示，在四
6、边形ABCD中，ADBC， E，F，G分别是AB，CD，AC的中点. 求证：EFG是 等腰三角形. 证明：E，F，G分别是AB， CD，AC的中点. GF AD，GE BC. 又ADBC， GFGE， 即EFG是等腰三角形. 7. (6分)已知：如图KT1819，在ABC中，DE 是中位线，EFAB，EF交BC于点F. 求证：F是BC的 中点. 证明：在ABC中，DE是中位线， 点E是AC的中点. 又EFAB， EF是ABC的中位线， 点F是BC的中点. 8. (6分)如图KT18110，点A，B，C，D在同一条 直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AEDF， AD，ABDC. 求证：四边形BFCE是平行四边形. AEDF， ACDB， AD， 证明：ABDC，ACDB. 在AEC和DFB中， AECDFB(SAS). BFEC，ACEDBF. ECBF. 四边形BFCE是平行四边形.
