1、第二章第二章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何复习课件复习课件主题串讲主题串讲一、空间向量与线面位置关系一、空间向量与线面位置关系【典例典例1 1】如图所示如图所示,在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,底面底面ABCDABCD是矩形是矩形,侧棱侧棱PDPD底面底面ABCD,PD=DC,ABCD,PD=DC,点点E E是是PCPC的中点的中点,作作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.试通过建立空间直角坐试通过建立空间直角坐标系解决以下问题标系解决以下问题:(1)(1)求证求证:PA:PA平面平面EDB;EDB;证明证明:如图所示如图所示,以点以点D D为坐标原点为坐标原点,
2、DA,DC,DP,DA,DC,DP所在直线为所在直线为x x轴轴,y,y轴轴,z,z轴建轴建立空间直角坐标系立空间直角坐标系.(2)(2)求证求证:PB:PB平面平面EFD.EFD.即时训练即时训练1 1-1:1:在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,ABAD,CDAD,PA,ABAD,CDAD,PA底面底面ABCD,PA=AD=ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,MCD=2AB=2,M为为PCPC的中点的中点.(1)(1)求证求证:BM:BM平面平面PAD;PAD;(2)(2)平面平面PADPAD内是否存在一点内是否存在一点N,N,使使MNMN平面平面PBD?PBD?若存在若存在
3、,确定确定N N的位置的位置,若不若不存在存在,说明理由说明理由.二、空间向量与空间角二、空间向量与空间角(1)(1)求求PBPB的长度的长度;(2)(2)求证求证:PB:PB平面平面ABCE;ABCE;(3)(3)求直线求直线ABAB与平面与平面APEAPE所成角的正弦值所成角的正弦值.即时训练即时训练2 2-1:1:如图如图,在直三棱柱在直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,底面底面ABCABC为边长为为边长为2 2的正三角的正三角形形,D,D是棱是棱A A1 1C C1 1的中点的中点,CC,CC1 1=h(h0).=h(h0).(1)(1)证明证明:BC:BC
4、1 1平面平面ABAB1 1D;D;(1)(1)证明证明:法一法一连接连接A A1 1B B交交ABAB1 1于于E,E,连接连接DE,DE,则则DEDE是是A A1 1BCBC1 1的中位线的中位线.所以所以DEBCDEBC1 1.又又DEDE平面平面ABAB1 1D,D,BCBC1 1 平面平面ABAB1 1D,D,故故BCBC1 1平面平面ABAB1 1D.D.法二法二取取ACAC的中点的中点F,F,连接连接BF,CBF,C1 1F.F.因为因为AFDCAFDC1 1,且且AF=DCAF=DC1 1,所以四边形所以四边形AFCAFC1 1D D是平行四边形是平行四边形,故故ADFCADF
5、C1 1.又又FCFC1 1平面平面BFCBFC1 1,ADAD 平面平面BFCBFC1 1,故故ADAD平面平面BFCBFC1 1.同理同理:DB:DB1 1平面平面BFCBFC1 1.所以平面所以平面ADBADB1 1平面平面BFCBFC1 1.故故BCBC1 1平面平面ABAB1 1D.D.三、用空间向量求距离三、用空间向量求距离【典例典例3 3】如图所示如图所示,已知四边形已知四边形ABCD,EADMABCD,EADM和和MDCFMDCF都是边长为都是边长为a a的正方形的正方形,点点P,QP,Q分别是分别是ED,ACED,AC的中点的中点,求求:(2)P(2)P点到平面点到平面EFB
6、EFB的距离的距离.即时训练即时训练3 3-1:1:在直三棱柱在直三棱柱ABCABC-A A1 1B B1 1C C1 1中中,AB=AC=AA,AB=AC=AA1 1=2,BAC=90=2,BAC=90,M,M为为BBBB1 1的中点的中点,N,N为为BCBC的中点的中点.(1)(1)求点求点M M到直线到直线ACAC1 1的距离的距离;(2)(2)求点求点N N到平面到平面MAMA1 1C C1 1的距离的距离.四、易错易误辨析四、易错易误辨析1.1.混淆向量与实数的运算性质致误混淆向量与实数的运算性质致误【典例典例4 4】已知已知a a,b b都是非零向量都是非零向量,且向量且向量a a
7、+3+3b b与与7 7a a-5-5b b垂直垂直,向量向量a a-4-4b b与与7 7a a-2-2b b垂直垂直,求向量求向量a a,b b的夹角的夹角.错因分析错因分析:向量的运算性质与实数不同向量的运算性质与实数不同,若若b b(2(2a a-b b)=0)=0不一定有不一定有a a=0 0或或2 2a a-b b=0 0,本题在此处误当作实数运算而导致了错误本题在此处误当作实数运算而导致了错误.2.2.对所求角与向量夹角的关系不理解致误对所求角与向量夹角的关系不理解致误【典例【典例5 5】正方体正方体ABCDABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,求二面角
8、求二面角A A-BDBD1 1-C C的大小的大小.错解错解:以以D D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱设正方体的棱长为长为1,1,则则D(0,0,0),AD(0,0,0),A1 1(1,0,1),C(1,0,1),C1 1(0,1,1).(0,1,1).错因分析错因分析:用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误用法向量的夹角判断二面角的大小时出现错误,根据法向量根据法向量的方向可知的方向可知,二面角为钝角二面角为钝角,而不是锐角而不是锐角.正解正解:以以D D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
9、,设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,则则D(0,0,0),AD(0,0,0),A1 1(1,0,1),C(1,0,1),C1 1(0,1,1).(0,1,1).真题体验真题体验1.1.(2017(2017全国全国卷卷)如图如图,在四棱锥在四棱锥P P-ABCDABCD中中,ABCD,ABCD,且且BAP=CDP BAP=CDP=90=90.(1)(1)证明证明:平面平面PABPAB平面平面PAD;PAD;(1)(1)证明证明:由已知由已知BAP=CDP=90BAP=CDP=90,得得ABAP,CDPD.ABAP,CDPD.由于由于ABCD,ABCD,故故ABPD,ABPD,从而从而ABA
10、B平面平面PAD.PAD.又又ABAB平面平面PAB,PAB,所以平面所以平面PABPAB平面平面PAD.PAD.(2)(2)若若PA=PD=AB=DC,APD=90PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角求二面角A A-PBPB-C C的余弦值的余弦值.(1)(1)证明证明:直线直线CECE平面平面PAB;PAB;(2)(2)点点M M在棱在棱PCPC上上,且直线且直线BMBM与底面与底面ABCDABCD所成角为所成角为4545,求二面角求二面角M M-ABAB-D D的的余弦值余弦值.3.3.(2017(2017全国全国卷卷)如图如图,四面体四面体ABCDABCD中中,ABCABC是
11、正三角形是正三角形,ACDACD是直角三是直角三角形角形,ABD=CBD,AB=BD.,ABD=CBD,AB=BD.(1)(1)证明证明:平面平面ACDACD平面平面ABC;ABC;解解:(1)(1)由题设可得由题设可得ABDABDCBD,CBD,从而从而AD=DC.AD=DC.又又ACDACD是直角三角形是直角三角形,所以所以ADC=90ADC=90.取取ACAC的中点的中点O,O,连接连接DO,BO,DO,BO,则则DOAC,DO=AO.DOAC,DO=AO.又由于又由于ABCABC是正三角形是正三角形,故故BOAC.BOAC.所以所以DOBDOB为二面角为二面角D D-ACAC-B B的
12、平面角的平面角.在在RtRtAOBAOB中中,BO,BO2 2+AO+AO2 2=AB=AB2 2.又又AB=BD,AB=BD,所以所以BOBO2 2+DO+DO2 2=BO=BO2 2+AO+AO2 2=AB=AB2 2=BD=BD2 2,故故DOB=90DOB=90.所以平面所以平面ACDACD平面平面ABC.ABC.(2)(2)过过ACAC的平面交的平面交BDBD于点于点E,E,若平面若平面AECAEC把四面体把四面体ABCDABCD分成体积相等的两部分分成体积相等的两部分,求二面角求二面角D D-AEAE-C C的余弦值的余弦值.(1)(1)求证求证:M:M为为PBPB的中点的中点;(
13、1)(1)证明证明:设设AC,BDAC,BD交点为交点为E,E,连接连接ME.ME.因为因为PDPD平面平面MAC,MAC,平面平面MACMAC平面平面PDB=ME,PDB=ME,所以所以PDME.PDME.因为因为ABCDABCD是正方形是正方形,所以所以E E为为BDBD的中点的中点.所以所以M M为为PBPB的中点的中点.(2)(2)求二面角求二面角B-PD-AB-PD-A的大小的大小;(2)(2)解解:取取ADAD的中点的中点O,O,连接连接OP,OE.OP,OE.因为因为PA=PD,PA=PD,所以所以OPAD.OPAD.又因为平面又因为平面PADPAD平面平面ABCD,ABCD,且
14、且OPOP平面平面PAD,PAD,平面平面PADPAD平面平面ABCD=AD,ABCD=AD,所以所以OPOP平面平面ABCD.ABCD.(3)(3)求直线求直线MCMC与平面与平面BDPBDP所成角的正弦值所成角的正弦值.5.5.(2017(2017天津卷天津卷)如图如图,在三棱锥在三棱锥P P-ABCABC中中,PA,PA底面底面ABC,BAC=90ABC,BAC=90.点点D,E,ND,E,N分别为棱分别为棱PA,PC,BCPA,PC,BC的中点的中点,M,M是线段是线段ADAD的中点的中点,PA=AC=4,AB=2.,PA=AC=4,AB=2.(1)(1)求证求证:MN:MN平面平面BDE;BDE;(2)(2)求二面角求二面角C-EM-NC-EM-N的正弦值的正弦值;解解:(1)(1)因为因为APBE,ABBE,AB,APAPBE,ABBE,AB,AP平面平面ABP,ABAP=A,ABP,ABAP=A,所以所以BEBE平面平面ABP.ABP.又又BPBP平面平面ABP,ABP,所以所以BEBP.BEBP.又又EBC=120EBC=120,所以所以CBP=30CBP=30.(2)(2)当当AB=3,AD=2AB=3,AD=2时时,求二面角求二面角E E-AGAG-C C的大小的大小.谢谢 谢谢
