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北师大版选修1-1数学课件:4.2.2 第1课时最大值、最小值问题.ppt

1、导数应用导数应用 第四章第四章 2 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 第第1课时课时 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 第四章第四章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值 的区别与联系 2会用导数求某定义域上函数的最值. 1.下图中的函数f(x)的最大值为_,最小 值为_ 而极大值为_,极小值为 _ 函数最值的概念 f(g) f(b) f(d),f(g) f(c),f(e) 2由上图还可以看出,假设函数yf(x)

2、在闭 区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线, 该函数在a,b上一定能够取得_与 _,若该函数在(a,b)内是_, 该函数的最值必在极值点或区间端点取得. 最大值 最小值 可导的 1.函数的最大值和最小值是一个整体性概 念,最大值必须是整个区间所有函数值中的 最大值,最小值必须是整个区间上所有函数 值中的最小值 2函数的最大值、最小值是比较整个定义区 间的函数值得出的,函数的极值是比较极值 点附近的函数值得出的,函数的极值可以有 很多,但最值只能有一个;极值只能在区间 内取得,最值则可以在端点取得;有极值的 未必有最值,有最值的未必有极值;极值有 可能成为最值,最值只要不在端点必定是极 值.

3、1.设f(x)是a,b上的连续函数,且在(a,b) 内可导,则下面结论中正确的是( ) Af(x)的极值点一定是最值点 Bf(x)的最值点一定是极值点 Cf(x)在此区间上可能没有极值点 Df(x)在此区间上可能没有最值点 答案 C 解析 若f(x)在a,b上单调,则无极值 点,但无论单调与否都会有最值点 2函数f(x)x33x22在区间1,1上的 最大值是( ) A2 B0 C2 D4 答案 C 解析 对函数求导f (x)3x26x3x(x 2),则f(x)在区间1,0上递增,在0,1上递 减,因此最大值是f(0)2,故选C. 3函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的 最大值是3,则a等于

4、( ) A3 B1 C2 D1 答案 B 解析 f (x)3x22x1, 令 f (x)0, 解得 x1 3(舍 去)或 x1,又 f(0)a,f(1)a1,f(2)a2,则 f(2)最大, 即 a23,所以 a1. 4已知函数f(x)x49x5,则f(x)的图像 在(1,3)内与x轴的交点的个数为 _ 答案 1 解析 因为f (x)4x39,当x(1,3) 时,f (x)0,所以f(x)在(1,3)上单调递 增又f(1)30,所以f(x) 在(1,3)内与x轴只有一个交点 课堂典例探究课堂典例探究 求函数f(x)x32x21在区间 1,2上的最大值与最小值 分析 首先求f(x)在(1,2)内

5、的极值然 后将f(x)的各极值与f(1)、f(2)比较,其中最大 的一个是最大值,最小的一个是最小值 利用导数求函数的最大值与最小 值 解析 f (x)3x24x. 令 f (x)0,有 3x24x0.解得 x0,4 3. 当 x 变化时,f (x),f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,0) 0 (0,4 3) 4 3 (4 3,2) 2 f (x) 0 0 f(x) 2 1 5 27 1 故 f(x)最大值1,f(x)最小值2. 方法规律总结 1.求可导函数yf(x)在a, b上的最大(小)值步骤如下: (1)求f(x)在开区间(a,b)内所有极值点; (2)计算函数f(x)在极值点和

6、端点的函数值, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最 小值 2若连续函数在区间(a,b)内只有一个极 值,那么极大值就是最大值,极小值就是最 小值 求函数f(x)(x1)(x2)2在0,3上的最小 值 解析 f(x)(x2)22(x1)(x2) (x2)(3x4), 令 f(x)0,得到 x4 3或 2. 0x0,在区间(0, 4 3)函数 f(x)单调递增, 4 30 在1,e上恒成立, 此时 f(x)在1,e上是增函数 则 f(x)minf(1)2a3,解得 a3 2(舍去) 若 12ae,令 f(x)0,得 x2a.当 1e,则 x2af(2), 当 x2 时,f(x)取最小值,16a

7、329, a2. (2)若 a0. 当x1时,f(x)取极大值f(1)58c. 又 f(3)98cf(1), x0,3时,f(x)的最大值为 f(3)98c. 对任意的 x0,3,有 f(x)0(或f (x)0,f(x)在(,2)上为增 函数, 当 x(2,2)时,f (x)0,f(x)在(2,)上为增函数 由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)16c,f(x) 在 x22 处取得极小值 f(2)c16,由题设条件知 16c28 得 c12, 此时 f(3)9c21,f(3)9c3,f(2)c16 4, 因此 f(x)上3,3的最小值为 f(2)4. 准确把握条件 (2013 北

8、京理, 18)设 l 为曲线 C: ylnx x 在点(1,0) 处的切线 (1)求 l 的方程; (2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方 错解 (1)设 f(x)lnx x ,则 f (x)1lnx x2 . 所以 f (1)1. 所以 l 的方程为 yx1. (2)由(1)知 yx1 是曲线 f(x)lnx x 在点(1,0)处的切线,又 当 x2 时,有 f(2)ln2 2 0(x0,x1) g(x)满足 g(1)0,且 g(x)1f (x)x 21lnx x2 . 当 00,lnx0,所以 g(x)0,故 g(x)单调递 增 所以,g(x)g(1)0(x0,x1) 所以除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方

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