1、第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形平行四边形 18.1.2 平行四边形的平行四边形的判定判定 新知新知 1 平行四边形的定义平行四边形的定义 平行四边形的判定定理: (1)平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边 形是平行四边形; (2)平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边 形是平行四边形; (3)平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形 是平行四边形; (4)平行四边形判定定理4 一组对边平行且相等的四 边形是平行四边形. 例题精讲例题精讲 【例1】如图18112,已知ACDE且ACDE,AD, CE交于点B,AF,DG分别是ABC,BDE的中线, 求证:四边形AGD
2、F是平行四边形. 解析 由已知可证ABCDBE,又AF,DG分 别是ABC,BDE的中线,则依据平行四边形的 判定定理即可得证. 解 ACED,ACDE, CE,CABEDB. ABCDBE. ABDB,CBEB. AF,DG分别是ABC,BDE的中线, BGBF. 四边形AGDF是平行四边形. 举一反三 1. 如图18113,已知D是ABC的边AB上一点, CEAB,DE交AC于点O,且OAOC. 求证:四边形 ADCE是平行四边形. 证明:CEAB,ADECED. 在AOD与COE中, AODCOE(AAS). ODOE. 四边形ADCE是平行四边形. OAOC, ADOCEO, AODC
3、OE, 2.以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点,作形 状不同的平行四边形,一共可以作( ) A. 0个或3个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 2.如图18114,在四边形ABCD中,M是边BC 的中点,AM,BD互相平分并交于点O,求证:四 边形AMCD是平行四边形. 证明:连接DM,如答图1811所示. AM,BD互相平分于点O, 即AOOM,BODO, 四边形ABMD为平行四边形. ADBM,ADBM. 又M为BC的中点,BM MC. ADMC,ADMC. 四边形AMCD为平行四边形. 新知新知 2 三角形中位线定理三角形中位线定理 定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的
4、中位线. 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角 形的第三边,且等于第三边的一半. 例题精讲 【例2】如图18115所示,等边ABC的边长是2, D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF BC,连接CD和EF. (1)求证:DECF; (2)求EF的长. 解析 (1)直接利用三角形中位线定理得出 进而得出DECF;(2)利用平行四边形的判定与性质 得出DCEF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定 理得出EF的长. 答案 (1)证明:D,E分别为AB,AC的中点, DEBC且DE BC. CF BC,DECF. (2)解:由(1)得DEBC,DEFC, 四边形DEFC是平行四边形
5、.DCEF. D为AB的中点,等边ABC的边长是2, ADBD1,CDAB,BC2. EFDC . 点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行 四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识,得 出 是解题关键. 举一反三 1.1.如图18116,在ABC中,AB4,AC3, AD,AE分别是ABC角平分线和中线,过点C作 CGAD于点F,交AB于点G,连接EF,求线段EF的 长. 解:在AGF和ACF中, AGFACF. AGAC3,GFCF, 则BGABAG431. 又BECE,EF是BCG的中位线. EF BG . AFGAFC, GAFCAF, AFAF, 2. 如图18117所示,在四
6、边形ABCD中,ADBC, E,F,G分别是AB,CD,AC的中点. 求证:EFG是 等腰三角形. 证明:E,F,G分别是AB, CD,AC的中点. GF AD,GE BC. 又ADBC, GFGE, 即EFG是等腰三角形. 7. (6分)已知:如图KT1819,在ABC中,DE 是中位线,EFAB,EF交BC于点F. 求证:F是BC的 中点. 证明:在ABC中,DE是中位线, 点E是AC的中点. 又EFAB, EF是ABC的中位线, 点F是BC的中点. 8. (6分)如图KT18110,点A,B,C,D在同一条 直线上,点E,F分别在直线AD的两侧,且AEDF, AD,ABDC. 求证:四边形BFCE是平行四边形. AEDF, ACDB, AD, 证明:ABDC,ACDB. 在AEC和DFB中, AECDFB(SAS). BFEC,ACEDBF. ECBF. 四边形BFCE是平行四边形.