1、第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形 18.2.3 正方形正方形 新知新知 1 正方形的定义正方形的定义 定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平 行四边形叫做正方形. (1)正方形既是有一组邻边相 等的矩形,又是有一个角是直角的菱形;(2)既是矩 形又是菱形的四边形是正方形;(3)正方形不仅是特 殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的 菱形. 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形, 它们的包含关系如图18231. 拓展:正方形定义的巧记方法:四条边都相等,四 个角都是直角. 例题精讲例题精讲 【例1】如图18232所示是44个小正方形,则该 图形中共有多少
2、个大大小小的正方形? 解 设最小的正方形边长为1,则边长为1的正 方形共有16个,边长为2的正方形共有9个,边长为3 的正方形共有4个,边长为4的正方形共有1个,总共 有1694130(个). 点拨 最小的正方形边长为1,则正方形共有四 种情况:11,22,33,44. 举一反三举一反三 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是( ) A.对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直平分 C. 对角线互相平分 D. 四条边相等,四个角相等 2.下列说法正确的是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C D C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对
3、角线相等且互相平分 3.正方形具备而菱形不具备的性质是( ) A.四条边都相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直平分 D. 每条对角线平分一组对角 B 新知新知 2 正方形的性质正方形的性质 (1)拓展:一组邻边相等的矩形叫做正方形; (2)性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形 的所有性质; (3)对称性:正方形是轴对称图形,有四条对称 轴.正方形也是中心对称图形. 例题精讲例题精讲 【例2】如图18233,正方形ABCD的对角线BD长 为 ,若直线l满足:点D到直线l的距离为 ; A,C两点到直线l的距离相等.则符合题意的直线l的 条数为( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.
4、4条 解析 如图18234,连接AC与BD相交于O, 正方形ABCD的对角线BD长为2 , OD . 直线lAC并且到D的距离为. 同理,在点D的另一侧还有一条直线满足条件, 故共有2条直线l. 答案 B 举一反三 1.如图18235,正方形ABCD中,AEAB,直线 DE交BC于点F,则BEF等于( ) A. 35 B. 45 C. 55 D. 60 B 2.如图18236,点E在正方形ABCD的边AB上, AE3,BE1,点M是DE的中点,若点P在正方形 ABCD的边上,且PM2.5,则符合条件的点P的个数 是( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 D 新知新知 3 正方形
5、的判定正方形的判定 判定一个四边形为正方形的主要依据是定义. 主要 方法有两条:(1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等; (2)先证它是菱形,再证有一个角是直角. 拓展:判定一个四边形为正方形的一般顺序:(1)先 证明它是平行四边形;(2)再证有一组邻边相等(或有一 个角是直角);(3)最后证有一个角是直角(或有一组邻边 相等). 例题精讲 【例3】如图18237,在正方形ABCD中,E,F, G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,HAEB FCGD,连接EG,FH,交点为O,连接EF,FG, GH,HE,求证:四边形EFGH是正方形. 解析 先证明AEHBFECGFDHG, 可得出四边
6、形GHEF是菱形,再根据全等三角形角之 间的关系,又可得出菱形的一个角是直角,那么就可 得出四边形GHEF是正方形. 证明 四边形ABCD是正方形, ABCD90,ABBCCD DA. HAEBFCGD, AEBFCGDH. AEHBFECGFDHG, EFFGGHHE. 四边形EFGH是菱形. DHGAEH,DHGAEH. AEHAHE90, DHGAHE90. GHE90. 四边形EFGH是正方形. 点评 本题考查正方形的判定与性质,全等三角形 的判定和性质,利用正方形的性质,掌握正方形的判 定方法是解决问题的关键. 举一反三 1. 如图18238,在矩形ABCD中,AD2AB,E, F分
7、别是AD,BC的中点,连接AF与BE,CE与DF分 别交于点M,N两点,则四边形EMFN是( ) A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法确定 A 2. 已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,那 么下列条件中能判定这个四边形是正方形的是( ) A. ACBD,ABCD,ABCD B. ADBC,AC C. AOBOCODO,ACBD D. AOCO,BODO,ABBC C 3.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题, 从下列四个条件:ABBC;ABC90;AC BD;ACBD中选两个作为补充条件,使 ABCD 为正方形(如图18239),现有下列四种选法,你认为 其中错误的
8、是( ) A. B. C. D. B 新知新知4 正方形的面积正方形的面积 正方形的面积的计算方法: (1)正方形的面积等于其边长的平方; (2)正方形的面积等于其两条对角线乘积的一半(因 为正方形是特殊的菱形,故可以用菱形面积的计算 方法来计算). 拓展:拓展:周长相等的四边形中,正方形的面积最大 【例4】如图18240所示,正方形ABCD的周长为 16 cm,顺次连接正方形ABCD各边中点,得到四边形 EFGH,则四边形EFGH的周长等于 cm,面积 等于 cm2. 解析解析 由题意可知,四边形EFGH也是正方形, 正方形ABCD的周长为16 cm, ABBCCDDA4 cm. AHAE2
9、 cm. 在RtAEH中,EH2AE2AH2, EH222228. EH cm. 四边形EFGH的周长为 4 (cm), 面积为( )28 cm2. 答案答案 8 1. 如图18241,由四个直角边分别为5和4的全 等直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中阴影部分面积 为 . 1 2.如图18242,正方形的边长为4 cm,则图中阴 影部分的面积为 cm2.( ) A. 8 B. 16 C. 4 D. 无法确定 A 1. 如图18243,点E在正方形ABCD内,满足 AEB90,AE6,BE8,则阴影部分的面积 是( ) A. 76 B. 70 C. 48 D. 24 A 7. (6分)如图KT18
10、217,正方形ABCD的边长为6, 点E在边AB上,连接ED,过点D作FDDE与BC的延 长线相交于点F,连接EF与边CD相交于点G,与对角 线BD相交于点H.若BDBF,求BE的长. 解:四边形ABCD是正方形,且FDDE, ADE90EDCCDF, ADDC,ADCF90. DAEDCF(ASA).AECF. 又正方形ABCD的边长为6, CFBFBCBDBC 6. BEABAEABCF6( 6)12 . 在DAE和DCF中, A90, ADECDF, ADCD, 8. (6分)如图KT18218,已知正方形ABCD中, 边长为10 cm,点E在AB边上,BE6 cm. (1)如果点P在线
11、段BC上以4 cm/s的速度由B点向C点 运动,同时,点Q在线段CD上由C点向D点运动. 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,BPE与CQP是否全等,请说明理由; 若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当 点Q的运动速度为多少时,能够使BPE与CQP全 等? 解:(1)t1 s,BPCQ414 cm, 正方形ABCD中,边长为10 cm,PCBE6 cm. 又正方形ABCD,BC. BPECQP; vPvQ,BPCQ. 又BPECQP,BC,则BPPC, 而 BP4t,CP104t,4t104t. 点P,Q运动的时间 , (2)若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原 来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形 ABCD四边运动,经过多长时间点P与点Q第一次在 正方形ABCD边上的何处相遇? (2)设经过x s后点P与点Q第一次相遇,由题意,得 4.8x4x30, 解得 点P共运动了 点P,Q在A点相遇.经过 点P与点Q第一次在 A点相遇.