1、 问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参 加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的 活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不 同的选法？同的选法？ 问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参 加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 2 3 6A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3 情境创设情境创设 从已知的从已知的 3个不同个不同 元素中每元素中每 次取出次取出2
2、个元素个元素 , , 并成一组并成一组 问题问题2 从已知的从已知的 3 个不同个不同 元素中每元素中每 次取出次取出2 个元素个元素 , , 按照一定按照一定 的顺序排的顺序排 成一列成一列. . 问题问题1 排列排列 组合组合 有有 顺顺 序序 无无 顺顺 序序 组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个 元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一 个个组合组合 排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个 元素，元素，按照一定的顺
3、序按照一定的顺序排成一列排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素 中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. . 共同点共同点: : 都要“从都要“从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素”个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序与元素的顺序有有关，关， 而组合而组合则与元素的顺序则与元素的顺序无无关关. . 概念讲解概念讲解 组合和排列有什么共同和不同点？组合和排列有什么共同和不同点？ 判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个
4、元素的子集有 多少个多少个? ? (2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？ 组合问题组合问题 排列问题排列问题 (3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有 多少种分法多少种分法? ? 组合问题组合问题 (4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手 多少次多少次? ? 组合问题组合问题 (5)(5)从从4 4个
5、风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ? 组合问题组合问题 (6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, , 有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ? 排列问题排列问题 组合问题组合问题 组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列 是是选择后再排序选择后再排序的结果的结果. 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的 所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出 m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，
6、用符号 表示表示. . m n C 概念讲解概念讲解 组合数组合数: : 注意：注意： 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 m n C 联系。 有什么区别和和排列数探究：组合数 m n m n AC 我们从具体问题分析：我们从具体问题分析： 组合 排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 你发现了你发现了 什么什么? 1.（1）写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元
7、素的组合数四个元素中任取三个元素的组合数。 （2 2）写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数四个元素中任取三个元素的排列数。 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到： 因此：因此： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元个元 素的排列数，可以分为以下素的排列数，可以分为以下2步步： nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的组合数个元素的组合数 m n C nm 第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 m m Am m m m n m n ACA 121 ! m
8、 m n n m m n nnnmA C Am 这里 ，且 ，这个公式叫 做组合数公式组合数公式 * Nnm、nm 的区别和联系。和排列数组合数 m n m n AC 组合数公式组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m An nnnm C Am 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmm nmnCAA ! !()! m n n C m nm 0 . 1 n C我们规定： 概念讲解概念讲解 例例1 1：一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级学员名初级学员, ,他们中他们中 以前没有一人参加过比赛以前没有一人参加过比赛, ,按照
9、足球比赛规则按照足球比赛规则, ,比赛比赛 时一个足球队的上场队员是时一个足球队的上场队员是1111人人. .问问: : (1)(1)这位教练从这这位教练从这1717名学员中可以形成多少种学名学员中可以形成多少种学 员上场方案员上场方案? ? (2)(2)如果在选出如果在选出1111名上场队员时名上场队员时, ,还要确定其中还要确定其中 的守门员的守门员, ,那么教练员有多少种方式做这件事情那么教练员有多少种方式做这件事情? ? 例例2 2：(1)(1)平面内有平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的个点为端点的 线段共有多少条线段共有多少条? ? (2)(2)平面内有
10、平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的个点为端点的 有向线段共有多少条有向线段共有多少条? ? (2)17选11，然后选一个守门员，就是 C17/11.C1/11=136136 (1)17选11，C11/17=C6/17=12376 问题1 计算 3 10 7 10 CC ； 猜想 mnm nn CC 猜想 m n m n m n C C C 1 1 97 100 C练： 问题2.一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球 （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ （2）从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，共 有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，没有黑球，共有多
11、少 种不同的取法？ 组合数的两个性质 性质1 m n n m n C C 性质2 m n m n m n C C C 1 1 规定： 1 0 n C 注: 1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之 和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算 性质应用 1、计算 97 100 98 100 CC 2、解方程 4 x 25 2x 25 CC 9 13 2 6 1 5 0 4 CCCC 1方程方程 的解集为（的解集为（ ） 2式子式子 的值的个数为的值的个数为 （ ） A 1 B 2 C3 D 4 3化简化简 4 83 2828
12、xx CC 94DC9，、 BA )( *17 10 2 10 NmCC mm _ 89 1 9 mmm CCC _C,C n 20 8 n 10 n 的值为的值为则则若若C 练习 5、 _ n n13 n17 2n CC 3 6、已知 成等差数列，则 65 nn 4 n CCC， 12 n C 7、 _ 7 8 6 2CCC 8 5 8 8、 _ 2 100 2 5 2 CCCC 4 2 3 _n _m,10,609，则、若 m n m n CA 则、若n,10 877 1nnn CCC 1 121 .11 n mn n mn n n n n n n CCCCC、求证： 56 211 12,
13、 x xxx CCCx ：已知则 作业 1.计算： 198 200 ( 1 ) C ； 32 9999 ( 2 ) CC ； 332 898 ( 3 ) . 2CCC 0129 45613 1CCCC（）计算 ； 1 121. nnnnn nnnnmn m CCCCC （3）求证： 2、 2222 23410 2CCCC（ ）计算 ； ,3 6 1 5 12 xx x x CCC：已知：已知 4 2 5 2 x x x x CC求 一、等分组与不等分组问题一、等分组与不等分组问题 例例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给
14、甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本； （4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本； （5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本； （6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本； C(6,2)*A(5,5)=1800 或C(5,1)*C(6,2)*A(4,4)=1800 （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人
15、，每人至少一本。 是3+6+1一共10 练习：练习： (1)今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分成三份件分成三份, 二份各二份各1 件件,另一份另一份4件件, 有多少种分法有多少种分法? (2) 今有今有10件不同奖品件不同奖品,从中选从中选6件分给甲乙丙三人件分给甲乙丙三人,每每 人二件有多少种分法人二件有多少种分法? 解解: (1) (2) 6411 1 106212 3150CCCC 6222 10642 18900CCCC 二、二、机会均等法（定序）机会均等法（定序） 例例4 4 某毕业班第一小组的某毕业班第一小组的7 7位同学合影留念，位同学合影留念， 要求其中要求其
16、中3 3位女同学的顺序固定，共有多少种位女同学的顺序固定，共有多少种 不同的排法？不同的排法？ 三、混合问题，先“组”后“排”三、混合问题，先“组”后“排” 例例5 对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的次品件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的测试方法则这样的测试方法 有几种可能？有几种可能？ 解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且第次测到次品，且第5 次测试是次品。故有：次测试是次品。故有： 种可能种可能。
17、 576 4 4 1 6 3 4 ACC 练习：练习：1、某学习小组有、某学习小组有5个男生个男生3个女生，从中选个女生，从中选3名名 男生和男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1 人参加，则有不同参赛方法人参加，则有不同参赛方法_种种. 解：采用先组后排方法解：采用先组后排方法: 3123 5343 1080CCCA 2、3 名医生和名医生和 6 名护士被分配到名护士被分配到 3 所学校为学生所学校为学生 体检体检,每校分配每校分配 1 名医生和名医生和 2 名护士名护士,不同的分配方不同的分配方 法共有多少种法共有多少种? 解法一：先组队后分
18、校（先分堆后分配）解法一：先组队后分校（先分堆后分配） 223 364 540 C C A 解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士. 5401)()( 2 4 1 2 2 6 1 3 CCCC 例例6、 从从6个学校中选出个学校中选出30名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛,每每 校校至少至少有有1人人,这样有几种选法这样有几种选法? 分析分析:问题相当于把个问题相当于把个30相同球放入相同球放入6个不同盒子个不同盒子(盒盒 子不能空的子不能空的)有几种放法有几种放法?这类问可用“隔板法”处理这类问可用“隔板法”处理. 解解
19、:采用“隔板法”采用“隔板法” 得得: 5 29 4095C 练习：练习： 1、将、将8个学生干部的培训指标分配给个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，个不同的班级， 每班至少分到每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？个名额，共有多少种不同的分配方法？ 2、从一楼到二楼的楼梯有、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走级，上楼时可以一步走 一级，也可以一步走两级，若要求一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有步走完，则有 多少种不同的走法？多少种不同的走法？ 四四.元素相同问题元素相同问题隔板隔板策略策略 课堂练习：课堂练习： 2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参
20、加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3232 8778 .()()A CCCC 3232 8778 .()()B CCCC 3232 8778 .C C CC C 321 8711 .DC C C 3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个医疗队，如果人组成一个医疗队，如果 其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数 为（为（ ） 4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委
21、员、体育委人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ） 23 53 .AC A 33 53 .2B C A 3 5 .C A 233 535 .2D C AA 1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 法有法有 种种 。 9 9 C D 5、在如图、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多
22、少个矩形？）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？）其中有多少个正方形？ 6.6.从从4 4名男生和名男生和5 5名女生中任选名女生中任选5 5人参加某项社会人参加某项社会 实践活动，要求至多选实践活动，要求至多选4 4名女生，且男生甲和女名女生，且男生甲和女 生乙不同时入选，求共有多少种不同的选法？生乙不同时入选，求共有多少种不同的选法？ 9090 （1）矩形的话用C（8,2）*C（5,2）在两边 任意取两点即可 （2）正方形的话,首先,只由一个小正方形组 成的有7*4 由2*2小正方形组成的有6*3 由3*3小正方形组成的有5*2 由4*4小正方形组成的有4*1 所以7*46*35
23、*24*1=60 445 777 1 CCC 7.BAC7.BAC的的ABAB边上有边上有5 5个点，个点，ACAC边上有边上有4 4 个点，连同点个点，连同点A A共共1010个点，求由这个点，求由这1010个个 点一共可构成多少个不同的三角形？点一共可构成多少个不同的三角形？ 9090 A A B B C C 8.8.将将8 8名工程技术人员平均分到甲、名工程技术人员平均分到甲、 乙两个企业作技术指导，其中某乙两个企业作技术指导，其中某2 2名名 工程设计人员不能分到同一个企业，工程设计人员不能分到同一个企业， 某某3 3名电脑编程人员也不能分到同一名电脑编程人员也不能分到同一 个企业，求共有多少种不同的分配方个企业，求共有多少种不同的分配方 案？案？ 3636 9.某城市新建的一条道路上有某城市新建的一条道路上有12只路灯，为了节约用只路灯，为了节约用 电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中3只灯，但只灯，但 两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两只灯。则两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两只灯。则 熄灯的方法有多少种？熄灯的方法有多少种？ 10.10.有有1010个运动员名额，再分给个运动员名额，再分给7 7个班，每班至个班，每班至 少一个少一个, ,有多少种分配方案？有多少种分配方案？ 6 9 C
