人教B版高中选修2-2数学课件：1.4.2微积分基本定理.ppt

1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 14.2 微积分基本定理 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 (1)了解微积分基本定理了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定学会应用微积分基本定理求定 积分；积分； (2)通过对本节课学习通过对本节课学习，培养应用微积分思想解决实际问培养应用微积分思想解决实际问 题的能力题的能力 2过程与方法 (1)通过自主探究速度与位移的关系及对

2、图象的研究，巩固数形结合的 方法； (2)通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零、以直代曲的思 想 3情感、态度与价值观 (1)感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲； (2)通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性； (3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁 重点难点 重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出微积分基本 定理，以及对微积分基本定理的应用 难点：了解微积分基本定理的含义 2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)? 【提示】 不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数C， 都有F(x)CF(x)Cf(x) 微积分

3、基本定理微积分基本定理 (1)定理内容定理内容 如果如果 F(x)f(x)，且，且 f(x)在在a，b上可积，上可积， 则则 a bf(x)dx 其中其中 F(x)叫做叫做 f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)C 也是也是 f(x) 的原函数，其中的原函数，其中 C 为常数为常数 (2)符号表示符号表示 a bf(x)dx F(x) b a F(b)F(a) F(b)F(a) 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微 积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基 本定理求解 计算下列定积分：计算下列定积分： (1) 1 2(x2 2x

4、3)dx；(2) 0 (cos xex)dx； (3) 1 22x 2 x1 x dx；(4) 2 0sin 2x 2dx. 【自主解答】【自主解答】 (1) 1 2(x2 2x3)dx 1 2x2dx 1 22xdx 1 23dx x 3 3 2 1 x2 2 1 3x 2 1 25 3 . (2) 0 (cos xex)dx 0 cos xdx 0 exdx sin x 0 ex 0 1 e 1. (3)2x 2 x1 x 2x11 x，而 ，而(x2xln x)2x11 x. 1 22x 2 x1 x dx(x2xln x) 2 1 4ln 2. (4)sin2x 2 1 cos x 2

5、 ， 而而 1 2x 1 2sin x 1 2 1 2cos x， ， 2 0sin 2x 2dx 2 0 1 2 1 2cos x dx 1 2x 1 2sin x 2 0 4 1 2 2 4 . 求简单的定积分应注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原 函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 若将本题若将本题(1)变为变为 1 2(t2 2t3)dx，求定积分，求定积分 【解】【解】 (t22t3)xt22t3. 1 2(t2 2t3)dx(t22t3)x 2 1 t22t3. 计算下列定积

6、分计算下列定积分 (1)f(x) sin x， ，0x 2 ， 1， 2 x2， x1，21， 求求 0 2f(x)dx； ； (2) 2 2 e|x|dx. 【解】【解】 (1) 0 2f(x)dx 0 1(x 1)dx 1 21 2x 2dx 1 2x 2 x 1 0 1 6x 3 2 1 1 2 11 6 231 6 8 3. (2)法一法一 2 2 e|x|dx2 0 2exdx 2(ex) 2 0 2(e2e0)2e22. 法二法二 2 2 e|x|dx 2 0 e xdx 0 2exdx (e x) 0 2 ex 2 0 2e22. (1)由曲线yx21，直线x0，x2和x轴围成的

7、封闭图形的面积(如 图143所示)是( ) (2)求抛物线y22x和直线yx4所围成的图形的面积 A. 0 2(x2 1)dx B. 0 2（ （x21）dx C. 0 2|x2 1|dx D. 0 1(x2 1)dx 1 2(x2 1)dx 【思路探究】 (1)当图形在x轴下方时，图形面积与相应定积分互为 相反数(2)画出图形，求出两曲线的交点坐标，在交点处，把所求图 形分割为两个规则图形求面积 【自主解答】【自主解答】 (1)阴影部分的面积阴影部分的面积 S 0 1(x2 1)dx 1 2(x2 1)dx 0 1（ （x21）dx 1 2(x2 1)dx 0 2|x2 1|dx.故选故选

8、C. 【答案】 C (2)画出草图，如图所示 解方程组解方程组 y2 2x， yx4得交点坐标为 得交点坐标为 A(2，2)和和 B(8， 4) 直线直线 x2 将图形分割成两部分将图形分割成两部分(如图如图)，因此所求面，因此所求面 积为积为 SS1S22 0 2 2x dx 2 8( 2x x4)dx 4 2 3 x 3 2 2 0 2 2 3 x 3 2 1 2x 2 4x 8 2 18. 2利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画图形 (2)确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式： 通过解方程组求出交点的横坐标，从而确定积分区间，观察图形上、 下边界是否是同一函数的图象，确定边界表

9、示的函数解析式 1解答本题解答本题(2)时，确定图形上、下边界表示的函数时，确定图形上、下边界表示的函数 解析式是解题的关键，本题中下边界表示的函数解析式解析式是解题的关键，本题中下边界表示的函数解析式 为为 y 2x. (3)面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界 所表示函数解析式的差，从而写出平面图形的面积的定积分表达式 (4)求面积：求定积分进而得图形的面积 (1)由抛物线由抛物线 yx2x， 直线， 直线 x1 及及 x 轴围成的轴围成的 图形的面积为图形的面积为( ) A.5 3 B1 C.5 2 D. 2 3 (2)求由曲线求由曲线 y x，y2x，y1 3x

10、所围成图形 所围成图形 的面积的面积 【答案】 B 【解】【解】 (1)由由图可知，所求面积图可知，所求面积 S 1 0 (x2x)dx 0 1(x x2)dx x3 3 x 2 2 0 1 x2 2 x 3 3 1 0 5 6 1 6 1. (2)画出草图，如图所示画出草图，如图所示 解方程组解方程组 y x， xy2， y x， y1 3x， ，及 及 xy2， y1 3x， ， 得交点分别为得交点分别为(1，1)，(0，0)，(3，1) 所以所以 S 0 1 x（1 3x） ） dx 1 3 （2x） 1 3x dx 0 1 x1 3x dx 1 3 2x1 3x dx 2 3x 3 2

11、 1 6x 2 1 0 2x1 2x 2 1 6x 2 3 1 2 3 1 6 2x1 3x 2 3 1 5 6 61 3 921 3 13 6 . 求原函数时忽略原函数 是否有意义致误 计算计算 2 11 xdx. 【错解】【错解】 (ln x)1 x. 2 11 xdx ln x 1 2 ln(1)ln(2)不存在不存在 【错因分析】 积分区间为2，1，原函数F(x)ln x的定义域为 (0，)，因此无法求解 【防范措施】 当积分区间使原函数没有意义时，可先根据定积分的 几何意义变形，再求定积分，或改变原函数的表达式求解 【正解】【正解】 法一法一 2 11 xdx 1 21 xdx (l

12、n x) 2 1 ln 1 ln 2ln 2. 法二法二 (ln|x|)(ln(x)1 x(x0) 2 11 xdx ln|x| 1 2 ln 1ln 2ln 2. 【答案】 B 1 2 0(x sin x)dx 等于等于( ) A. 2 4 1 B. 2 8 1 C. 2 8 D. 2 8 1 2由曲线由曲线 y x，直线，直线 yx2 及及 y 轴所围成的图轴所围成的图 形的面积为形的面积为( ) A.10 3 B4 C.16 3 D6 【解析】【解析】 如图阴影部分面积即为所求，求得曲线如图阴影部分面积即为所求，求得曲线 y x与直线与直线 yx2 的交点为的交点为 A(4，2)， 【答

13、案】 C 面积面积 S阴 阴 0 4( x x2)dx 2 3x 3 2 1 2x 2 2x 4 0 16 3 . 3. 4 9 x(1 x)dx 等于等于_ 【解析】【解析】 4 9 x(1 x)dx 4 9( x x)dx 2 3x 3 2 1 2x 2 9 4 2 3 9 3 2 1 2 92 2 3 4 3 2 1 2 42 451 6. 【答案】【答案】 451 6 4已知已知 f(x)ax2bxc(a0)，且，且 f(1)2，f(0) 0， 0 1f(x)dx 2.求求 a，b，c 的值的值 【解】【解】 f(1)2，abc2. 又又f(x)2axb，f(0)b0. 而而 0 1f

14、(x)dx 0 1(ax2 bxc)dx， 取取 F(x)1 3ax 3 1 2bx 2 cx， 则则 F(x)ax2bxc， 0 1f(x)dx F(1)F(0)1 3a 1 2b c2. 联立联立，解得，解得 a6，b0，c4. 【思路探究】 解答本题可以利用微积分基本定理求出f(a)的表达式， 再求其最大值 已知已知 f(a) 0 1(2ax2 a2x)dx，求，求 f(a)的最大值的最大值 【自主解答】【自主解答】 0 1(2ax2 a2x)dx 0 12ax2dx 0 1a2xdx 2 3ax 3 1 0 1 2a 2x2 1 0 2 3a 1 2a 2. f(a)1 2a 2 2

15、3a 1 2 a2 3 2 2 9. 当当 a2 3时， 时，f(a)有最大值有最大值2 9. 1熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对 于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再 求定积分 2掌握求函数最值的方法：配方法、基本不等式、导数法等 求函数求函数 f(a) 0 1(6x2 4axa2)dx 的最小值的最小值 【解】【解】 0 1(6x2 4axa2)dx 0 16x2dx 0 14axdx 0 1 a2dx 2x3 1 0 2ax2 1 0 a2x 1 0 22aa2. f(a)a22a2(a1)21. 当当 a1 时，时，f(a)有最小值有最小值 1.