1、 第1页/共9页 2023 北京东城高二（下）期末 数 学 2023.7 本试卷共本试卷共 6 页，满分页，满分 100 分。考试时长分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。分钟。考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。考试结束后，将考试结束后，将本本试卷和答题卡一并交回。试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分(选择题选择题 共共 3 36 6 分分)一、选择题共一、选择题共12小题，每小题小题，每小题3分，共分，共36分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求分。在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的的一项一项。1已知集合1Ax x=，1,0
2、,1,2B=，那么AB=A1 0，B0 1，C1 0 1，D 0 2从集合1 2 3 4 5，中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为 A10 B15 C20 D25 3.已知lgea=，2eb=，1ln10c=e2.71828=（），那么 A.bca Bcba C.bac D.cab 4如图，曲线()yf x=在点()2 2，处的切线为直线l，直线l经过原点O，则(2)(2)+=ff A.1 B.2 C.3 D.4 5.在10(2)x的展开式中，。6x的系数为 A61064C B61064C C41016C D41016C 6.如图（1）、（2）、（3）分别为
3、不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是123,r r r，那么123,r r r之间的关系为 (1)（2）(3)A.321rrr B.231rrr C.312rrr D.132rrr 7已知等比数列na的首项和公比相等，那么数列na中与37a a一定相等的项是 A5a B7a C9a D10a 8已知1x=是函数2()(1)()f xxxa=的极小值点，那么a的取值范围是 A.(1)，B.(1,)+C.(1，D.1,)+第2页/共9页 9在函数lnyxx=，cosyx=，2xy=，lnyxx=中，导函数值不可能取到 1 的是 A.lnyxx=B.cosyx=C.2xy=D.lnyxx
4、=10已知有 7 件产品，其中 4 件正品，3 件次品，每次从中随机取出 1 件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为 A47 B23 C13 D16 11.声压级（SPL）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB（分贝）.人类产生听觉的最低声压为20Pa（微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为：SPL20lg=refPP，其中P是测量的有效声压值，refP声压的基准值，refP=20Pa.由公式可知，当声压20 Pa=P时，SPL0dB=.若测得某住宅小区白天的SPL值为50dB，夜间的SPL值为30dB，则该小区白天
5、与夜间的有效声压比为 A53 B10 C32 D 20 12已知函数21()e(R)2xf xaxa=，当0a 时，()f x在区间()0,+上单调递减；当10ea时，()f x有两个极值点；当1ea时，()f x有最大值.那么上面说法正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 第二部分第二部分 (非选择题非选择题 共共 64 分分)二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。分。13已知数列na的首项11a=，且12(,1)nnaann=N，那么3a=_；数列na的通项公式为na=.14若函数()2()lg1f xxmx=+的定义域为R，则实数m的取
6、值范围是_.15.设函数3()af xxx=+(a为常数)，若()f x在(0,)+单调递增，写出一个可能的a值_.16幸福感是个体的一种主观情感体验，生活中的多种因素都会影响人的幸福感受为研究男生与女生的幸福感是否有差异，一位老师在某大学进行了随机抽样调查，得到如下数据：幸福 不幸福 总计 男生 638 128 766 女生 372 46 418 总计 1010 174 1184 由此计算得到221184(63846128 372)7.0221010 174766418=，已知2(6.635)0.01P=，2(7.879)0.005P=第3页/共9页 根据小概率值0.01=的2独立性检验，（
7、填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感有差异；根据小概率值0.005=的2独立性检验，（填“可以”或“不能”）认为男生与女生的幸福感有差异 17盲盒，是一种新兴的商品.商家将同系列不同款式的商品装在外观一样的包装盒中，使得消费者购买时不知道自己买到的是哪一款商品.现有一商家设计了同一系列的 A、B、C 三款玩偶，以盲盒形式售卖，已知 A、B、C 三款玩偶的生产数量比例为 6：3：1.以频率估计概率，计算某位消费者随机一次性购买 4 个盲盒，打开后包含了所有三款玩偶的概率为_.18.设()sin(R)=+f xxmx m，给出下列四个结论：不论m为何值，曲线()yf x=总存在两条互相平行
8、的切线；不论m为何值，曲线()yf x=总存在两条互相垂直的切线；不论m为何值，总存在无穷数列na，使曲线()yf x=在(1,2,3,)nxa n=处的切线互相平行；不论m为何值，总存在无穷数列na，使曲线()yf x=在(1,2,3,)nxa n=处的切线为同一条直线 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 46 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19（本小题 8 分）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每
9、位出场队员在决赛中只能参加一场比赛.某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单.（）一共有多少种不同的出场阵容？（）若队员 A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？20（本小题 10 分）已知()yf x=是定义在 3,3上的奇函数，当 3,0 x 时，()f x()941+xxaaR.（）求()yf x=在(0,3上的解析式；（）当1 1,2x 时，不等式()1134xxmfx恒成立，求实数m的取值范围.第4页/共9页 21（本小题 10 分）近年来，为改善城市环境，实现节能减排，许多城市出台政策大力提倡新能源汽车的使
10、用.根据中国汽车流通协会的发布会报告，将 2023 年 1 月、2 月新能源乘用车市场销量排名前十的城市及其销量统计如下表：表 1 表 2 （）从 1 月、2 月这两个月中随机选出一个月，再从选出这个月中新能源乘用车市场销量排名前十的城市中随机抽取一个城市，求该城市新能源汽车销量大于 10 000 的概率;（）从表 1、表 2 的 11 个城市中随机抽取 2 个不同的城市，设这两个城市中 2 月排名比 1 月上升的城市的个数为X，求X的分布列及数学期望.22.（本小题 10 分）已知函数()()xf xmx e=，Rm.（）若2m=，求()f x在区间 1,2上的最大值和最小值；（）设()()
11、=g xx f x，求证：()g x恰有 2 个极值点；（）若 2,1x ，不等式2+xkex恒成立，求k的最小值.2023 年 1 月 排名 城市 销量 1 上海 12 370 2 深圳 12 132 3 成都 8 755 4 杭州 8 718 5 郑州 8 673 6 广州 8 623 7 重庆 7 324 8 西安 6 851 9 天津 6 649 10 苏州 6 638 2023 年 2 月 排名 城市 销量 1 上海 17 707 2 杭州 15 001 3 深圳 13 873 4 广州 12 496 5 郑州 11 934 6 成都 11 411 7 重庆 8 712 8 北京 8
12、 701 9 苏州 8 608 10 西安 7 680 第5页/共9页 23（本小题 8 分）已知数列na满足11a=，121(1)nnaannN=+，.（）求234aaa，的值；（）求数列na的通项公式na；（）若数列 nb满足11b=，2112(1,)nnnbbbnnN=+.对任意的正整数n，是否都存在正整数m，使得=mnab？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第6页/共9页 参考答案 一、一、选择题共选择题共 12 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分。分。1.A 2.
13、C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B 11.B 12.C 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分。分。13.4,12n 14.(2,2)15.0（答案不唯一，0a 即可）16.可以；不能 17.0.216 18.（全部选对的得满分，部分选对的得部分分，有错误选项得 0 分.）注：两空给分 2；1 三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 46 分。分。19（本小题 8 分）解：（）出场阵容可以分两步确定：第 1 步，从 5 名运动员中选择 2 人，分别参加前两场男单比赛，共有25A种；第 2 步，从剩下的 3 名
14、运动员中选出两人参加男双比赛，共有23C种，根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容数量为225360NAC=.-4 分（）队员 A不能参加男子双打比赛，有两类方案：第 1 类方案是队员 A 不参加任务比赛，即除了队员 A 之外的 4 人参加本次比赛，只需从 4 人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有24A种；第 2 类方案是队员 A参加单打比赛，可以分 3个步骤完成：第 1 步，确定队员 A参加的是哪一场单打比赛，共 2 种；第 2 步，从剩下 4 名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共 4 种；第 3 步，从剩下的 3 名队员中，选出两人参加男双比赛，共有23C种，根据分步乘法计数原理，
15、队员 A参加单打比赛的不同的出场阵容有2324 C 种；根据分类加法计数原理，队员 A 不参加男子双打比赛的不同的出场阵容数量为22432 436NAC=+=.-8 分 20（本小题 10分）（）因为()yf x=是定义在 3,3上的奇函数，3,0 x 时，()f x()941Rxxaa+，所以 001)094(0af=+=，解得1a=，所以(3,0 x 时，11()94xxf x=，第7页/共9页 当(0,3x时，3,0)x ，所以 11()9494xxxxfx=，又()()94xxf xfx=，即()yf x=在(0,3上的解析式为()49xxf x=；-5 分 （）因为 1 1,2x 时
16、，11()94xxf x=，所以 13()41xxmf x可化为11119434xxxxm，整理得13334xxm+，令()13334xxg x=+，根据指数函数单调性可得，所以()g x也是减函数，所以()()11max1313734g xg=+=，所以 7m，故实数m的取值范围是)7,+.-10 分 21（本小题 10分）解：（）设“抽到的城市该月新能源汽车销量大于 10000”为事件A，“选取表 1”为事件B，“选取表 2”为事件C，则 12162()()()()()()2102105P AP ABACP B P A BP C P A C=+=+=.-4 分 （）两个月共有 11个城市上
17、榜，其中 2月排名比 1月上升的城市有杭州，广州，北京，苏州，故X可取0,1,2.27211C21(0)55CP X=,1174211C C28(1)55CP X=,24211C6(2)55CP X=.所以，X的分布列为 X 0 1 2 P 2155 2855 655 第8页/共9页 故随机变量X的数学期望 212868()01255555511E X=+=.-10 分 22.（本小题 10 分）解：()()(2)xf xx e=，()(1)xfxx e=.综上，maxmin()(1),()(2)0f xfe f xf=.-4 分()2()()()xg xxf xmxx e=，22()(2)(
18、2)xxg xmxxmx exmxm e=+=,22(2)440mmm=+=+,所以方程2(2)0 xmxm=有两个不同的根，设为1212,()x xxx.则有()g x综上，恰有 2 个极值点.-7分(III)0 xe,2,1x ，不等式2xxke+恒成立.设2()xxh xe+=，2(2)(1)()xxxxexexh xee+=,max()(1)kh xhe=，minke=.-10 分 23（本小题 8 分）解：（）2121=3=+aa，3221=7=+aa，4321=15aa=+；-3 分（）121(1)=+nnaan，112(1)+=+nnaa，又 1120a+=，数列+1na是以 2
19、 为首项，2为公比的等比数列；11+1=+1 22nnnaa=（），=21nna，*nN；-6 分（）存在正整数m，使得=mnab.由（）可知=21nna；由2112=+nnnbbb，可得211(1)+=+nnbb，则 22211(1)2+=+=bb，x 1(1,1)1(1,2)2()fx +0 ()f x 3(1)fe=极大值(1)fe=(2)0f=x 1()x，1x 12()xx，2x 2(,)x+()g x 0+0 ()g x 极小值 极大值 x 2(2,1)1(1,1)12()h x +0 ()h x(2)0h=极大值(1)he=3(1)he=第9页/共9页 222321(1)2+=+=bb，322431(1)2+=+=bb，-归纳得122111(1)2+=+=nnnbb，即1221=nnb；证明：当1=n时，021211=b1a=，符合题意，假设当=nk时，1221=kkb,当1=+nk时，2+11(1)+=+kkbb,即1222+1(2)121=kkkb,这说明假设当=nk时猜想正确，那么当1=+nk时猜想也正确.由上述可知猜想正确，即1221=nnb.又因为=21mma，所以对任意的正整数n，都存在正整数12=nm，使得=mnab.-8 分
