1、导数应用导数应用 第四章第四章 2 导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题最大值、最小值问题 第第1课时课时 函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值 第四章第四章 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值 的区别与联系 2会用导数求某定义域上函数的最值. 1.下图中的函数f(x)的最大值为_，最小 值为_ 而极大值为_，极小值为 _ 函数最值的概念 f(g) f(b) f(d)，f(g) f(c)，f(e) 2由上图还可以看出，假设函数yf(x)
2、在闭 区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线， 该函数在a，b上一定能够取得_与 _，若该函数在(a，b)内是_， 该函数的最值必在极值点或区间端点取得. 最大值 最小值 可导的 1.函数的最大值和最小值是一个整体性概 念，最大值必须是整个区间所有函数值中的 最大值，最小值必须是整个区间上所有函数 值中的最小值 2函数的最大值、最小值是比较整个定义区 间的函数值得出的，函数的极值是比较极值 点附近的函数值得出的，函数的极值可以有 很多，但最值只能有一个；极值只能在区间 内取得，最值则可以在端点取得；有极值的 未必有最值，有最值的未必有极值；极值有 可能成为最值，最值只要不在端点必定是极 值.
3、1.设f(x)是a，b上的连续函数，且在(a，b) 内可导，则下面结论中正确的是( ) Af(x)的极值点一定是最值点 Bf(x)的最值点一定是极值点 Cf(x)在此区间上可能没有极值点 Df(x)在此区间上可能没有最值点 答案 C 解析 若f(x)在a，b上单调，则无极值 点，但无论单调与否都会有最值点 2函数f(x)x33x22在区间1，1上的 最大值是( ) A2 B0 C2 D4 答案 C 解析 对函数求导f (x)3x26x3x(x 2)，则f(x)在区间1,0上递增，在0,1上递 减，因此最大值是f(0)2，故选C. 3函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的 最大值是3，则a等于
4、( ) A3 B1 C2 D1 答案 B 解析 f (x)3x22x1， 令 f (x)0， 解得 x1 3(舍 去)或 x1，又 f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则 f(2)最大， 即 a23，所以 a1. 4已知函数f(x)x49x5，则f(x)的图像 在(1，3)内与x轴的交点的个数为 _ 答案 1 解析 因为f (x)4x39，当x(1,3) 时，f (x)0，所以f(x)在(1,3)上单调递 增又f(1)30，所以f(x) 在(1,3)内与x轴只有一个交点 课堂典例探究课堂典例探究 求函数f(x)x32x21在区间 1,2上的最大值与最小值 分析 首先求f(x)在(1,2)内
5、的极值然 后将f(x)的各极值与f(1)、f(2)比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值 利用导数求函数的最大值与最小 值 解析 f (x)3x24x. 令 f (x)0，有 3x24x0.解得 x0，4 3. 当 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,0) 0 (0，4 3) 4 3 (4 3，2) 2 f (x) 0 0 f(x) 2 1 5 27 1 故 f(x)最大值1，f(x)最小值2. 方法规律总结 1.求可导函数yf(x)在a， b上的最大(小)值步骤如下： (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2)计算函数f(x)在极值点和
6、端点的函数值， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最 小值 2若连续函数在区间(a，b)内只有一个极 值，那么极大值就是最大值，极小值就是最 小值 求函数f(x)(x1)(x2)2在0,3上的最小 值 解析 f(x)(x2)22(x1)(x2) (x2)(3x4)， 令 f(x)0，得到 x4 3或 2. 0x0，在区间(0， 4 3)函数 f(x)单调递增， 4 30 在1，e上恒成立， 此时 f(x)在1，e上是增函数 则 f(x)minf(1)2a3，解得 a3 2(舍去) 若 12ae，令 f(x)0，得 x2a.当 1e，则 x2af(2)， 当 x2 时，f(x)取最小值，16a
7、329， a2. (2)若 a0. 当x1时，f(x)取极大值f(1)58c. 又 f(3)98cf(1)， x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c. 对任意的 x0,3，有 f(x)0(或f (x)0，f(x)在(，2)上为增 函数， 当 x(2,2)时，f (x)0，f(x)在(2，)上为增函数 由此可知 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)16c，f(x) 在 x22 处取得极小值 f(2)c16，由题设条件知 16c28 得 c12， 此时 f(3)9c21，f(3)9c3，f(2)c16 4， 因此 f(x)上3,3的最小值为 f(2)4. 准确把握条件 (2013 北
8、京理， 18)设 l 为曲线 C： ylnx x 在点(1,0) 处的切线 (1)求 l 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线 C 在直线 l 的下方 错解 (1)设 f(x)lnx x ，则 f (x)1lnx x2 . 所以 f (1)1. 所以 l 的方程为 yx1. (2)由(1)知 yx1 是曲线 f(x)lnx x 在点(1,0)处的切线，又 当 x2 时，有 f(2)ln2 2 0(x0，x1) g(x)满足 g(1)0，且 g(x)1f (x)x 21lnx x2 . 当 00，lnx0，所以 g(x)0，故 g(x)单调递 增 所以，g(x)g(1)0(x0，x1) 所以除切点之外，曲线 C 在直线 l 的下方
