1、 - 1 - 北京市西城八中 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析） 考试时间： 120 分，满分 150 分 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在答题卡上） 1已知全集 ? ?1,2,3,4U? ，集合 ? ?1,2A? ， ? ?2,3B? ，则 ()U AB 等于（） A ? ?1,2,3,4 B ? ?3,4 C ?3 D ?4 【答案】 ? ?1,2,3AB? ? ?( ) 4U AB? 选 D 2命题 “ 若一个正数，则它的平方是正数 ” 的逆命题是（） A “ 若一个
2、数是正数，则它的平方不是正数 ” B “ 若一个数的平 方是正数，则它是正数 ” C “ 若一个数不是正数，则它的平方不是正数 ” D “ 若一个数的平方不是正数，则它不是正数 ” 【答案】 B 【解析】逆命题为条件、结论互换，选 B 3设函数 2 1,() 2, 1,xxfxxx? ? ? 1,，则 ( (3)ff? （） A 15 B 3 C 139 D 23 【答案】 C 【解析】 2(3) 3f ? 2 4 1 3( (3) 13 9 9f f f ? ? ? + 选 C 4设 0ab? ，则下列不等式中不成立的是（） A 11ab? B 11a b a? C ab? D ab? ?
3、? - 2 - 【答案】不妨令 2a? ， 1b? ， B ： 1112 1 2? ? + 不成立， 选 B 5已知函数 1 1, 1()2 , 1xfx xx a x? ? 在 R 上满足：对任意 12xx? ，都有 12( ) ( )f x f x? ，则实数 a 的取值范围是（） A ? ?,2? B ? ?,2? C ? ?2,? D ? ?2,? ? 【答案】 C、 【解析】按题意 ()fx在 R 上单调，而 11x? 在 1x? 时为减函数， ()fx为减函数， 1x? 时， 121xa x?+ ， 2 a? 0+ ， 2a 选 C 6复数 2i12i? 的共轭复数是（） A 3i
4、5? B 3i5 C i? D i 【答案】 C 【解析】 2 i (2 i)(1 2i) i1 2i (1 2i)(1 2i)?+ + +， 共轭复数为 i? 选 C 7由直线 3x? ， 3x? ， 0y? 与曲线 cosyx? 所围成的封闭图形的面积为（） A 3 B 1 C 12 D 32【答案】 A - 3 - 【解析】 33333c o s d s in 3 223S x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 选 A 8函数 ()y f x? 的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式 ( ) ( )f x f x x? ? ? 的解集为（） 11O xy11A 25|
5、05xx? ? ? ?或 25 15 x ? ?B 5|15xx? ? ? ?或 5 15 x ? ?C 5|15xx? ? ? ?或 505x ?D 2 5 2 5|55xx? ? ? ? ?且 ?0x? 【答案】 A 【解析】显然 ()fx为奇数， 可等价转换为 1()2f x x? ， 当 1x? 时， 1( ) 0 2fx? 当 01x?时， 2( ) 1f x x? 2211 4xx? ， 25 15 x? - 4 - 当 10x? 时， 2 11 2xx? ? ? ， 2 505 x? ? ? ， 综上： 25|05xx? ? ? ?或 25 15 x ? ? 二、填空题（本大题共
6、 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，将答案填在答题卡的横线上） 9已知等差数列 ?na ， 3510aa? ， 2621aa? ，则 na? _ 【答案】 1nan? + 【解析】设 1 ( 1)na a n d?+ ， 11( 2 )( 4 ) 10( )( 5 ) 21a d a da d a d ? ? +， 解得： 1 2a? 1a? ， 1nan? + 10已知二次函数 2( ) 4f x x ax? ? ?，若 ( 1)fx? 是偶函数，则实数 a 的值为 _ 【答案】 2a? 【解析】 2( 1) ( 1) ( 1) 4f x x a x?+ + + + 2 (2 ) 5x
7、 a x a? ? ?+ 为偶函数， 有 22( ) ( 2 ) 5 ( 2 ) 5x a x a x a x a? ? ? ? ? ? ?+ + +， 2a? 11若 “ 1xm?或 1xm?” 是 “ 2 2 3 0xx? ? ? ” 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为 _ 【答案】 【解析】（ 1） 2 2 3 0xx? ? ? ，得： 3x? 或 1x? ， 若 1xm?或 1xm? + 为 2 2 3 0xx? ? ? 的必要不充分条件 则 1311mm? ? +，即 20mm? ， 02m - 5 - 12已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 ( 2) ( )f x f
8、 x? ，且当 ? ?1,2x? 时， 2( ) 3 2f x x x? ? ?，则 (6)f ? _； 12f?_ 【答案】 【解析】 ( 2) ( )f x f x? 可知周期为 2 ， (6) (2) 0ff?， ()fx为奇函数， 1 1 3 122 2 2 4f f f? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 答案为 0 ， 14 13直线 11xtyt? ? ?（ t 为参数）与曲线 2cos2sinxy ? ?（ ? 为参数）的位置关系是 _ 【答案】 【解析】 1 21xt xyyt? ? ? ? ? + +， 222 cos 42 si
9、nx xyy ? ? ? +， 2x? | 2 | 2211d ? ? ?+ 14已知数列 ?na 中， 1( 1 ) ( 1 1 ) ( 1na n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?，则 4S? _ 【答案】 【解析】 1( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 )na n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?1 ( 1 ) ( 1 1 ) ( 1 )2 n n n n n n? ? ? ? ? ? ?+ 21 ( 1 1 ) ( ( 1 ( 1 )2 n n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?+ + 1 ) + 1 1 2 12 n n n? ? ?
10、 ? ?+ 1 ( 1 ) 12 n n n n? ? ? ? ?+， - 6 - 1 2 3 4 1 1 0 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 4 52a a a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ + + + + + + + +1(3 5)2? 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15（本小题满分 13 分） 已知数列 ?na 是等比数列，其前 n 项和是 nS ， 1220aa?，4218SS? （ ）求数列 ?na 的通项公式 （ ）求满足 116na的 n 的值 【答案】 【解析】（ 1）设 11 nna a
11、q? 1220aa?+ ， 2112aq a? ? ， 4218SS?， 411112 1111 2812aa? ? ? ? ?， 1 1a? ， 112nna? （ 2 ） 116na， 1112 16n? 当 n 为偶数不成立， 当 n 为奇数， 141122n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5n 又 *n?N ， - 7 - ? ?1,3,5n? 16（本小题满分 13 分） 已知数列 32( ) ( , )f x a x x b x a b? ? ? ? R， g( ) ( ) ( )x f x f x?是奇函数 （ ）求 ()fx的表达式 （ ）讨 论 ()gx 的单调性，并
12、求 ()gx 在区间 ? ?1,2 上的最大值与最小值 【答案】 【解析】（ 1） 2( ) 3 2f x ax x b? ? + 32( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 2 )g x f x f x a x a x b x b?+ + + + + + ( ) ( )g x g x? ? ， 对 x? 有 3 2 3 2( ) ( 3 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 1 ) ( 2 )a x a x b x b a x a x b x b? ? ? ? ?+ + + + + + + + + + 解得： 13a? ， 0b? 17（本小题满分 13 分） 设 m?R ，不等式
13、 2 (3 1) 2 ( 1) 0m x m x m? ? ? ? ?的解集记为集合 P （ ）若 ? ?| 1 2P x x? ? ? ? ，求 m 的值 （ ）当 0m? 时，求集合 P 【答案】， 【解析】（ 1） ? ?12P x x? ? ? ? ， 1? ， 2 为 2 (3 1) 2( 1) 0m x m x m?+ + +两根， 1x? 代入 2( 1) (3 1) 2 ( 1) 0m m m+ + + +， 12m? （ 2 ） ? ?( 2) ( 1) 0x m x m? ? ?+， 两根为 2 ， 1mm+ ， 1 2mm ?+ ， 1m? 时， 2x? 1 2mm ?+
14、 ， 01m?时 2x? 或 1mx m? + 1 2mm ?+ ， 1m? 时， 1mx m? + 或 2x? - 8 - 综上： 01m?时， | 2P x x?或 1mx m? + ， 1m? 时， ? ?,2P x x x? ? ?R ， 1m? 时， 1| mP x x m?+ 或 2m? 18（本小题满分 13 分） 已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且满足 3 2a? ， 74Sa? （ ） 1a? _， d? _， na? _，当 n? _时， nS 取得取小值，最小值为 _ （ ）若数列 ?na 中 相异 的三项 6a ， 6ma? ， 6na? 成等比数列，求
15、 n 的最小值 【答案】 【解析】（ 1） 1 ( 1)na a n d?+ ， 3122a a d? ? ? + ， 17 1 1( 6 ) 7 7 2 1 32a a dS a d a d? ? ?+ +， 111226 18 0 3 0ada d a d? ? ? ? +， 解得 2d? ， 1 6a? ， 6 ( 1) 2 2 8na n n? ? ? ? ? ?+ 1 ( 6 2 8)2nS n n? ? ? ?+ 2 7 , *n n n? ? ?N ， min 9 21 12S ? ? ? （ 2 ） ? ? ? ?22 (6 ) 8 4 2 (6 ) 8mn? ? ?+ 2(2
16、 4) 2 4mn?+， 21( 2) 22nm?+ ， 60mn? ? 2m? ， 2n? ， 13m ? ， n? 分数， 04m? ， 0n? ， 15m? ， n? 分数， - 9 - 26m? ， 6n? 4 4? 4 6a 8a 12a 4 8 16 综上， 2m? 时， n 的最小值 6 19（本小题满分 13 分） 若实数 x ， y ， m 满足 x m y m? ? ? ，则称 x 比 y 靠近 m （ ）若 1x? 比 x? 靠近 1? ，求实数 x 有取值范围 （ ）（ i）对 0x? ，比较 ln(1 )x? 和 x 哪一个更靠近 0 ，并说明理由 （ ii）已知函数
17、 ?na 的通项公式为 112nna ? ，证明： 1 2 3 2ena a a a ? 【答案】 【解析】（ 1） | 1 ( 1) | | ( 1) |xx? ? ? ? ? ?+ 22| 2 | | 1 | ( 2 ) ( 1)x x x x? ? ? ? ?+， 12x? （ 2 ） 0x? ， ln(1 ) 0x ?+ ， | ln (1 ) 0 | | 0 | ln (1 )x x x x? ? ? ? ?+， 记 ( ) ln(1 )f x x x?+ ， (0) 0f ? 1( ) 1 011xfx xx? ? ? ? ?+， ()fx在 (0, )?+ 单减 ( )2 (0)
18、 0f x f ? ，即 ln(1 )xx?+ ， ln(1 )x+ 比 x 靠近 0 120n? ? ， 由 得： 2 3 2 3ln ( ) ln ln lnnna a a a a a? ? ? ? 1 2 1 1 1ln (1 2 ) ln (1 2 ) ln (1 2 ) 2 2nn? ? ? ? ? ? ? ? ?+ + + + + 1 1 1112 (1 2 ) 2 11 2 1 2n? ? ? ? ?， 23 ena a a ? - 10 - 又 1 2a? ， 1 2 3 2ena a a a ? 20（本小题满分 14 分） 已知函数 ()fx的图象在 ? ?,ab 上连续不断，定义： ? ?1 ( ) m in ( ) |f x f t a t x? ? ?( , )x ab? ， ? ?2 ( ) m ax ( ) |f x f t a t x? ? ?( , )x ab? ， 其中， ? ?min ( )|f x x?D表示函数 ()fx在 D 上的最小值， ? ?max ( )|f x x?D表示函数 ()fx在 D上最大值若存在最小正整
