1、 第1页/共10页 2023 北京丰台高二（下）期末 数 学 2023.07 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。1在等差数列 na中，11a=，12(2)nnaan=，则6a=（A）10（B）11（C）12（D）13 2已知11(),()23P AP AB=，那么(|)P B A=（A）16（B）13（C）23（D）56 3下图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形已知第n个图案中黑色与白色三角形的个数之和为na，数列 na满足111,31(1)nnaaan+=+，那么下面各数中是数列 na中的
2、项的是 （A）121（B）122（C）123（D）124 4已知某生物技术公司研制出一种新药，并进行了临床试验，该临床试验的成功概率是失败概率的2倍若记一次试验中成功的次数为X，则随机变量X的数学期望为（A）23（B）12（C）13（D）16 5用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积()V r随着气球半径r的增大而增大当半径1r=时，气球的体积3()3V rr=相对于r的瞬时变化率为 第2页/共10页 （A）43（B）2（C）4（D）8 6某人需要先从 A地到 B 地，再同站转车赶到 C 地，他能够选择的高铁车次的列车时刻表如下表所示，那么此人这天乘坐高铁列车
3、从 A地到 C 地不同的乘车方案总数为 A地至 B 地高铁列车时刻表 B 地至 C 地高铁列车时刻表 车次 发车时间 到站时间 G87 07:00 08:01 G91 07:55 08:56 G93 09:00 10:01 （A）9（B）6（C）4（D）3 7正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布假设随机变量2(,)XN，可以证明，对给定的kN，()PkkX+是一个只与k有关的定值，部分结果如下图所示：通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布2(105,10)N若共有1000名考生
4、参加这次考试，则考试成绩在(105,125)的考生人数大约为（A）341（B）477（C）498（D）683 8设等比数列 na的公比为q，前n项和为nS若37S=，663S=，则q=（A）18（B）12（C）2（D）8 92023年 5月 18日至 19日，首届中国中亚峰会在陕西西安成功举行峰会期间，甲、乙、丙、丁、戊5 名同学承担A,B,C,D共 4 项翻译工作，每名同学需承担 1 项翻译工作，每项翻译工作至少需要 1 名同学，则不同的安排方法有（A）480种（B）240种（C）120种（D）54种 车次 发车时间 到站时间 G2811 08:25 10:31 G653 09:24 11:
5、13 G501 10:26 12:30 第3页/共10页 10设函数2(1)2,1,()|2|,1.xaxa xf xa xx+=给出下列四个结论：当0a 时，函数()f x有三个极值点；当01a时，函数()f x有三个极值点；a R，2x=是函数()f x的极小值点；a R，12ax+=不是函数()f x的极大值点 其中，所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11在61()xx的展开式中，常数项是 （用数字作答）12某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分
6、别为0.01，0.03，提供元件的份额分别为 0.80，0.20设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为 13已知函数1()exf xx+=在区间0,m上单调递增，则m的最大值为 14投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为(01)pp现在连续投掷该枚硬币 10 次，设这 10 次的结果恰有 2 次是正面的概率为()f p，则()f p=；函数()f p取最大值时，p=15.设n是正整数，且2n，数列 ka，kb满足：1(0)aa a=，21(1,2,kkkaaakn+=+=1)
7、n，1(1,2,)kkbknan=+，数列 kb的前k项和为kS给出下列四个结论：数列 ka为单调递增数列，且各项均为正数；数列 kb为单调递增数列，且各项均为正数；对任意正整数1,2,1kn，111kkSaa+=；对任意正整数1,2,kn，1kS 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（本小题 14 分）第4页/共10页 已知函数32()f xxaxb=+在2x=时取得极大值4（）求实数,a b的值；（）求函数()f x在区间 3,1上的最值 17（本小题 13 分）下图是我国 2014 年至 2022 年 65 岁及以
8、上老人人口数（单位：亿）的折线图 注：年份代码 1-9 分别对应年份 2014-2022（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到 0.01）加以说明；（）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01），并预测 2023 年我国 65 岁及以上老人人口数（单位：亿）参考数据：9115.41iiy=，9182.57iiit y=，921()0.72iiyy=，153.873 参考公式：相关系数1122221111()()()()()()nniiiiiinnnniiiiiiiittyyt ynt yrttyyttyy=回归方程yabt=+中斜率和截距的最小二乘估计
9、公式分别为：121()()()niiiniittyybtt=，aybt=18.（本小题 14 分）数列na的前n项和为nS，其中nN，11a=从条件、条件、条件中选择一个作为已知，使得数列唯一确定，并解答以下问题：（）求na的通项公式；（）设2nnnba=+，求123nbbbb+条件：12nnaa+=+；条件：122nnnaaa+=+；条件：2()nSnc c=+R 注：如果选择条件、条件、条件分别作答，按第一个解答计分 19（本小题 14 分）2023 年 4 月 18 日至 27 日，第二十届上海国际汽车工业展览会在上海国家会展中心举行，本次展会以 第5页/共10页 “拥抱汽车行业新时代”
10、为主题在今年的展会中，社会各界不仅能看到中国市场的强大活力，也能近距离了解各国产汽车自主品牌在推动“智电化”和可持续发展进程中取得的最新成果为了解参观者对参展的某款国产新能源汽车的满意度，调研组从这款新能源汽车的参观者中随机抽取了 50名参观者作为样本进行问卷测评，记录他们的评分，问卷满分100分问卷结束后，将数据分成6组：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，并整理得到如下频率分布直方图 （）求图中的a的值；（）在样本中，从分数在 60分以下的参观者中随机抽取 3人，用X表示分数在50,60）中的人数，求X的分布列及数学期望；（）在频率分布直方图
11、中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组参观者评分的平均数，估计本次车展所有参观者对这款新能源汽车评分的平均数为 m，若中位数的估计值为 n，写出 m与 n 的大小关系.（直接写出结果）20（本小题 15 分）已知函数()e1()xf xaxa=R（）求曲线()yfx=在点()0,(0)f处的切线方程；（）讨论函数()fx的单调性；（）判断0.01e与1.01的大小关系，并说明理由 21（本小题 15 分）正实数构成的集合12,(2)nAa aan=，定义,ijijAAaaa aA=且ij.当集合AA中的元素恰有(1)2n n个数时，称集合A具有性质.（）判断集合121,2,4,1,2,4,
12、8AA=是否具有性质；（）若集合A具有性质，且A中所有元素能构成等比数列，AA中所有元素也能构成等比数列，求集合A中的元素个数的最大值；（）若集合A具有性质，且AA中的所有元素能构成等比数列问：集合A中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由 第6页/共10页 参考答案 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A C B B C B D 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1120 120.014 131
13、 142845(1)pp，15 15 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题 14 分）解：（）因为函数32()f xxaxb=+，所以2()32f xxax=+因为函数()f x在2x=时取得极大值4，所以(2)0,(2)4ff=即233(2)40,(2)44,aab=+=所以3a=，0b=6 分（）因为2()36f xxx=+，所以(,2)x 时，()0f x，()f x在(,2)单调递增；(2,0)x 时，()0f x，()f x在(2,0)单调递减；(0,1)x时，()0f
14、x，()f x在(0,1)单调递增 因为(3)0f=，(2)4f=，(0)0f=，(1)4f=，所以max()4f x=，min()0f x=14 分 17.（本小题 13 分）解：（）由折线图的数据和附注中的参考数据得5t=，921()60iitt=，所以99111()()82.575 15.415.52niiiiiiiittyyt yty=，所以5.520.992 3.873 0.72r 因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的线性相关程度很强，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 6 分 第7页/共10页 （）由（）得121()()5.520.09260()niiiniitt
15、yybtt=又因为15.411.7129y=，所以1.7120.092 51.25aybt=所以y关于t的回归方程为1.250.09yt=+将 2023 年对应的10t=代入回归方程得：1.250.09 102.15y=+=，所以预测 2023年我国 65岁及以上老年人人口约 2.15 亿 13 分 18.（本小题 14 分）解：选择条件：12nnaa+=+.（）因为12nnaa+=+，即12nnaa+=，所以数列 na是以1为首项，2为公差的等差数列 所以1(1)21naandn=+=6 分（）因为2nnnba=+，所以23123(12)(32)(52)(212)nnbbbbn+=+2313
16、5(21)(2222)nn=+1(21)2(12)212nnn+=+1222nn+=+14 分 选择条件条件：2nSnc=+()cR（）因为2nSnc=+，且11a=，所以211nSc=+=，所以0c=当2n时，1nnnaSS=22(1)21nnn=；因为1n=时，111aS=，所以21()nann=N（）因为2nnnba=+，所以23123123(2)(2)(2)(2)nnnbbbbaaaa+=+23123()(2222)nnaaaa=+2(12)12nnS=+第8页/共10页 1222nn+=+19.（本小题 14 分）解：（）由题意10(0.0040.0120.0140.0240.028
17、)1a+=，所以018.0=a 3 分（）X的所有可能取值为 1，2，3 1683223(1)28C CP XC=，826312152)28(C CP XC=，6383(3)514CP XC=所以 X 的分布列为 X 1 2 3 P 328 1528 514 所以 X 的数学期望为31559()1232828144E X=+=12 分（）nm 14 分 20.（本小题 15 分）解：（）因为()e1xf xax=，所以()exfxa=所以(0)1fa=，又(0)0f=，所以曲线()yfx=在点()0,(0)f处的切线方程为()1ya x=4 分（）()fx的定义域是R，由题得()exfxa=当
18、0a时，()e0 xfxa=，所以()f x在R上单调递增；当0a 时，由()e0 xfxa=，解得lnxa=随着x的变化，()f x与()fx的变化情况如下表 x(),lna lna()ln,a+()fx 0+()f x 极小值 由表可知，()f x的单调递增区间是()ln,a+；()f x的单调递减区间是(),lna 综上，当0a时，()f x在R上单调递增；当0a 时，()f x的单调递增区间是()ln,a+；()f x的单调递减区间是(),lna 11 分 第9页/共10页 （）0.01e1.01，证明如下：当1a=时，由（）知函数()f x在区间()0,+的单调递增，所以()0,x+
19、，总有()()00f xf=，即e1xx+，当且仅当0 x=时取等号 令0.01x=，得0.01e0.01 11.01+=15 分 21.（本小题 15 分）解：（）1A具有性质；2A不具有性质.4 分（）当A中的元素个数4n时，因为A中所有元素能构成等比数列，不妨设元素依次为12,na aa构成等比数列，则121nna aa a=，其中121,nna a aa互不相同.于是这与A具有性质，AA中恰有()212nn nC=个元素，即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.当A中的元素个数恰有 3个时，取1,2,4A=时满足条件，所以集合A中的元素个数最大值为 3.8 分（
20、）因为0(1,2,)iain=，不妨设1231nnaaaaa，所以121321nnnna aa aaaaa.（1）当5n 时，121321,nnnna a a aaa aa构成等比数列，所以131122nnnna aaaa aaa=，即2132nna aa a=，其中2132,nna aa a互不相同.这与AA中恰有()212nn nC=个元素，即任取A中两个不同元素组成组合的两个数其积的结果互不相同相矛盾.（2）当5n=时，12133545,a a a aa a a a构成等比数列，第 3 项是23a a或14a a.若第 3 项是23a a，则132345121335a aa aa aa
21、aa aa a=，即324213aaaaaa=，所以2314a aa a=，与题意矛盾.若第 3 项是14a a，则134514121335a aa aa aa aa aa a=，即344233aaaaaa=，所以234,a a a成等比数列，设公比为q，则AA中等比数列的前三项为：121314,a a a a a a，其公比为q，第四项为312a a q，第十项为912a a q.()若第四项为23a a，则12332aaaaq=，得221aa q=，又94512a aa a q=，得751aa q=，此时A中依次为234711111,a a qa q a qa q 显然1534a aa a=，不合题意.()若第四项为51a a，则31512aaaaq=，得352aa q=，又94512a aa a q=，得421aa q=，第10页/共10页 此时A中依次为456711111,a a qa q a q a q，显然2534a aa a=，不合题意.因此，4n.取1,2,4,16A=满足条件.所以A中的元素个数最大值是 4.14 分
