2022新人教版九年级上册《数学》复习专题：《圆》易错点提示与技巧分类梳理.docx

1、九年级数学上册圆易错点提示与技巧分类梳理(本资料所选用例题均来自各地历年中考试卷，例题不拘难易，只求阐述相关知识点)一、圆的定义1.易错提示：l 圆是圆周，是曲线，而不是指圆面。2.技巧：（1）圆心和半径是构成圆的两个重要元素，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。（2）圆上各点到圆心的距离都等于半径；在平面内，到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上。二、弦与直径易错提示：l 弦与直径的关系：直径是过圆心的弦，凡是直径都是弦，但弦不一定是直径，因此，在提到“弦”时，如果没有特殊说明，不要忘记直径这种特殊的弦。（直径是圆中最长的弦）三、弧和半圆1.易错提示：l 半圆是弧，但弧不一定是半圆。2.技巧：

2、（1）优弧和半圆通常用三个字母表示，劣弧通常用两个字母表示。（2）知道弧的两个端点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论。（3）由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。同一条弦分别与所对的优弧、劣弧组成两个不同的弓形。四、等圆、等弧易错提示：l 等弧只能出现在同圆或等圆之中，等弧的长度相等，但长度相等的弧不一定是等弧。五、圆的对称性1.易错提示：l 不能说“圆的对称轴是直径”，因为直径是线段，对称轴是直线。（圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。）2.技巧： 圆有无数条对称轴；圆是旋转对称图形，它关于圆心有任意角的旋转对称性。六、垂径定理及其推论技巧： 一条直线如果具有：（1）经过

3、圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”。典例：如图，在O中，OC弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是 。解析：由已知，AB=4，OC=1，结合垂径定理得：BC=AB=2在RtOBC中，OB2=OC2+BC2=12+22=52则OB=七、圆心角及圆心角定理1.易错提示：l 运用圆心角定理时，应注意其成立的条件是“在同圆或等圆中”。l 由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧。2.技巧： 圆心角、弧、弦直接的关系可归纳为：在同圆或等圆中，两

4、个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么所对应的其余各组量也分别相等。八、圆周角及圆周角定理1.易错提示：l 圆周角必须具备两个特征：第一，顶点在圆上；第二，两边都与圆相交，如图，只有是圆周角。切记，同一条弧所对的圆周角有无数个。2.技巧：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。（2）圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”。（3）同弧指同一条弧，同一条会所对的圆周角有无数个，它们的度数都相等；等弧是指同一个圆中能重合的弧或等圆中能重合的弧。典例：如图，在O中，圆心角BOC=78，则圆周角BAC的大小为 。解析：根据圆周角定理，得BAC=BOC=78=39九

5、、圆内接四边形易错提示：l 并不是所有的四边形都存在外接圆，只有对角互补的四边形才存在外接圆。（圆内接四边形的对角互补）典例：如图，梯形ABCD内接于圆O，ADBC，BAD=49，则AOC的度数为 解析：由ADBC，BAD=49知B=18049=131由圆内接四边形的性质知D+B=180D=180B=180131=49由圆周角定理知AOC-2D=249=98十、点和圆的位置关系判断技巧：半径r，点到圆心的距离d(1)点C在圆外dr(2)点B在圆上d=r(3)点A在圆内dr十一、确定圆的条件和三角形的外接圆1.易错提示1：l “不在同一条直线上的三个点确定一个圆”，切记这里的“不在同一条直线上”

6、是前提，“确定一个圆”即应理解为“有且只有一个圆”。2.技巧： 过不在一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，事实上，三条线段的垂直平分线交于一点。3. 易错提示2：l 任意一个三角形都有外接圆，而且有且只有一个外接圆。典例：如图，O是ABC的外接圆，B=60，OPAC于点P，OP=2，则O的半径为（ ）A. 4 B.6 C.8 D.12解析：B=60AOC=2B=120又OPAC，POC=AOC=60OCP=30，OC=2OP= 4。故选A十二、直线与圆的位置关系技巧：判断直线和圆的位置关系的方法：（1）根据直线和圆的公共点个数。（2）根据圆心到直线的距离d与圆的半

7、径r的大小关系。直线l和O相交dr；如图1直线l和O相切d=r；如图2直线l和O相离dr；如图3典例：直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是 解析：当直线l和O相交时，圆心到直线的距离dr，因为d=6，所以r6十三、切线的判定定理1.易错提示：l 判定圆的切线时，必须有两个条件：（1）经过半径的外端；（2）垂直于这条半径。两者缺一不可。2.方法技巧： 要判定直线是圆的切线，常见的判定方法： 方法一：如果已知直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到一条半径，证明这条半径与已知直线垂直即可，可记做：“连半径，证垂直”。 方法二：如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点

8、，那么过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于半径即可，可记做：“作垂直，证半径”。典例：如图，在ABC中，ACB=90，D是边AB上的一点，且A=2DCB，E是BC上的一点，以EC为直径的O经过D点。（1）求证：AB是O的切线（2）若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长。解析：（1）证明：如图，连接OD,由圆周角定理，得DOB=2DCBA=2DCB，A=DOB又A+B=90，DOB+B=90DBO=90，ODAB，AB是O的切线。（2）如图，过点O作OMCD于点M，连接DE，OMCD，CM=DM又OC=OE，DE=2OM=2RtBDO中，BE=EO，DE=BO，BO=4，OD=OE=2由勾股

9、定理得BD=2十四、切线的性质定理1.易错提示：l 切线的判定定理与切线的性质定理的区别：切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用的；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用的，两者在使用时不要混淆。2.技巧： 有圆的切线时，常常连接圆心和切点得到切线垂直于半径，这是圆中常作的辅助线。典例：如图，P是O外的一点，PA是O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则O的周长为（ ）A.18cm B. 16cm C. 20cm D. 24cm解析：连接AO，PA是O的切线，OAP=90，AO2+PA2=PO2，AO=10（cm）O的周长为2AO=20cm。故选C。十五、切线长和

10、切线长定理定理应用技巧：如图, P为O外的一点，PA、PB是O的切线，A、B为切点，由切线长定理可得两个结论：PA=PB；APO=BPO。典例：如图，PA、PB是O的切线，A、B为切点，AC是O的直径，P=40，则BAC= 。解析：由切线长定理知PA=PB,PAB=PBA,PBA= =70，BAC=9070=20。十六、三角形的内切圆易错提示：l 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心，所以无论钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部。十七、圆和圆的位置关系1.判断方法：如果两圆的半径分别为r1和r2（r1r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，则两圆的位置关系如下表：两圆的位置关系

11、d与r1和r2之间的关系外离dr1+r2外切d=r1+r2相交r2-r1dr1+r2内切d= r2-r1内含dr2-r12.技巧：十八、正多边形和圆1.易错提示：l 各边相等的圆内接多边形是正多边形；但是各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形。2.技巧： 在解决正多边形的有关计算时，通过作正n边形的半径和边心距，把正多边形的有关计算转化到直角三角形中进行，利用勾股定理如R2=r2+(a)2，其中正多边形的半径为R，边心距为r，边长为a，即可完成一些特殊的正多边形的计算。典例：已知正六边形的边心距为，则它的周长是（ ）A.6 B.12 C.6 D.12解析：如图，在RtAOG中，OG=.

12、AOG=30AG=OA由勾股定理，得OA2=OG2+AG2即OA2=3+OA2，解得OA=2，AG=OA=1，AB=2AG=2，正六边形的周长为6AB=12十九、弧长公式方法技巧：（1）在弧长公式l=中有三个量l、n、R，已知其中的任意两个量，可求出第三个量。（2）若题目中没有明确给出精确度，可用含“”的数表示弧长。典例：如图，AB切O于点B，OA=2，OAB=30，弦BCOA，劣弧的弧长 （结果保留）解析：连接OB，OC，如图，AB切O于点B，OBAB，即OBA=90OAB=30，OA=2，OB=OA=1，AOB=60BCOA，AOB=OBC=60.又OC=OB，OBC为等边三角形，COB=60.的弧长l= = 。二十、扇形面积公式方法点拨：（1）S扇形 =和S扇形 =lR（l为弧长，R为半径），两个扇形面积公式在运用时，要根据题目条件灵活运用，无论选用哪个公式，R必须已知。（2）扇形的周长为l+2R。（3）弓形的面积：如图，S弓形= S扇形 SAOB典例：一个扇形的圆心角为120，半径为3，则这个扇形的面积为 。解析：由扇形面积公式S扇形 =得S扇形 = =3。二十一、圆锥的侧面积和全面积公式梳理：圆锥的侧面积为rl，圆锥的全面积为r(r+l)典例：已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积为 。解析：根据圆锥的侧面积公式，得S侧=rl=35=15cm2