1、 北京市怀柔区 20222023 学年度第二学期期末试卷高二数学北京市怀柔区 20222023 学年度第二学期期末试卷高二数学 2023.7 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）若1,2x成等差数列，则（A）32x （B）3x （C）2x （D）2 x（2）函数1()f xxx在2x处的切线斜率为（A）-3 （B）34 （C）54 （D）5（3）已知函数()sincosf xxx，()fx为()f x的导函数，则（A）()sincosfxxx （B）()sincosfxxx（C）()sincosfxxx
2、 （D）()sincosfxxx（4）一个袋中装有大小相同的 3 个白球和 2 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B，则 P(B|A)=（A）14（B）310（C）35 （D）12（5）已知函数()f x的导函数()fx的图象如图所示，则()f x（A）有极小值,但无极大值（B）既有极小值,也有极大值（C）有极大值,但无极小值（D）既无极小值,也无极大值（6）将一枚均匀硬币随机抛掷4次，记“正面向上出现的次数”为X，则随机变量X的期望()E X（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（7）在数列na中，若1
3、1a ，*11(2,)1nnannNa，则10a （A）-1（B）1（C）12（D）2（8）若nS是等差数列na的前n项和，8(8,)nSS nnN，则（A）890,0aa （B）890,0aa （C）890,0aa （D）890,0aa（9）数列na的通项公式为()2(1,2,)nnann,若na是递增数列,则的取值范围是（A）1,)（B）2(1log,3)e （C）2(,1loge （D）(,3)（10）已知函数()3)(xf xeln x，则下面对函数 f(x)的描述正确的是 (A)1()(33,)xf x (B)1()(23,)xf x (C)001()(3,),xf x (D),()
4、()0 1minf x 第二部分（非选择题 共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.（11）设函数()xxf xe，则(1)f _ （12）已知随机变量X的分布列如下,且7()6E X：X 0 1 a P 16 p 13 则p _；a _ （13）已知na是公比为q的等比数列，其前n项和为nS若213Sa，则q _ （14）若曲线lnyxabx在0 x 处的切线方程为yx，则a _；b _（15）设随机变量的分布列如下:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 给出下列四个结论：当na为等差数列时,5615aa；
5、当na为等差数列时,公差10d45；当数列na满足12nna(n=1,2,.,9)时,10912a；当数列na满足时,211()(1,2,10)10(1)knPkk a kan n时，.其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题 13 分）已知等差数列的na的前 n 项和为nS，从条件、条件和条件中选择两个作为已知，并完成解答:（）求na的通项公式；（）若nb是等比数列，12ba，23,bS求数列nnab的前n项和nT 12nnaa；47a；24.S （17）（本小题 13 分）已知函数21()(e1)2xf xx
6、x（）求()f x的极值；（）求()f x在区间 1,2上的最大值和最小值 （18）（本小题 14 分）为宣传交通安全知识，某地区中学联合开展了交通安全知识竞赛活动现从参加该活动的学生中随机抽取了 20 名学生，将他们的竞赛成绩（单位：分）用茎叶图记录如下：男 女 5 8 0 6 6 8 5 7 0 5 6 6 4 1 8 6 9 6 2 2 1 9 5 8 8 （）从该地区参加该活动的男生中随机抽取 1 人，估计该男生的竞赛成绩在 90 分以上的概率；（）从图中 90 分以上的人中随机抽取 4 人，抽到男生的人数记为 X，求 X 的分布列和期望；（）为便于普及交通安全知识，现从该地区某所中学
7、参加知识竞赛活动的学生中随机选取 5 名男生、5名女生作为宣传志愿者，记这 5 名男生竞赛成绩的平均数为1，这 5 名女生竞赛成绩的平均数为2，能否认为12，说明理由.（19）（本小题 15 分）已知某企业生产一种产品的固定成本为 400 万元，每生产 x 万件，需另投入成本()p x万元，假设该企业年内共生产该产品x万件，并且全部销售完，每 1 件的销售收入为 100 元，且 3060()64001016150,15018600 xpxxxxxx(I)求出年利润 y(万元)关于年生产零件x(万件)的函数关系式(注:年利润=年销售收入-年总成本)；(II)将年产量x定为多少万件时，企业所获年利
8、润最大。（20）（本小题 15 分）已知函数 2lnf xaxx（I）求函数()f x的单调区间；（II）若对任意(0,)x，1()2f x恒成立，求 a 的取值范围.（21）（本小题 15 分）定义:若对任意正整数 n，数列na的前 n 项和Sn都是整数的完全平方数，则称数列na为“完全平方数列”.(I)若数列na满足11132,nnnnnNa，判断na为是否为“完全平方数列”；(II)若数列b n的前 n 项和2ntnT(t 是正整数)，那么是否存在 t，使数列b n为“完全平方数列”?若存在，求出 t 的值:若不存在，请说明理由;(III)试求出所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式
9、.北京市怀柔区 20222023 学年度第二学期期末试卷 高二数学答案及评分参考 2023.7 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）（1）A （2）B（3）C（4）D（5）A（6）B（7）A （8）B （9）D （10）B 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）（11）0 （12）12，2 （13）2 （14）-1，0 （15）注：（11）、（14）题第一空 3 分，第二空 2 分；（15）题给 5、4、3 分，有错解不给分。（13）题写 2 的给 5 分，写 2 或 1 的给 3 分 三、解答题（共 6 小题，共 85 分）（16）解：选12nnaa；
10、47a（）设等差数列na的公差为12nnada 2 分 由题设，得137ad 解得11a 4 分 所以1(1)21naandn 6 分（）因为nb是等比数列，且1211,=3由得babad，7 分 2321S,=3+3d9由得bba 8 分 所以113nnnbbq 10 分 所以213 nnnabn 所以12(1321)(333)nnTn 11 分 3(13)(121)132nnn 13 分 23312nn 选其它，结论一样，按步给分.（17）（共 13 分）解：（）因为21()(e1)2xf xxx，所以()e1e1 e1 xxxfxxxx 4 分 令()0fx，得121,0 xx 5 分(
11、)f x，()fx的变化情况如下：x(,1)-1(1,0)0(0,)()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 所以()f x的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(,1)，(0,)8 分 从而()f x的极大值为11(1)2fe；()f x的极小值为(0)0f 10 分（）由（）知()f x在区间 1,0上单调递增，在区间0,2上单调递减，又11(1)2ef，2(2)2e4f，(0)0f 11 分 所以()f x在区间 1,2上的最大值为22e4，最小值为0 13 分 （18）（共 14 分）解：（）由茎叶图数据，随机抽取的 20 名学生中有男生 10 人，从男生中随机抽取 1 人，9
12、0 分以上的有 4 人，所以男生的竞赛成绩在 90 分以上的概率估计值为40.410 4 分（）抽取的样本学生中 90 分以上的有 7 人，其中有 4 名男生，3 名女生。从 7 人中随机抽取 4 人，抽到男生的人数记为 X，X 的值可能为：1，2，3，4 5 分 1343474PX135（）C CC，6 分 22434718PX235（）C CC，7 分 31434712PX335（）C CC，8 分 4043471PX435（）C CC.9 分 X 的分布列为：X 1 2 3 4 P 435 1835 1235 135 4181218016 EX123435353535357（）11 分（
13、）不能确定是否有12.上述 5 名男生，5 名女生竞赛成绩的数据是随机的，所以12,是随机的.所以，不能确定是否有12.14 分 （19）（共 15 分）解：（1）售价固定为100，1 分 当产量不足 60 万箱时，=100 ()400=11503+50 400.3 分 当产量不小于 60 万箱时，=100 ()400=1460 (+6400).5 分 则.（2）设 当0 38003，得当 x=80 时，所获利润最大值为 1300 万元15 分 （20）（共 15 分）解：（）因为 2lnf xaxx，所以(0,)x，所以2121()2axfxaxxx 3 分 2210()()当时，在（，）单
14、调递增；axafxf xx 5 分 202110()2当时，令，得axafxxxa x 0(0,)x 0 x 0(,)x()fx+0 ()f x 极大值 所以()f x在区间1(0,)2a上单调递增，在区间1(,)2a上单调递减.9 分（）解法一：由（）分类讨论 2210()()当时，在（，）单调递增；axafxf xx 22ln11.f eaeeae（或其它例子，或 2,ln.当时xf xaxx）1()2，不恒成立f x.11 分 0当时，a()f x在区间1(0,)2a上单调递增，在区间1(,)2a上单调递减.max2111()()22，ln(-2)afaf x 13 分 令111222l
15、n(，-2)a 14 分 得2，ln(-2)a 得221,.2-2即-aaee 15 分 解法二：构造新函数 若对任意(0,)x，1()2f x恒成立，即21ln,02恒成立，axxx 9 分 则21ln2,0恒成立，xaxx 10 分 设2,1ln(),()2xxg xx，则32 1ln(),(0,)xg xxx 12 分 令()0g x，得ex 当(0,e)x时，()0g x，()g x单调递减；当(e,)x时，()0g x，()g x单调递增 14 分 所以min21()(e)2e g xg 所以21.2e a 15 分（21）（共 15 分）解：（）na不是“完全平方数列”.11223
16、21131,4,14SaSaaSaaa，14 不是整数的完全平方数.4 分（）存在，t=1.因为数列b n的前 n 项和2ntnT(t 是正整数)，那么21b1t 22-12ntn1t时，nnnTT-1222bntn1t221时，nnnnTTnt 要使数列b n为“完全平方数列”，只需bbnn 只需2b2210,，n时，恒成立 nnNnt 只需2b2210,t 320,t是正整数t，t=1.10 分（III）2(21)kn 因为数列na等差数列，设dnanb dn+d+2b2nS前 项和nn dn+d+2bdd+2b=022S是完全平方因数，则 是完全平方数且为nn 设2d=kkZ2，2k 2
17、-1（）所以nna 15 分 备备 18（）：从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 2 人，估计这 4 人中男生竞赛成在 90 分以上的人数比女生竞赛成绩在 90 分以上的人数多的概率。解：随机抽取的 20 名学生中有女生 10 人，从女生中随机抽取 1 人，90 分以上的有 3 人，所以女生的竞赛成绩在 90 分以上的概率估计值为30.310 2 分 从该地区参加该活动的全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 2 人，估计这 4 人中男生竞 赛成绩在 90 分以上的人数比女生竞赛成绩在 90 分以上的人数多的情况有 3 种情况，22002220.40.3
18、 0.70.0784CC 6 分 22111220.40.30.70.0672CC 8 分 111002220.4 0.60.3 0.70.2352CC 10 分 概率估计值22002221111110022222220.40.3 0.70.40.30.70.4 0.60.3 0.70.3808CCCCCC；11 分 备21:设等差数列na的各项均为整数，且满足对任意正整数n，总存在正整数m，使得21nmaaaa，则称这样的数列na具有性质 P.（I）若数列na的通项公式为21nan，数列na是否具有性质 P？并说明理由;（II）若13a，求出具有性质 P 的数列na公差的所有可能值；（III）对于给定的1a，具有性质 P 的数列na是有限个，还是可以无穷多个？无需说明理由.解：（1）数列na不具有性质 P （2）3，-3，1 （3）具有性质 P 的数列na是有限个
