1、第第2 2知识网络要点梳理超几何分布;二项分布;均值;方差;正态分布;3原则.知识网络要点梳理1.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则表称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质:pi0(i=1,2,n);p1+p2+pn=1.知识网络要点梳理知识网络要点梳理3.事件的相互独立性(1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A,B是相互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(
2、A)P(B).(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.知识网络要点梳理4.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中各事件发生的概率都是一样的.知识网络要点梳理知识网络要点梳理知识网络要点梳理7.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aEX+b.(2)D(aX+b)=a2DX(a,b为常数).8.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).(2)若XB(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).知识网络
3、要点梳理思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.()(2)若随机变量X的分布列由下表给出,则它服从两点分布.()(3)在离散型随机变量的概率分布列中,各个概率之和可以小于1.()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X服从超几何分布.()答案:(1)(2)(3)(4)专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题一条件概率和相互独立事件的概率【例1】一个盒子装有4个产品,其中有3个一等品、1个二等品,从中取产品两次,每次任取一个,做不放回抽样,设事件A为“第一次取到的是一等品”,事件B为“第二次
4、取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A).解将产品编号1,2,3号为一等品,4号为二等品,以(i,j)表示第一次,第二次分别取到第i号、第j号产品,则试验的样本空间为:=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四(1)分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的
5、零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四2.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”(1)求概率的步骤是:第一步,确定事件性质;第二步,判断事件的运算;第三步,运用公式.(2)概率问题常常与排列组合问题相结合.3.求解相互独立事件同时发生的概率时,要注意以下几个问题:(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.(3)公式 常应
6、用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四跟踪训练跟踪训练1在某次1 500米体能测试中,甲、乙、丙三人各自通过测试的概率分别为(1)3人都通过体能测试的概率;(2)恰有2人通过体能测试的概率;(3)恰有1人通过体能测试的概率.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题二离散型随机变量的分布列【例3】某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n8且nN+),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的2
7、位校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ,求n的最大值;(2)当n=12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四反思感悟反思感悟 求离散型随机变量的分布列时,要解决以下两个问题:(1)求出X的所有取值,并明确其含义;(2)求出X取每一个值时的概率.求概率是难点,也是关键,一般要联系排列、组合知识,古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率等知识进行解决.同时还应注意超几何分布、二项分布等特殊分布模型.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四跟踪训练跟踪训练2某一随机变量X的分布列为:则mn的最大值为()A
8、.0.8 B.0.2 C.0.08D.0.6解析:由分布列的性质知m(0,1),2n(0,1),且0.1+m+2n+0.1=1,即m+2n=0.8.mn=(0.8-2n)n=0.8n-2n2=-2(n-0.2)2+0.08,所以当n=0.2时,mn的最大值为0.08.答案:C专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题三离散型随机变量的均值与方差【例4】一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字),(1)设随机变量表示一次掷得的点数和,求的分布列;(2)若连续投掷10次,设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E,D.专题归纳高考体验专题
9、一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四反思感悟反思感悟 1.含义:均值和方差分别反映了随机变量的平均水平及其稳定性.2.应用范围:均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路:应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列,同时要注意运用二项分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值与方差的线性性质.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四跟踪训练跟踪训练3某单位为了参加上级组织的普及消防知识竞赛,需要从两名选手中选出一人参加.为此,设计了一个挑选方
10、案:选手从6道备选题中一次性随机抽取3题.通过考查得知:6道备选题中选手甲有4道题能够答对,2道题答错;选手乙答对每题的概率都是 ,且各题答对与否互不影响.设选手甲、选手乙答对的题数分别为,.(1)写出的概率分布列(不要求计算过程),并求出E,E;(2)求D,D.请你根据得到的数据,建议该单位派哪个选手参加竞赛?专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四专题四正态分布【例5】某市去年高考考生成绩服从正态分布N(500,502),现有25 000名考生,试确定考生成绩在550600分的人数.解考生成绩XN(500,50
11、2),=500,=50,反思感悟反思感悟 1.有关正态分布概率的计算应转化为三个特殊区间内取值的概率,因此要熟记三个特殊区间及相应概率.2.从正态曲线可以看出,曲线的形状由参数确定,越大,曲线越“矮胖”;越小,曲线越“高瘦”.专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四跟踪训练跟踪训练4已知随机变量X服从正态分布N(,2),且P(-2X+2)=0.954,P(-X+)=0.683,若=4,=1,则P(5X6)=()A.0.135 8B.0.135 5C.0.271 6D.0.271专题归纳高考体验专题一专题二专题三专题四解析:由题意知XN(4,1),作出相应的正态曲线,如图,依题意P(2X6)=0
12、.954,P(3X5)=0.683,即曲边梯形ABCD的面积为0.954,曲边梯形EFGH的面积为0.683,其中A,E,F,B的横坐标分别是2,3,5,6,由曲线关于直线x=4对称,可知曲边梯形FBCG的面积为答案:B专题归纳高考体验12345678910111213考点一条件概率与独立事件1.(2015课标高考)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.答案:A专题归纳高考体验
13、123456789101112132.(2017天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验123456789101112133.(2015课标高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62738192
14、95857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);专题归纳高考体验12345678910111213(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.专题归纳高考体验12345678
15、910111213解(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验12345678910111213考点二二项分布改编4.(2017课标高考)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX=.解析:由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即XB(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则DX=np(1-p)=1000.0
16、20.98=1.96.答案:1.96专题归纳高考体验123456789101112135.(2015广东高考)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若EX=30,DX=20,则p=.专题归纳高考体验12345678910111213考点三离散型随机变量的均值与方差6.(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是.专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验123456789101112137.(2017课标高考)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未
17、售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?专题归纳高考体验123456
18、78910111213(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200n500.当300n500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n;专题归纳高考体验12345678910111213若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n.当200n1.P(Y2)P(Y1),故A错;由图像知1P(X1),故B错;对任意正数t,由题中图像知,P(Xt)P
19、(Yt),故C正确,D错.答案:C专题归纳高考体验1234567891011121312.(2015山东高考)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量服从正态分布N(,2),则P(-+)=68.26%,P(-2+2)=95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%专题归纳高考体验12345678910111213答案:B 专题归纳高考体验1234567891011121313.(2017课标高考)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取
20、16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求P(X1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验12345678910111213专题归纳高考体验12345678910111213解(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为
21、0.997 4,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.002 6,故XB(16,0.002 6).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 4160.040 8.X的数学期望为EX=160.002 6=0.041 6.(2)()如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 6,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.040 8,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.专题归纳高考体验12345678910111213
