人教版八年级数学下册课件：18.2.3正方形.ppt

1、第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 18.2.3 正方形正方形 新知新知 1 正方形的定义正方形的定义 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形. (1)正方形既是有一组邻边相 等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；(2)既是矩 形又是菱形的四边形是正方形；(3)正方形不仅是特 殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的 菱形. 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形， 它们的包含关系如图18231. 拓展：正方形定义的巧记方法：四条边都相等，四 个角都是直角. 例题精讲例题精讲 【例1】如图18232所示是44个小正方形，则该 图形中共有多少

2、个大大小小的正方形？ 解 设最小的正方形边长为1，则边长为1的正 方形共有16个，边长为2的正方形共有9个，边长为3 的正方形共有4个，边长为4的正方形共有1个，总共 有1694130(个). 点拨 最小的正方形边长为1，则正方形共有四 种情况：11,22,33,44. 举一反三举一反三 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等，四个角相等 2.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C D C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对

3、角线相等且互相平分 3.正方形具备而菱形不具备的性质是( ) A.四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 每条对角线平分一组对角 B 新知新知 2 正方形的性质正方形的性质 (1)拓展：一组邻边相等的矩形叫做正方形； (2)性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形 的所有性质； (3)对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称 轴.正方形也是中心对称图形. 例题精讲例题精讲 【例2】如图18233，正方形ABCD的对角线BD长 为 ，若直线l满足：点D到直线l的距离为 ； A，C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的 条数为( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.

4、4条 解析 如图18234，连接AC与BD相交于O， 正方形ABCD的对角线BD长为2 ， OD . 直线lAC并且到D的距离为. 同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件， 故共有2条直线l. 答案 B 举一反三 1.如图18235，正方形ABCD中，AEAB，直线 DE交BC于点F，则BEF等于( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 B 2.如图18236，点E在正方形ABCD的边AB上， AE3，BE1，点M是DE的中点，若点P在正方形 ABCD的边上，且PM2.5，则符合条件的点P的个数 是( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 D 新知新知 3 正方形

5、的判定正方形的判定 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义. 主要 方法有两条：(1)先证它是矩形，再证有一组邻边相等； (2)先证它是菱形，再证有一个角是直角. 拓展：判定一个四边形为正方形的一般顺序：(1)先 证明它是平行四边形；(2)再证有一组邻边相等(或有一 个角是直角)；(3)最后证有一个角是直角(或有一组邻边 相等). 例题精讲 【例3】如图18237，在正方形ABCD中，E，F， G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HAEB FCGD，连接EG，FH，交点为O，连接EF，FG， GH，HE，求证：四边形EFGH是正方形. 解析 先证明AEHBFECGFDHG， 可得出四边

6、形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之 间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可 得出四边形GHEF是正方形. 证明 四边形ABCD是正方形， ABCD90，ABBCCD DA. HAEBFCGD， AEBFCGDH. AEHBFECGFDHG， EFFGGHHE. 四边形EFGH是菱形. DHGAEH，DHGAEH. AEHAHE90， DHGAHE90. GHE90. 四边形EFGH是正方形. 点评 本题考查正方形的判定与性质，全等三角形 的判定和性质，利用正方形的性质，掌握正方形的判 定方法是解决问题的关键. 举一反三 1. 如图18238，在矩形ABCD中，AD2AB，E， F分

7、别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF分 别交于点M，N两点，则四边形EMFN是( ) A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法确定 A 2. 已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那 么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) A. ACBD，ABCD，ABCD B. ADBC，AC C. AOBOCODO，ACBD D. AOCO，BODO，ABBC C 3.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题， 从下列四个条件：ABBC；ABC90；AC BD；ACBD中选两个作为补充条件，使 ABCD 为正方形(如图18239)，现有下列四种选法，你认为 其中错误的

8、是( ) A. B. C. D. B 新知新知4 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积的计算方法： (1)正方形的面积等于其边长的平方； (2)正方形的面积等于其两条对角线乘积的一半(因 为正方形是特殊的菱形，故可以用菱形面积的计算 方法来计算). 拓展：拓展：周长相等的四边形中，正方形的面积最大 【例4】如图18240所示，正方形ABCD的周长为 16 cm，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到四边形 EFGH，则四边形EFGH的周长等于 cm，面积 等于 cm2. 解析解析 由题意可知，四边形EFGH也是正方形， 正方形ABCD的周长为16 cm， ABBCCDDA4 cm. AHAE2

9、 cm. 在RtAEH中，EH2AE2AH2， EH222228. EH cm. 四边形EFGH的周长为 4 (cm)， 面积为( )28 cm2. 答案答案 8 1. 如图18241，由四个直角边分别为5和4的全 等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积 为 . 1 2.如图18242，正方形的边长为4 cm，则图中阴 影部分的面积为 cm2.( ) A. 8 B. 16 C. 4 D. 无法确定 A 1. 如图18243，点E在正方形ABCD内，满足 AEB90，AE6，BE8，则阴影部分的面积 是( ) A. 76 B. 70 C. 48 D. 24 A 7. (6分)如图KT18

10、217，正方形ABCD的边长为6， 点E在边AB上，连接ED，过点D作FDDE与BC的延 长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角 线BD相交于点H.若BDBF，求BE的长. 解：四边形ABCD是正方形，且FDDE， ADE90EDCCDF， ADDC，ADCF90. DAEDCF(ASA).AECF. 又正方形ABCD的边长为6， CFBFBCBDBC 6. BEABAEABCF6( 6)12 . 在DAE和DCF中， A90， ADECDF， ADCD， 8. (6分)如图KT18218，已知正方形ABCD中， 边长为10 cm，点E在AB边上，BE6 cm. (1)如果点P在线

11、段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点 运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1 s后，BPE与CQP是否全等，请说明理由； 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当 点Q的运动速度为多少时，能够使BPE与CQP全 等？ 解：(1)t1 s，BPCQ414 cm， 正方形ABCD中，边长为10 cm，PCBE6 cm. 又正方形ABCD，BC. BPECQP； vPvQ，BPCQ. 又BPECQP，BC，则BPPC， 而 BP4t，CP104t，4t104t. 点P，Q运动的时间 ， (2)若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原 来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形 ABCD四边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在 正方形ABCD边上的何处相遇？ (2)设经过x s后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 4.8x4x30， 解得 点P共运动了 点P，Q在A点相遇.经过 点P与点Q第一次在 A点相遇.