1、 - 1 - 人大附中 2016-2017 学年度第二学期期末高二年级数学（理科） 一、选择题（共 8 道小题，每道小题 5 分，共 40 分，请将正确答案填涂在答题纸上） 1设 i 是虚数单位，则311i?（） A 11i22? B 11i22? C 1i? D 1i? 【答案】 A 【解析】3 3 21 1 1 1 i 1 1 i1 i 1 i i 1 i 1 i 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选 A 2在极坐标系中，点 1,4?与点 31,4?的距离为（） A 1 B 2 C 3 D 5 【答案】 B 【解析】将极坐标中 1,4?与 31, 4?点化成直角坐标中的点坐标 2
2、2,22?与 22,22?两点的距离 222 2 2 2 22 2 2 2d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选 B 3已知直线 1yx?与曲线 ln( )y x a?相切，则 a 的值为（） A 1 B 2 C 1? D 2? 【答案】 B 【解析】 曲线 ln( )y x a?的斜率 1k xa? ? ，当 1k? 时， 1xa? ， 且两者相交于同一点，即 1 ln( )x x a? ? ? ， 联立 可得 2a? 故选 B 4圆 1 2 cos1 2 sinxy ? ? ? ?，（ ? 为参数）被直线 0y? 截得的劣弧长为（） - 2 - A 2
3、2B C 22 D 4 【答案】 A 【解析】将圆的参数方程化成一般方程为 22( 1) ( 1) 2xy? ? ? ?， 圆心 (1,1)? 到直线 0y? 的距离 1d? ， 所截得弦长 2222l r d? ? ? ， 劣弧所对的圆心角 ? 有 12sin222? ?， 24? ， 2? ， 劣弧弧长为周长的 14 ，即为 122 42r? 故选 A 5直线 sin 44?与圆 4sin 4?的位置关系是（） A相交但不过圆心 B相交且过圆心 C相切 D相离 【答案】 C 【解析】直线 sin 44?可化成 4 2 0yx? ? ? ， 圆 4sin 4?可化成 22( 2 ) ( 2
4、) 4xy? ? ? ?， 圆心 ? ?2, 2 到直线的距离22| 2 2 4 2 | 211dr? ? ? ， 说明圆与直线相切 故选 C 6某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为 0.3 ；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为 0.4 ；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为 0.9 则透镜落地 3 次以内（含 3 次）被打破的概率是（） A 0.378 B 0.3 C 0.58 D 0.958 【答案】 D 【解析】第一次落地打破的概率为 1 0.3P? ， 第二次落地打破的概率为 2 0.7 0.4 0.28P ? ? ? ， 第三次落地打破的概率为 3 0.7 0
5、.6 0.9 0.378P ? ? ? ?， - 3 - 落地 3 次以内被打破的概率 1 2 3 0.958P P P P? ? ? ? 故选 D 7若函数 21( ) ln2f x x x?在其定义域的一个子区间 ( 1, 1)kk?上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是（） A (1,2) B 1,2) C 0,2) D (0,2) 【答案】 A 【解析】 21( ) ln2f x x x?， 211( ) ( 0 )xf x x xxx? ? ? ? ?， 令 ( ) 0fx? ? ，有 1x? ， 令 ( ) 0fx? ? ，有 01x?， 当 ()fx在 ( 1, 1)kk?上不
6、是单调函数，则有 0 1 1k? ? ? ， 解得 12k? 故选 A 8几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落已知 （ 1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝 A ， B ， C ； （ 2 ）乙在下落的过程中依次撞击到树枝 D ， E ， F ； （ 3 ）丙在下落的过程中依次撞击到树枝 G ， A ， C ； （ 4 ）丁在下落的过程中依次撞击到树枝 B ， D ， H ； （ 5 ）戊在下落的过程中依次撞击到树枝 I ， C ， E 倒霉和李华在下落的过程中撞到了从 A 到 I 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这 9 根树枝不同的撞击次序有（）种 A 23 B 24
7、C 32 D 33 【答案】 D 【解析】由题可判断出树枝部分顺序 GABCEF ，还剩下 D ， H ， I ， 先看树枝 I 在 C 之前，有 4 种可能，而树枝 D 在 BE 之间， H 在 D 之后， 若 I 在 BC 之间， D 有 3 种可能： 若 D 在 BI 之间， H 有 5 种可能， 若 D 在 IC 之间， H 有 4 种可能， 若 D 在 CE 之间， H 有 3 种可能 若 I 不在 BC 之间，则 I 有 3 种可能，此时 D 有 2 种可能， D 可能在 BC 之间， H 有 4 种可能， D 可能在 CE 之间， H 有 3 种可能， - 4 - 综上共有 5
8、4 3 3(4 3) 1 2 2 1 3 3? ? ? ? ? ? ? 故选 D 二、填空题（共 6 道小题，每道小题 5 分，共 30 分将正确答案填写在答题卡要求的空格中） 9若 5()xa? 的展开式中 2x 项的系数是 10 ，则实数 a 的值是 _ 【答案】 1? 【解析】 5()xa? 展开式中 2x 系数为 2 3 35C ( ) 10 10aa? ? ? ?， 可得 1a? 10在复平面上，一个正方形的三个项点对应的复数分别是 0 、 12i? 、 2i?，则该正方形的第四个顶点对应的复数是 _ 【答案】 (1,3)? 【解析】正方形三个顶点对应的坐标为 (0,0) ， (1,
9、2) ， (2,1)? ， 设第 4 个顶点为 (,)ab ， 则 ( 1, 2 ) ( 2 0 ,1 0 ) ( 2 ,1)ab? ? ? ? ? ? ? ?， 1a? ， 3b? ，即第 4 个顶点为 (1,3)? 11设随机变量 (2, )Bp? ， (4, )Bp? ，若 5( 1) 9p? ? ，则 ( 2)p? 的值为 _ 【答案】 1127 【解析】 随机变量 (2, )Bp? ， 5( 1) 9p? ? ， 022 51C 9p?， 23p? ， 2 4,3B? ?， 2 2 2 32 3 44 4 41 2 1 2 2 1 1( 2 ) C C C3 3 3 3 3 2 7p
10、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12设 1a? ， 1b? ，若 ln 2 ln 3a a b b? ? ?，则 a ， b 的大小关系为 _ 【答案】 ba? 【解析】 ln 2 ln 2a a b b b? ? ? ?， - 5 - 令 ( ) ln 2 ( 1)f x x x x? ? ?， ( ) ( )f a f b b?， ( ) ( ) 1f b f a b? ? ?， ( ) ( )f b f a? ， 1( ) 2 0fx x? ? ? ? ，即 ()fx在 (1, )? 单调递减， ba? 13抛
11、物线 2:4C x y? 与经过其焦点 F 的直线 l 相交于 A ， B 两点，若 | | 5AF? ，则 |AB? _，抛物线 C 与直线 l 围成的封闭图形的面积为 _ 【答案】 254 ； 12524 【解析】 抛物线 2 4xy? 的焦点为 (0,1) ， | | 5AF? ，由抛物线性质可知， A 点到准线 1y? 距离为 5 ， A 的纵坐标 4Ay? ， ( 4,4)A? ， 当 A 为 (4,4) 时， 4 1 34 0 4ABk ?， 直线 AB 为 3 14yx?， 联立直线与抛物线，解得另一交点 B 坐标为 11,4?， 22 1 2 5( 1 4 ) 444AB ?
12、? ? ? ? ?， 所围成的封闭面积 4 21 3 1 1 2 51d4 4 2 4S x x x? ? ? ? ? 14对于有 n 个数的序列 01:Aa， 2a ， ， ( *)nan?N ，实施变换 T 得新序列 1 1 2:A a a? ， 23aa? ， 1nnaa? ，记作 10()A T A? ；对 1A 继续实施变换 T 得新序列 2 1 0( ) ( ( )A T A T T A? ，记作2 2 0()A T A? ； ， 1 1 0()nnA T A? 最后得到的序列 1nA? 只有一个数，记作 0()SA （ 1）若序列 0A 为 1， 2 ， 3 ， 4 ，则序列 2
13、A 为 _ （ 2 ）若序列 0A 为 1， 2 ， ， n ，则序列 0()SA? _ 【答案】（ 1） 8 ， 12 （ 2 ） 1( 2) 2nn ? 【解析】（ 1）由题意 1:1 2A ? ， 23? ， 34? ， - 6 - 2 :1 2 2 3A ?， 2 3 3 4? ，即 2A 为 8 ， 12 （ 2 ） 1n? 时， 0( ) 1 2 3SA ? ? ? ， 2n? 时， 0( ) 1 2 2 3 2 3 3 4 1 2 3 3 3 4 2 0SA ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 联 1n? 时， 0 1 2 2 10 1 1 1 1 1(
14、 ) C 1 C 2 C 3 C ( 1 ) Cnnn n n n nS A n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 联 n 时， 0 1 2 10 1 1 1( ) C 1 C 2 C 3 C C ( 1 )nnn n n n nS A n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 利用倒序相加可得： 10 2( ) 2 ( 2 ) 22 nnnS A n ? ? ? ? ? 三、解答题（共六道小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过 程或演算步骤） 15（本小题满分 12 分） 一个口袋中有 5 个同样大小的球，编号为 1， 2 ， 3 ，
15、4 ， 5 ，从中同时取出 3 个小球，以 X 表示取出的 3 个球中最小的号码数，求 X 的分布列和期望 【答案】 【解析】 16（本小题满分 12 分） 已知函数 2()f x ax bx c? ? ?， 0,6x? 的图象经过 (0,0) 和 (6,0) 两点，如图所示，且函数 ()fx的值域为 0,9 ，过动点 (, ()Pt f t 作 x 轴的垂线，垂足为 A ，连接 OP （ 1）求函数 ()fx的解析式 （ 2 ）记 OAP 的面积为 S ，求 S 的最大值 AP6xyO【答案】见解析 【解析】（ 2 ） 211| | | | (6 )22O A PS O A A P t t
16、t? ? ? ?， (0.6)t? ， - 7 - 21( ) (6 )2S t t t t?， 23( ) 6 2S t t t? ? ， t (0,4) 4 (4,6) ()St? ? 0 ? ()St 单调递增 极大值 单调递减 当 4t? 时， 2m a x 1( ) ( 4 ) 4 (6 4 4 ) 1 62S t S? ? ? ? ? ?， 即 AOP 面积最大值为 16 17（本题满分 14 分） 某保险公司开设的某险种的基本保费为 1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保 人称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下： 本年度出险次数 0 1
17、2 3 4 5 下一次保费（单位：万元） 0.85 1 1.25 1.5 1.75 2 设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下： 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （ 1）求此续保人来年的保费高于基本保费的概率 （ 2 ）若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 60% 的概率 （ 3 ）求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值 【答案】（ 1） 0.5 （ 2 ） 311 （ 3 ） 1.23 【解析】（ 1）设出险次数为事件 X ，一续保人本年度的保费为事件 A ， 则续保人本年度保费高于基本保费为事件 C ， 则 ( ) ( )P C P A a?， ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )P C P x P x P x P x? ? ? ? ? ? ? 0 .2 0 0 .2 0 0 .1 0 0 .0 5 0 .5 5? ? ? ? ?
