1、教教 学学 教教 法法 分分 析析 课课 前前 自自 主主 导导 学学 当当 堂堂 双双 基基 达达 标标 易易 错错 易易 误误 辨辨 析析 课课 后后 知知 能能 检检 测测 课课 堂堂 互互 动动 探探 究究 教教 师师 备备 选选 资资 源源 22 . 2 反证法 三维目标三维目标 1知识与技能知识与技能 通过实例通过实例，体会反证法的含义体会反证法的含义 2过程与方法过程与方法 了解反证法的基本步骤了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题会用反证法证明简单的命题 3情感、态度与价值观 在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造 性 重点难点 重点：体会反证法证
2、明命题的思路方法，用反证法证明简单的命题 难点：用反证法证明简单的命题，证明方法的选择 【问题导思】 著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩 耍一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上， 去摘李子，独有王戎没动等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦 的他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如 李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李 子定是苦的” 1王戎的论述运用了什么推理思想？ 【提示】 运用了反证法的思想 2反证法解题的实质是什么？ 【提示】 否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确 1反证法的定义 由证明pq转向证明綈qrt，t
3、与 矛盾，或与某个 矛盾，从而判定 ，推出 的方法，叫做反 证法 2常见的几种矛盾 (1)与假设矛盾； (2)与 、定理、公式、定义或 矛盾； (3)与 矛盾(例如，导出01，00之类的矛盾) 假设假设 真命题真命题 綈綈q为假为假 q为真为真 数学公理数学公理 已证明了的结论已证明了的结论 公认的简单事实公认的简单事实 设an，bn是公比不相等的两个等比数列，cnanbn，证明数列cn 不是等比数列 【思路探究】 假设数列cn为等比数列，从而ccn1cn1推出矛 盾，证明原命题成立 【自主解答】 假设数列cn是等比数列，则 (anbn)2(an1bn1)(an1bn1)， an，bn是公比不
4、相等的两个等比数列，设公比是公比不相等的两个等比数列，设公比 分别为分别为 p，q，a2 n an 1an1，b2 n bn 1bn1. 代入代入并整理得：并整理得： 2anbnan 1bn1an1bn1anbn p q q p ，即，即 2p q q p. 当当 p，q 异号时，异号时，p q q p 0，与，与相矛盾；相矛盾； 当当 p，q 同号时，由于同号时，由于 pq，所以，所以p q q p 2，与，与相矛盾相矛盾 故数列故数列cn不是等比数列不是等比数列 1用反证法证明否定性命题的适用类型： 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为 否定性命题，此类问题的正面比
5、较模糊，而反面比较具体，适合使用 反证法 2反证法证明问题的一般步骤： 已知已知 f(x)axx 2 x1(a1)，证明方程 ，证明方程 f(x)0 没有负没有负 数根数根 【解【解】 假设假设 x0是是 f(x)0 的负数根，的负数根， 则则 x00，1c0. （ （1a）b 2 （1a）b 1 4 1 2. 同理同理（ （1b）c 2 1 2， ，（ （1c）a 2 1 2. 三式相加得三式相加得 （1a）b 2 （ （1b）c 2 （ （1c）a 2 3 2， ， 即即3 2 3 2，矛盾 ，矛盾 所以所以(1a)b，(1b)c，(1c)a 不能都大于不能都大于1 4. 应用反证法常见的
6、“结论词”与“反设词” 当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论 较复杂这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设 词”如下： 结论词结论词 反设词反设词 结论词结论词 反设词反设词 至少有一个至少有一个 一个也没有一个也没有 对所有对所有x 成立成立 存在某个存在某个 x0不成立不成立 至多有一个至多有一个 至少有两个至少有两个 对任意对任意x 不成立不成立 存在某个存在某个 x0成立成立 至少有至少有n个个 至多有至多有n1个个 p或或q 綈綈p且且綈綈q 至多有至多有n个个 至少有至少有n1个个 p且且q 綈綈p或或綈綈q (2014 临沂高二检测临沂高二检
7、测)若若 x，y 都是正实数，且都是正实数，且 x y2，求证，求证：1 x y 0， 所以所以 1x2y 且且 1y2x， 两式相加，得两式相加，得 2xy2x2y， 所以所以 xy2. 这与已知这与已知 xy2 矛盾矛盾 故故1 x y 1，这与2x1x21矛盾； 若x1x2f(m)，即00，矛盾； 若n0， abc0与abc0矛盾， 假设不成立，原命题成立， 即a、b、c中至少有一个大于0. 【思路探究】 否定性命题，用反证法证明 已知三个正数已知三个正数 a， b， c 成等比数列， 但不成等差数列，成等比数列， 但不成等差数列， 求证：求证： a， b， c不成等差数列不成等差数列
8、【自主解答】【自主解答】 假设假设 a， b， c成等差数列， 则有成等差数列， 则有 a c2 b. ac2 ac4b. 又又 a，b，c 成等比数列，成等比数列，b2ac，即，即 b ac. ac2 ac4 ac. ac2 ac0 即即( a c)20. a c从而从而 abc. a，b，c 是等差数列，这与已知中是等差数列，这与已知中“a，b，c 不成不成 等差数列等差数列”相矛盾，原假设错误，故相矛盾，原假设错误，故 a， b， c不成等不成等 差数列差数列 应用反证法证明数学命题的一般步骤： (1)反设：假设所要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)归谬：由“反设”出发，通
9、过正确的推理，导出矛盾与已知条 件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； (3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既 然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立 运用反证法的关键是导出矛盾 证明证明 2， 3， 5不能为同一等差数列的三项不能为同一等差数列的三项 【证明】【证明】 假设假设 2， 3， 5为同一等差数列的三项，为同一等差数列的三项， 则存在整数则存在整数 m，n 满足满足 3 2md， 5 2nd， nm 得：得： 3n 5m 2(nm)两边平两边平 方得：方得：3n25m22 15mn2(nm)2，左边为无理数，左边为无理数， 右边为有理数， 且有理数右边为有理数， 且有理数无理数， 所以， 假设不正确 即无理数， 所以， 假设不正确 即 2， 3， 5不能为同一等差数列的三项不能为同一等差数列的三项
