2022新人教版九年级上册《数学》复习专题:《圆》易错点提示与技巧分类梳理.docx

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资源描述

1、九年级数学上册圆易错点提示与技巧分类梳理(本资料所选用例题均来自各地历年中考试卷,例题不拘难易,只求阐述相关知识点)一、圆的定义1.易错提示:l 圆是圆周,是曲线,而不是指圆面。2.技巧:(1)圆心和半径是构成圆的两个重要元素,圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。(2)圆上各点到圆心的距离都等于半径;在平面内,到圆心距离等于半径的点都在同一个圆上。二、弦与直径易错提示:l 弦与直径的关系:直径是过圆心的弦,凡是直径都是弦,但弦不一定是直径,因此,在提到“弦”时,如果没有特殊说明,不要忘记直径这种特殊的弦。(直径是圆中最长的弦)三、弧和半圆1.易错提示:l 半圆是弧,但弧不一定是半圆。2.技巧:

2、(1)优弧和半圆通常用三个字母表示,劣弧通常用两个字母表示。(2)知道弧的两个端点,不能判断它是优弧还是劣弧,需分情况讨论。(3)由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。同一条弦分别与所对的优弧、劣弧组成两个不同的弓形。四、等圆、等弧易错提示:l 等弧只能出现在同圆或等圆之中,等弧的长度相等,但长度相等的弧不一定是等弧。五、圆的对称性1.易错提示:l 不能说“圆的对称轴是直径”,因为直径是线段,对称轴是直线。(圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。)2.技巧: 圆有无数条对称轴;圆是旋转对称图形,它关于圆心有任意角的旋转对称性。六、垂径定理及其推论技巧: 一条直线如果具有:(1)经过

3、圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦(被平分的弦不是直径);(4)平分弦所对的优弧;(5)平分弦所对的劣弧。这五条中的任意两条,则必然具备其余的三条,简称“知二推三”。典例:如图,在O中,OC弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是 。解析:由已知,AB=4,OC=1,结合垂径定理得:BC=AB=2在RtOBC中,OB2=OC2+BC2=12+22=52则OB=七、圆心角及圆心角定理1.易错提示:l 运用圆心角定理时,应注意其成立的条件是“在同圆或等圆中”。l 由弦相等推出弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧。2.技巧: 圆心角、弧、弦直接的关系可归纳为:在同圆或等圆中,两

4、个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,那么所对应的其余各组量也分别相等。八、圆周角及圆周角定理1.易错提示:l 圆周角必须具备两个特征:第一,顶点在圆上;第二,两边都与圆相交,如图,只有是圆周角。切记,同一条弧所对的圆周角有无数个。2.技巧:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等。(2)圆周角定理成立的前提条件是“在同圆或等圆中”。(3)同弧指同一条弧,同一条会所对的圆周角有无数个,它们的度数都相等;等弧是指同一个圆中能重合的弧或等圆中能重合的弧。典例:如图,在O中,圆心角BOC=78,则圆周角BAC的大小为 。解析:根据圆周角定理,得BAC=BOC=78=39九

5、、圆内接四边形易错提示:l 并不是所有的四边形都存在外接圆,只有对角互补的四边形才存在外接圆。(圆内接四边形的对角互补)典例:如图,梯形ABCD内接于圆O,ADBC,BAD=49,则AOC的度数为 解析:由ADBC,BAD=49知B=18049=131由圆内接四边形的性质知D+B=180D=180B=180131=49由圆周角定理知AOC-2D=249=98十、点和圆的位置关系判断技巧:半径r,点到圆心的距离d(1)点C在圆外dr(2)点B在圆上d=r(3)点A在圆内dr十一、确定圆的条件和三角形的外接圆1.易错提示1:l “不在同一条直线上的三个点确定一个圆”,切记这里的“不在同一条直线上”

6、是前提,“确定一个圆”即应理解为“有且只有一个圆”。2.技巧: 过不在一条直线上的三个点作圆时,只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可,事实上,三条线段的垂直平分线交于一点。3. 易错提示2:l 任意一个三角形都有外接圆,而且有且只有一个外接圆。典例:如图,O是ABC的外接圆,B=60,OPAC于点P,OP=2,则O的半径为( )A. 4 B.6 C.8 D.12解析:B=60AOC=2B=120又OPAC,POC=AOC=60OCP=30,OC=2OP= 4。故选A十二、直线与圆的位置关系技巧:判断直线和圆的位置关系的方法:(1)根据直线和圆的公共点个数。(2)根据圆心到直线的距离d与圆的半

7、径r的大小关系。直线l和O相交dr;如图1直线l和O相切d=r;如图2直线l和O相离dr;如图3典例:直线l与半径为r的O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 解析:当直线l和O相交时,圆心到直线的距离dr,因为d=6,所以r6十三、切线的判定定理1.易错提示:l 判定圆的切线时,必须有两个条件:(1)经过半径的外端;(2)垂直于这条半径。两者缺一不可。2.方法技巧: 要判定直线是圆的切线,常见的判定方法: 方法一:如果已知直线过圆上一点,那么连接这点和圆心,得到一条半径,证明这条半径与已知直线垂直即可,可记做:“连半径,证垂直”。 方法二:如果已知条件中不知道直线与圆是否有公共点

8、,那么过圆心作直线的垂线段,证明垂线段等于半径即可,可记做:“作垂直,证半径”。典例:如图,在ABC中,ACB=90,D是边AB上的一点,且A=2DCB,E是BC上的一点,以EC为直径的O经过D点。(1)求证:AB是O的切线(2)若CD的弦心距为1,BE=EO,求BD的长。解析:(1)证明:如图,连接OD,由圆周角定理,得DOB=2DCBA=2DCB,A=DOB又A+B=90,DOB+B=90DBO=90,ODAB,AB是O的切线。(2)如图,过点O作OMCD于点M,连接DE,OMCD,CM=DM又OC=OE,DE=2OM=2RtBDO中,BE=EO,DE=BO,BO=4,OD=OE=2由勾股

9、定理得BD=2十四、切线的性质定理1.易错提示:l 切线的判定定理与切线的性质定理的区别:切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用的;切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用的,两者在使用时不要混淆。2.技巧: 有圆的切线时,常常连接圆心和切点得到切线垂直于半径,这是圆中常作的辅助线。典例:如图,P是O外的一点,PA是O的切线,PO=26cm,PA=24cm,则O的周长为( )A.18cm B. 16cm C. 20cm D. 24cm解析:连接AO,PA是O的切线,OAP=90,AO2+PA2=PO2,AO=10(cm)O的周长为2AO=20cm。故选C。十五、切线长和

10、切线长定理定理应用技巧:如图, P为O外的一点,PA、PB是O的切线,A、B为切点,由切线长定理可得两个结论:PA=PB;APO=BPO。典例:如图,PA、PB是O的切线,A、B为切点,AC是O的直径,P=40,则BAC= 。解析:由切线长定理知PA=PB,PAB=PBA,PBA= =70,BAC=9070=20。十六、三角形的内切圆易错提示:l 三角形的内切圆的圆心是三角形的内心,所以无论钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部。十七、圆和圆的位置关系1.判断方法:如果两圆的半径分别为r1和r2(r1r2),圆心距(两圆圆心的距离)为d,则两圆的位置关系如下表:两圆的位置关系

11、d与r1和r2之间的关系外离dr1+r2外切d=r1+r2相交r2-r1dr1+r2内切d= r2-r1内含dr2-r12.技巧:十八、正多边形和圆1.易错提示:l 各边相等的圆内接多边形是正多边形;但是各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形,如矩形。2.技巧: 在解决正多边形的有关计算时,通过作正n边形的半径和边心距,把正多边形的有关计算转化到直角三角形中进行,利用勾股定理如R2=r2+(a)2,其中正多边形的半径为R,边心距为r,边长为a,即可完成一些特殊的正多边形的计算。典例:已知正六边形的边心距为,则它的周长是( )A.6 B.12 C.6 D.12解析:如图,在RtAOG中,OG=.

12、AOG=30AG=OA由勾股定理,得OA2=OG2+AG2即OA2=3+OA2,解得OA=2,AG=OA=1,AB=2AG=2,正六边形的周长为6AB=12十九、弧长公式方法技巧:(1)在弧长公式l=中有三个量l、n、R,已知其中的任意两个量,可求出第三个量。(2)若题目中没有明确给出精确度,可用含“”的数表示弧长。典例:如图,AB切O于点B,OA=2,OAB=30,弦BCOA,劣弧的弧长 (结果保留)解析:连接OB,OC,如图,AB切O于点B,OBAB,即OBA=90OAB=30,OA=2,OB=OA=1,AOB=60BCOA,AOB=OBC=60.又OC=OB,OBC为等边三角形,COB=60.的弧长l= = 。二十、扇形面积公式方法点拨:(1)S扇形 =和S扇形 =lR(l为弧长,R为半径),两个扇形面积公式在运用时,要根据题目条件灵活运用,无论选用哪个公式,R必须已知。(2)扇形的周长为l+2R。(3)弓形的面积:如图,S弓形= S扇形 SAOB典例:一个扇形的圆心角为120,半径为3,则这个扇形的面积为 。解析:由扇形面积公式S扇形 =得S扇形 = =3。二十一、圆锥的侧面积和全面积公式梳理:圆锥的侧面积为rl,圆锥的全面积为r(r+l)典例:已知圆锥的底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的侧面积为 。解析:根据圆锥的侧面积公式,得S侧=rl=35=15cm2

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