1、事件的独立性事件的独立性 什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？ 两个互斥事件两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是有一个发生的概率公式是 什么？什么？ 若若A与与A为对立事件，则为对立事件，则P（A）与）与P（A）关）关 系如何？系如何？ 不可能同时发生的两个事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；叫做互斥事件；如果两个互斥如果两个互斥 事件有一个事件有一个不不发生时另一个必发生发生时另一个必发生，这样的两个互斥事件，这样的两个互斥事件 叫对立事件叫对立事件. P(A+B)=P(A)+(B) P(A)+P()=1 复习回顾复习回顾 一般地，如果事件一般地，
2、如果事件 ，彼此互斥，那，彼此互斥，那 么事件么事件 发生（即发生（即 中中 恰有一个发生）的概率：恰有一个发生）的概率： 12n AAA、 、. 12n AAA+.+ 12n AAA、 、. 1212 ()()() .() nn P AAAP AP AP A+.+ (4).条件概率条件概率 设事件设事件A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A发发 生的条件下事件生的条件下事件B发生的概率，叫做发生的概率，叫做条件概率条件概率。 记作记作P(B |A). (5).条件概率计算公式条件概率计算公式: ()() (|) ( )( ) n ABP AB P B A n AP A 复
3、习回顾复习回顾 注意条件：必须注意条件：必须 P(A)0 思考思考1：三张奖券只有一张可以中奖，现分 别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第 一位同学没有抽到中奖奖券”，事件B为 “最后一名同学抽到中奖奖券”。 事件A的 发生会影响事件B发生的概率吗？ 分析：事件A的发生不会影响事件B发生的概 率。于是： )()|(BPABP )|()()(ABPAPABP )()()(BPAPABP 1、事件的相互独立性、事件的相互独立性 相互独立事件及其同时发生的概率相互独立事件及其同时发生的概率 设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事则称事 件件A与事件与事件B
4、相互独立相互独立。 即事件即事件A（或（或B）是否发生）是否发生,对事件对事件B（或（或A）发生的）发生的 概率没有影响，这样两个事件叫做概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件相互独立事件。 如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与B，A与与B，A与与B是不是是不是 相互独立的相互独立的 注：注： 区别：区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念： 两个事件互斥两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件是指一个事件的发生与否对另一个事件 发
5、生的概率没有影响。发生的概率没有影响。 相互独立相互独立 试一试试一试 判断事件判断事件A, B 是否为互斥是否为互斥, 互独事件互独事件? 1.篮球比赛篮球比赛 “罚球二次”“罚球二次” . 事件事件A表示“表示“ 第第1球罚中”球罚中”, 事件事件B表示“第表示“第2球罚中”球罚中”. 2.袋中有袋中有4个白球个白球, 3个黑球个黑球, 从袋中依次取从袋中依次取2球球. 事件事件A:“取出的是白球”取出的是白球”.事件事件B:“取出的是黑球”取出的是黑球” ( 不放回抽取不放回抽取) 3.袋中有袋中有4个白球个白球, 3个黑球个黑球, 从袋中依次取从袋中依次取2球球. 事件事件A为“取出的
6、是白球”为“取出的是白球”.事件事件B为“取出的是白为“取出的是白 球”球”. ( 放回抽取放回抽取) A与与B为互独事件为互独事件 A与与B为互独事件为互独事件 A与与B为非互独也非互斥事件为非互独也非互斥事件 一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这相互独立，那么这n个个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P（A1 A2An）=P（A1） P（A2）P（An） 例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑
7、 奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽中奖中以下事件 的概率： (1)都抽到某一指定号码; 解解: （1）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件）记“第一次抽奖抽到某一指定号码”为事件A， “第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件“第二次抽奖抽到某一指定号码”为事件B，则“两次，则“两次 抽奖都抽到某一指定号码”就是事件抽奖都抽到某一指定号码”就是事件AB.由于两次抽奖由于两次抽奖 结果互不影响，因此结果互不影响，因此A与与B相互独立相互独立.于是由独立性可得，于是由独立性可得， 两次抽奖都抽到某一指定号码的概率两次抽奖都抽到某一指定号码的概率 )()()(BPAPABP 0025. 005.
8、005. 0 例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽中奖中以下事件 的概率： (2)恰有一次抽到某一指定号码; 的定义，所求的概率为 式和相互独立事件互斥，根据概率加法公 与表示。由于事件可以用 抽到某一指定号码”）“两次抽奖恰有一次（ BABABABA)()( 2 )()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP 095. 005. 0)05. 01 ()05. 01 (05. 0 例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商 品可以获得一
9、张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽中奖中以下事件 的概率： (3)至少有一次抽到某一指定号码; 2 ()()(),ABABABAB ABAB （ ）“两次抽奖恰至少有一次抽到某一指定号码” 可以用表示。由于事件 和两两互斥，根据概率加法公式和相互 独立事件的定义，所求的概率为 )()()(BAPBAPABP 0975. 0095. 00025. 0 巩固练习巩固练习 1、在一段时间内，甲地下雨的概率是、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨，乙地下雨 的概率是的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否
10、下雨相互，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内：之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；）甲、乙两地都下雨的概率； （2）甲、乙两地都不下雨的概率；）甲、乙两地都不下雨的概率； （3）其中至少有一方下雨的概率）其中至少有一方下雨的概率. P=0.20.30.06 P=(1-0.2)(1-0.3)=0.56 P=1-0.56=0.44 例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击，如果次射击，如果2 2人人 击中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算： （1）两人都击中目标的概率）两人都击中目标的概率； （2）其中恰
11、由）其中恰由1人击中目标的概率人击中目标的概率 （3）目标被击中）目标被击中 的概率的概率 解：解：(1) 记“甲射击记“甲射击1次次,击中目标”为击中目标”为事件事件A.“乙乙 射射 击击1次次,击中目标”为击中目标”为事件事件B. 答：两人都击中目标的概率是答：两人都击中目标的概率是0.36 且且A与与B相互独立相互独立， 又又A与与B各射击各射击1次次,都击中目标都击中目标,就是事件就是事件A,B同同 时发生，时发生， 根据相互独立事件的概率的乘法公式根据相互独立事件的概率的乘法公式,得得到到 P(AB)=P(A) P(B)=0.60.60.36 例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行
12、1次射击，如果次射击，如果2人击中目人击中目 标的概率都是标的概率都是0.6，计算：，计算： (2) 其中恰有其中恰有1人击中目标的概率？人击中目标的概率？ 解：解：“二人各射击“二人各射击1次，次，恰有恰有1人击中目标人击中目标”包括两种”包括两种 情况情况:一种是甲击中一种是甲击中, 乙未击中（事件乙未击中（事件 ） BA ()() ( )( )( )( ) 0.6 (10.6)(10.6) 0.6 0.240.240.48 P A BP A B P AP BP AP B 答：其中恰由答：其中恰由1人击中目标的概率为人击中目标的概率为0.48. 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立根据互斥
13、事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，事件的概率乘法公式，所求的概率是所求的概率是 另一种是另一种是 甲未击中，乙击中（事件甲未击中，乙击中（事件B发生）。发生）。 B A 根据题意，这两根据题意，这两 种情况在各射击种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件次时不可能同时发生，即事件B与与 互斥，互斥， 例例2 甲、乙二人各进行甲、乙二人各进行1 1次射击比赛，如果次射击比赛，如果2 2人击人击 中目标的概率都是中目标的概率都是0.60.6，计算：，计算： （3）目标被目标被击中的概率击中的概率. 解法解法1:目标被目标被击中的概率是击中的概率是 () ()() 0.360.48
14、0.84 PP A BP A BP A B 解法解法2：两人都未击中的概率是两人都未击中的概率是 84. 016. 01)(1 ,16. 0)6 . 01 ()6 . 01 ( )()()( BAPP BPAPBAP 目标的概率因此，至少有一人击中 答：至少有一人击中的概率是答：至少有一人击中的概率是0.84. 例例3 在一段线路中并联着在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只个自动控制的常开开关，只 要其中有要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时计算在这
15、段时 间内线路正常工作的概率间内线路正常工作的概率. 由题意，这段时间内由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。互之间没有影响。 027. 0 )7 . 01)(7 . 01)(7 . 01 ( )(1)(1)(1 )()()()( CPBPAP CPBPAPCBAP 所以这段事件内线路正常工作的概率是所以这段事件内线路正常工作的概率是 973. 0027. 01)(1CBAP 答：在这段时间内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973 CBA JJJ、解：解：分别记这段时间内开关分别记这段时间内开关 能够闭合为事能够闭合为事 件件
16、A,B,C. 根据相互独立事件的概率乘法式根据相互独立事件的概率乘法式这这 段时间内段时间内3个开关都不能闭合的概率是个开关都不能闭合的概率是 4 1 12 1 9 2 例4（2004.湖南理） 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲 机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品 的概率为的概率为 乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一 等品的概率为等品的概率为 甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为甲、丙两台机床加
17、工的零件都是一等品的概率为 . ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一 等品的概率；等品的概率； ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至 少有一个一等品的概率少有一个一等品的概率 . 9 2 )()( , 12 1 )(1 ()( , 4 1 )(1 ()( . 9 2 )( , 12 1 )( , 4 1 )( CPAP CPBP BPAP CAP CBP BAP 即 解：（解：（）设）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各分别为甲、乙、丙三台机床各 自加工的零件是一等品的事件自加工的零件是一等品
18、的事件. 由题设条件有由题设条件有 )( 8 9 1)(CPBP 2 ( ) 3 11 9 P C 或 由、得由、得 代入得代入得 27P(C)251P(C)+22=0. 解得解得 （舍去舍去） 3 2 )(CP. 4 1 )(, 3 1 )(BPAP . 3 2 , 4 1 , 3 1 将 分别代入 、 可得 即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的 概率分别是概率分别是 . 6 5 3 1 4 3 3 2 1)(1)(1)(1 (1)(1)(CPBPAPDPDP . 6 5 （）记）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个为从甲、乙、丙加工的零件中
19、各取一个 检验，至少有一个一等品的事件，则检验，至少有一个一等品的事件，则 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验， 至少有一个一等品的概率为至少有一个一等品的概率为 练习：练习：某战士射击中靶的概率为某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次若连续射击两次. 求求: (1) 两次都中靶的概率两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率目标被击中的概率. 分析分析: 设事件设事件A为“第为“第1次射击中靶”次射击中靶”. B为“第为“第2次射击中靶”次射击中
20、靶”. 又又A与与B是是相互独立事件相互独立事件. “两次都中靶”两次都中靶” 是指是指 “事件“事件A发生且事件发生且事件B发生”发生” 即即A B P( A B）= P（A） P（B）= （2）“至少有一次中靶”至少有一次中靶” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 A B + A B+ A B. 求求 P(A B + A B+ A B) （3）“至多有一次中靶”至多有一次中靶” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 A B + A B+ A B. 求求 P(A B + A B+ A B) （4）“目标被击
21、中”目标被击中” 是指是指 (中中, 不中不中), (不中不中, 中中), (中中,中中) 即即 A B + A B+ A B. 求求 P(A B + A B+ A B) 1.射击时射击时, 甲射甲射10次可射中次可射中8次次;乙射乙射10次可射中次可射中7次次. 则则甲甲,乙同时射中乙同时射中同一目标的概率为同一目标的概率为_ 2.甲袋中有甲袋中有5球球 (3红红,2白白), 乙袋中有乙袋中有3球球 (2红红,1白白). 从每袋中任取从每袋中任取1球球,则则至少取到至少取到1个白球个白球的概率是的概率是_ 14 25 3 5 3.甲甲,乙二人单独解一道题乙二人单独解一道题, 若甲若甲,乙能解
22、对该题的概率乙能解对该题的概率 分别是分别是m, n . 则则此题被解对此题被解对的概率是的概率是_ m+n- mn 5.加工某产品须经两道工序加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别这两道工序的次品率分别 为为a, b. 且这两道工序互相独立且这两道工序互相独立.产品的合格的概率产品的合格的概率是是_. (1-a)(1-b) 4.有一谜语有一谜语, 甲甲,乙乙,丙猜对的概率分别是丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中则三人中恰有一人猜对恰有一人猜对该谜语的概率是该谜语的概率是_ 13 30 求 较 复 杂 事 件 概 率 求 较 复 杂 事 件 概 率 正向正向
23、 反向反向 对立事件的概率对立事件的概率 分类分类 分步分步 P(A+B)= P(A) + P (B) P(A B)= P(A) P (B) ( 互斥事件互斥事件) ( 互独事件互独事件) 独立事件一定不互斥独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立互斥事件一定不独立. 1.（06，四川）某课程考核分理论与实验两部分进行，四川）某课程考核分理论与实验两部分进行， 每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分 都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理论考都合格则该课程考核合格。甲、乙、丙三人在理论考 核中合格的概率分别为核中合格的概率分别为0.9、
24、0.8、0.7；在实验考核中；在实验考核中 合格的概率分别为合格的概率分别为0.8、0.7、0.9。所有考核是否合格。所有考核是否合格 相互之间没有影响。相互之间没有影响。 （1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合 格的概率；格的概率； （2）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保 留三位小数）留三位小数） 2.（05，全国）盒中有大小相同的球，全国）盒中有大小相同的球10个，其中标个，其中标 号为号为1的球有的球有3个，标号为个，标号为2的球有的球有4个，标号为个，标号为5的球的球 有有3个，第一次从盒中取个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再取个球，放回后第二次再取1 个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记第 一次与第二次取到球的标号之和为一次与第二次取到球的标号之和为 ，求，求 的分的分 布列。布列。
