1、第二章 数 列 2.3 等差数列的前n项和 (二) 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等 差数列的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根 据Sn求an. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 1.前n项和公式：Sn d 2n 2 . 2.等差数列前n项和的最值 知识梳理 自主学习 知识点一 等差数列前n项和及其最值 答案 na1n(n1) 2 d (1)在等差数列an中，当 a10，d0 时，Sn有 值，使 Sn取到最值 的 n 可由不等式组 an0， an10 确定； (a1d 2)n
2、 最大 当 a10，d0 时，Sn有 值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组 an0， an10 确定. (2)因为 Snd 2n 2 a1d 2 n，若 d0，则从二次函数的角度看：当 d0 时，Sn有 值；当 d0 时，Sn有 值；且 n 取最接近对称轴的 自然数时，Sn取到最值. 答案 最小 最小 最大 an (n1)， (n2). 知识点二 数列中an与Sn的关系 对任意数列an，Sn与an的关系可以表示为 答案 S1 SnSn1 思考 若Snn2n，则an_. 解析 n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n， 当n1时，a1S1121221， an2n. 解析答案 2n
3、知识点三 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从 而求和. 常见的拆项方法： 返回 答案 (1) 1 n(nk) ； (2) 1 nk n ； (3) 1 (2n1)(2n1) . 1 k( 1 n 1 nk) 1 k( nk n) 1 2( 1 2n1 1 2n1) 题型探究 重点突破 题型一 已知Sn求an 例1 已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2n23n，试判断数列an是 不是等差数列. 解析答案 反思与感悟 解 Sn2n23n，当n2时， anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1. 当n1时，a1S15411. n1时，适合an4n1
4、. 数列的通项公式是an4n1. 故数列an是等差数列. 跟踪训练1 本例中，若Sn2n23n1，试判断该数列是不是等差数列. an 6， (n1)， 4n1 (n2)， 解析答案 解 Sn2n23n1.n2时， anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1. 当n1时，a1S16411. 故数列an不是等差数列. 题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式； 解 由a19，a4a70， 得a13da16d0，解得d2， ana1(n1) d112n. 解析答案 (2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值？ 解 方法一 a19，d2， Sn9nn(n1) 2 (2)n210n(n5)225， 当n5时，Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a19，d20，n6时，anS7S5，有下列四个命题： d0；S120，d0， an0， an10 时，Sn取得最大值；当 a10， an0， an10 时，Sn取得最小值.
