1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 14.2 微积分基本定理 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 (1)了解微积分基本定理了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定学会应用微积分基本定理求定 积分；积分； (2)通过对本节课学习通过对本节课学习，培养应用微积分思想解决实际问培养应用微积分思想解决实际问 题的能力题的能力 2过程与方法 (1)通过自主探究速度与位移的关系及对
2、图象的研究，巩固数形结合的 方法； (2)通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零、以直代曲的思 想 3情感、态度与价值观 (1)感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲； (2)通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性； (3)帮助建立微观与宏观的联系桥梁 重点难点 重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出微积分基本 定理，以及对微积分基本定理的应用 难点：了解微积分基本定理的含义 2对一个连续函数f(x)来说，是否存在唯一的F(x)，使得F(x)f(x)? 【提示】 不唯一，根据导数的性质，若F(x)f(x)，则对任意实数C， 都有F(x)CF(x)Cf(x) 微积分
3、基本定理微积分基本定理 (1)定理内容定理内容 如果如果 F(x)f(x)，且，且 f(x)在在a，b上可积，上可积， 则则 a bf(x)dx 其中其中 F(x)叫做叫做 f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)C 也是也是 f(x) 的原函数，其中的原函数，其中 C 为常数为常数 (2)符号表示符号表示 a bf(x)dx F(x) b a F(b)F(a) F(b)F(a) 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F(x)，然后利用微 积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基 本定理求解 计算下列定积分：计算下列定积分： (1) 1 2(x2 2x
4、3)dx；(2) 0 (cos xex)dx； (3) 1 22x 2 x1 x dx；(4) 2 0sin 2x 2dx. 【自主解答】【自主解答】 (1) 1 2(x2 2x3)dx 1 2x2dx 1 22xdx 1 23dx x 3 3 2 1 x2 2 1 3x 2 1 25 3 . (2) 0 (cos xex)dx 0 cos xdx 0 exdx sin x 0 ex 0 1 e 1. (3)2x 2 x1 x 2x11 x，而 ，而(x2xln x)2x11 x. 1 22x 2 x1 x dx(x2xln x) 2 1 4ln 2. (4)sin2x 2 1 cos x 2
5、 ， 而而 1 2x 1 2sin x 1 2 1 2cos x， ， 2 0sin 2x 2dx 2 0 1 2 1 2cos x dx 1 2x 1 2sin x 2 0 4 1 2 2 4 . 求简单的定积分应注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原 函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限 若将本题若将本题(1)变为变为 1 2(t2 2t3)dx，求定积分，求定积分 【解】【解】 (t22t3)xt22t3. 1 2(t2 2t3)dx(t22t3)x 2 1 t22t3. 计算下列定积
6、分计算下列定积分 (1)f(x) sin x， ，0x 2 ， 1， 2 x2， x1，21， 求求 0 2f(x)dx； ； (2) 2 2 e|x|dx. 【解】【解】 (1) 0 2f(x)dx 0 1(x 1)dx 1 21 2x 2dx 1 2x 2 x 1 0 1 6x 3 2 1 1 2 11 6 231 6 8 3. (2)法一法一 2 2 e|x|dx2 0 2exdx 2(ex) 2 0 2(e2e0)2e22. 法二法二 2 2 e|x|dx 2 0 e xdx 0 2exdx (e x) 0 2 ex 2 0 2e22. (1)由曲线yx21，直线x0，x2和x轴围成的
7、封闭图形的面积(如 图143所示)是( ) (2)求抛物线y22x和直线yx4所围成的图形的面积 A. 0 2(x2 1)dx B. 0 2（ （x21）dx C. 0 2|x2 1|dx D. 0 1(x2 1)dx 1 2(x2 1)dx 【思路探究】 (1)当图形在x轴下方时，图形面积与相应定积分互为 相反数(2)画出图形，求出两曲线的交点坐标，在交点处，把所求图 形分割为两个规则图形求面积 【自主解答】【自主解答】 (1)阴影部分的面积阴影部分的面积 S 0 1(x2 1)dx 1 2(x2 1)dx 0 1（ （x21）dx 1 2(x2 1)dx 0 2|x2 1|dx.故选故选
8、C. 【答案】 C (2)画出草图，如图所示 解方程组解方程组 y2 2x， yx4得交点坐标为 得交点坐标为 A(2，2)和和 B(8， 4) 直线直线 x2 将图形分割成两部分将图形分割成两部分(如图如图)，因此所求面，因此所求面 积为积为 SS1S22 0 2 2x dx 2 8( 2x x4)dx 4 2 3 x 3 2 2 0 2 2 3 x 3 2 1 2x 2 4x 8 2 18. 2利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画图形 (2)确定积分区间和上、下边界表示的函数解析式： 通过解方程组求出交点的横坐标，从而确定积分区间，观察图形上、 下边界是否是同一函数的图象，确定边界表
9、示的函数解析式 1解答本题解答本题(2)时，确定图形上、下边界表示的函数时，确定图形上、下边界表示的函数 解析式是解题的关键，本题中下边界表示的函数解析式解析式是解题的关键，本题中下边界表示的函数解析式 为为 y 2x. (3)面积表示：在每一个积分区间上，被积函数是图形上边界与下边界 所表示函数解析式的差，从而写出平面图形的面积的定积分表达式 (4)求面积：求定积分进而得图形的面积 (1)由抛物线由抛物线 yx2x， 直线， 直线 x1 及及 x 轴围成的轴围成的 图形的面积为图形的面积为( ) A.5 3 B1 C.5 2 D. 2 3 (2)求由曲线求由曲线 y x，y2x，y1 3x
10、所围成图形 所围成图形 的面积的面积 【答案】 B 【解】【解】 (1)由由图可知，所求面积图可知，所求面积 S 1 0 (x2x)dx 0 1(x x2)dx x3 3 x 2 2 0 1 x2 2 x 3 3 1 0 5 6 1 6 1. (2)画出草图，如图所示画出草图，如图所示 解方程组解方程组 y x， xy2， y x， y1 3x， ，及 及 xy2， y1 3x， ， 得交点分别为得交点分别为(1，1)，(0，0)，(3，1) 所以所以 S 0 1 x（1 3x） ） dx 1 3 （2x） 1 3x dx 0 1 x1 3x dx 1 3 2x1 3x dx 2 3x 3 2
11、 1 6x 2 1 0 2x1 2x 2 1 6x 2 3 1 2 3 1 6 2x1 3x 2 3 1 5 6 61 3 921 3 13 6 . 求原函数时忽略原函数 是否有意义致误 计算计算 2 11 xdx. 【错解】【错解】 (ln x)1 x. 2 11 xdx ln x 1 2 ln(1)ln(2)不存在不存在 【错因分析】 积分区间为2，1，原函数F(x)ln x的定义域为 (0，)，因此无法求解 【防范措施】 当积分区间使原函数没有意义时，可先根据定积分的 几何意义变形，再求定积分，或改变原函数的表达式求解 【正解】【正解】 法一法一 2 11 xdx 1 21 xdx (l
12、n x) 2 1 ln 1 ln 2ln 2. 法二法二 (ln|x|)(ln(x)1 x(x0) 2 11 xdx ln|x| 1 2 ln 1ln 2ln 2. 【答案】 B 1 2 0(x sin x)dx 等于等于( ) A. 2 4 1 B. 2 8 1 C. 2 8 D. 2 8 1 2由曲线由曲线 y x，直线，直线 yx2 及及 y 轴所围成的图轴所围成的图 形的面积为形的面积为( ) A.10 3 B4 C.16 3 D6 【解析】【解析】 如图阴影部分面积即为所求，求得曲线如图阴影部分面积即为所求，求得曲线 y x与直线与直线 yx2 的交点为的交点为 A(4，2)， 【答
13、案】 C 面积面积 S阴 阴 0 4( x x2)dx 2 3x 3 2 1 2x 2 2x 4 0 16 3 . 3. 4 9 x(1 x)dx 等于等于_ 【解析】【解析】 4 9 x(1 x)dx 4 9( x x)dx 2 3x 3 2 1 2x 2 9 4 2 3 9 3 2 1 2 92 2 3 4 3 2 1 2 42 451 6. 【答案】【答案】 451 6 4已知已知 f(x)ax2bxc(a0)，且，且 f(1)2，f(0) 0， 0 1f(x)dx 2.求求 a，b，c 的值的值 【解】【解】 f(1)2，abc2. 又又f(x)2axb，f(0)b0. 而而 0 1f
14、(x)dx 0 1(ax2 bxc)dx， 取取 F(x)1 3ax 3 1 2bx 2 cx， 则则 F(x)ax2bxc， 0 1f(x)dx F(1)F(0)1 3a 1 2b c2. 联立联立，解得，解得 a6，b0，c4. 【思路探究】 解答本题可以利用微积分基本定理求出f(a)的表达式， 再求其最大值 已知已知 f(a) 0 1(2ax2 a2x)dx，求，求 f(a)的最大值的最大值 【自主解答】【自主解答】 0 1(2ax2 a2x)dx 0 12ax2dx 0 1a2xdx 2 3ax 3 1 0 1 2a 2x2 1 0 2 3a 1 2a 2. f(a)1 2a 2 2
15、3a 1 2 a2 3 2 2 9. 当当 a2 3时， 时，f(a)有最大值有最大值2 9. 1熟悉基本初等函数的导数公式是应用微积分基本定理的基础，对 于较复杂的函数式，可以对函数式进行变形，化为基本初等函数后再 求定积分 2掌握求函数最值的方法：配方法、基本不等式、导数法等 求函数求函数 f(a) 0 1(6x2 4axa2)dx 的最小值的最小值 【解】【解】 0 1(6x2 4axa2)dx 0 16x2dx 0 14axdx 0 1 a2dx 2x3 1 0 2ax2 1 0 a2x 1 0 22aa2. f(a)a22a2(a1)21. 当当 a1 时，时，f(a)有最小值有最小值 1.
