1、 - 1 - 2016-2017 学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1复数 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 2已知函数 f（ x） =e x，则 f（ 1） =（ ） A B C e D e 3甲射击命中目标的概率为 ，乙射击命中目标的概率为 现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ） A B C D 4已知函数 f（ x）在 R上可导，其部 分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ） A a f（ 1） f（ 2） B f（
2、 1） a f（ 2） C f（ 2） f（ 1） a D f（ 1） f（ 2） a 5直线 y=x与抛物线 y=x2所围成的封闭图形的面积是（ ） A B C D 6用 1， 2， 3， 4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比 2000大的偶数共有（ ） A 16个 B 12个 C 9个 D 8个 7函数 在区间 0， 上的最大、最小值分别为（ ） A ， 0 B C D 8 5个 黑球和 4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ） A总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 - 2 - B总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D
3、总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在题中横线上 . 9曲线 y= 在 x=2处的切线的斜率为 10 展开式中的常数项是 11离散型随机变量 的分布列为： 1 2 3 p p1 p2 且 E=2 ，则 p1= ； p2= 12某班举行的联欢会由 5 个节目组成，节目演出顺序要求如下：节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有 种 13若函数 f（ x） =ax3 ax2+x在区间（ 1， 0）上恰有一个极值点，则 a的取值范围是 14已知，对于任意 x R， ex ax+b均成
4、立 若 a=e，则 b的最大值为 ； 在所有符合题意的 a， b中， a b的最小值为 三、解答题：本大题共 6小题，共 80分 .解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤 . 15在数列 an中， a1=1， ，其中 n=1， 2， 3， ? （ ） 计算 a2， a3， a4， a5的值； （ ） 根据计算结果，猜想 an的通项公式，并用数学归纳法加以证明 16甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙投球 2次均未命中的概率为 （ ）求甲投球 2次，至少命中 1次的概率； （ ）若甲、乙两人各投球 2次，求两人共命中 3次的概率 17已知函数 f（ x） =
5、x3+3ax2 （ ） 若 a= 1，求 f（ x）的极值点和极值； - 3 - （ ） 求 f（ x）在 0， 2上的最大值 18一个袋中装有黑球，白球和红球共 n（ n N*）个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是 现从袋中任意摸出 2个球 （ ） 用含 n 的代数式表示摸出的 2 球都是黑球的概率，并写出概率最小时 n 的值（直接写出 n的值） （ ） 若 n=15，且摸出的 2个球中至少有 1个白球的概率是 ，设 X表示摸出的 2个球中红球的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望 19已知函数 f（ x） =ax2+bx和 g（ x） =lnx （ ）
6、若 a=b=1，求证： f（ x）的图象在 g（ x）图象的上方； （ ） 若 f（ x）和 g（ x）的图象有公共点 P，且在点 P处的切线相同，求 a的取值范围 20已知函数 f（ x） =（ x 1） ex （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）证明：当 a 0时，方程 f（ x） =a在区间（ 1， + ）上只有一个解； （ ）设 h（ x） =f（ x） aln（ x 1） ax，其中 a 0若 h（ x） 0恒成立，求 a的取值范围 - 4 - 2016-2017 学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，
7、共 40 分 .在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1复数 等于（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【考点】 A7：复数代数形式的混合运算 【分析】 化简复数为 a+bi（ a、 b R）的形式即可 【解答】 解：复数 = 故选 A 2已知函数 f（ x） =e x，则 f（ 1） =（ ） A B C e D e 【考点】 63：导数的运算 【分析】 根据题意，由函数 f（ x）的解析式可得其导数 f （ x），将 x= 1 代入计算即可得答案 【解答】 解：根据题意，函数 f（ x） =e x， 则 f （ x） = e x， 则 f （ 1） = e
8、（ 1） = e； 故选： D 3甲射击命中目标的概率为 ，乙射击命中目标的概率为 现在两人同时射击目标，则目标被击中的概率是（ ） A B C D 【考点】 C5：互斥事件的概率加法公式 【分析】 目标被击中的对立事件是甲、乙二人都没有击中，由此利用对立事件概率计算公式- 5 - 能求出目标被击中的概率 【解答】 解：设事件 A 表示 “ 甲射击命中目标 ” ，事件 B表示 “ 乙射击命中目标 ” ， 则 P（ A） = ， P（ B） = ， 目标被击中的对立事件是 甲、乙二人都没有击中， 目标被击中的概率： p=1 1 P（ A） 1 P（ B） =1 = 目标被击中的概率是 故选： C
9、 4已知函数 f（ x）在 R 上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ） A a f（ 1） f（ 2） B f（ 1） a f（ 2） C f（ 2） f（ 1） a D f（ 1） f（ 2） a 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】 根据图象和导数的几何意义即可判断 【解答】 解：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数 在该点的斜率越开越大， ， f （ 1） a f （ 2）， 故选： B 5直线 y=x与抛物线 y=x2所围成的封闭图形的面积是（ ） - 6 - A B C D 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】 先求曲线的交点的坐标，
10、确定积分区间，再用定积分表示面积即可得到结论 【解答】 解：由 ，可得交点的坐标为（ 0， 0）， A（ 1， 1）， 所求的封闭图形的面积为 S= （ x x2） dx=（ x2 x3） | = = ， 故选： C 6用 1， 2， 3， 4四个数字组 成无重复数字的四位数，其中比 2000大的偶数共有（ ） A 16个 B 12个 C 9个 D 8个 【考点】 D8：排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，分析可得要求四位数的首位数字必须是 2、 3、 4 中一个，据此按首位数字的不同分 3种情况讨论，求出每一种情况的四位数数目，由加法原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，要求的四位
11、数比 2000大，则其首位数字必须是 2、 3、 4中一个， 则分 3种情况讨论： 、首位数字为 2时，其个位数字必须为 4，将 1、 3全排列，安排在中间两个数位，有 A22=2种情况，即此时有 2个比 2000大的偶数， 、首位数字为 3时，其个位数字必须为 2或 4，有 2种情况，将剩下的 2个数字全排列，安排在中间两个数位，有 A22=2种情况，即此时有 2 2=4个比 2000大的偶数， 、首位数字为 4时，其个位数字必须为 2，将 1、 3全排列，安排在中间两个数位，有 A22=2种情况，即此时有 2个比 2000大的偶数， 则一共有 2+4+2=8个比 2000大的偶数， 故选：
12、 D 7函数 在区间 0， 上的最大、最小值分别为（ ） A ， 0 B C D 【考点】 GL：三角函数中的恒等变 换应用 - 7 - 【分析】 对函数 f（ x）求导数，利用导数判断 f（ x）的单调性，并求 f（ x）在区间 0， 上的最大、最小值 【解答】 解：函数 ， f （ x） =1 cosx； 令 f （ x） =0，解得 cosx= ， 又 x 0， ， x= ； x 0， ）时， f （ x） 0， f（ x）单调递减； x （ ， 时， f （ x） 0， f（ x）单调递增； 且 f（ ） = sin = 1， f（ 0） =0， f（ ） = ； 函数 f（ x）在区
13、间 0， 上的最大、最小值分别为 和 1 故选 ： C 8 5个黑球和 4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是（ ） A总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 B总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 C总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 D总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 【考点】 F4：进行简单的合情推理 【分析】 5个黑球和 4个白球， 5为奇数， 4为偶数，分析即可得到答案 【解答】 解： 5为奇数， 4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多， 故选： B 二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共 30分 .把答案填在题中横线上 . 9曲线
14、y= 在 x=2处的切线的斜率为 【考点】 62：导数的几何意义 【分析】 要求函数在 x=2处切线的斜率，即求在 x=2 处的导数值 - 8 - 【解答】 解： y= y= 则 y = 曲线 y= 在 x=2处的切线的斜率为 故答案为： 10 展开式中的常数项是 24 【考点】 DC：二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x的幂指数等于 0，求出 r的值，即可求得常数项 【解答】 解： 展开式的通项公式为 Tr+1= ?24 r?（ 1） r?x4 2r， 令 4 2r=0，求得 r=2，可得常数项是 24， 故答案为： 24 11离散型随机变量 的分布列为： 1 2 3 p p1 p2 且 E=2 ，则 p1= ； p2= 【考点】 CG：离散型随机变量及其分布列 【分析】 由 E=2 ，利用离散型随机变量 的分布列，列出方程组，由此能求出解得 p1
