1、第二章 数 列 2.3 等差数列的前n项和 (二) 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等 差数列的一些性质. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系,能根 据Sn求an. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 1.前n项和公式:Sn d 2n 2 . 2.等差数列前n项和的最值 知识梳理 自主学习 知识点一 等差数列前n项和及其最值 答案 na1n(n1) 2 d (1)在等差数列an中,当 a10,d0 时,Sn有 值,使 Sn取到最值 的 n 可由不等式组 an0, an10 确定; (a1d 2)n
2、 最大 当 a10,d0 时,Sn有 值,使 Sn取到最值的 n 可由不等式组 an0, an10 确定. (2)因为 Snd 2n 2 a1d 2 n,若 d0,则从二次函数的角度看:当 d0 时,Sn有 值;当 d0 时,Sn有 值;且 n 取最接近对称轴的 自然数时,Sn取到最值. 答案 最小 最小 最大 an (n1), (n2). 知识点二 数列中an与Sn的关系 对任意数列an,Sn与an的关系可以表示为 答案 S1 SnSn1 思考 若Snn2n,则an_. 解析 n2时,anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n, 当n1时,a1S1121221, an2n. 解析答案 2n
3、知识点三 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从 而求和. 常见的拆项方法: 返回 答案 (1) 1 n(nk) ; (2) 1 nk n ; (3) 1 (2n1)(2n1) . 1 k( 1 n 1 nk) 1 k( nk n) 1 2( 1 2n1 1 2n1) 题型探究 重点突破 题型一 已知Sn求an 例1 已知数列an的前n项和为Sn,若Sn2n23n,试判断数列an是 不是等差数列. 解析答案 反思与感悟 解 Sn2n23n,当n2时, anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n1. 当n1时,a1S15411. n1时,适合an4n1
4、. 数列的通项公式是an4n1. 故数列an是等差数列. 跟踪训练1 本例中,若Sn2n23n1,试判断该数列是不是等差数列. an 6, (n1), 4n1 (n2), 解析答案 解 Sn2n23n1.n2时, anSnSn12n23n12(n1)23(n1)14n1. 当n1时,a1S16411. 故数列an不是等差数列. 题型二 等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列an中,若a125,且S9S17,求Sn的最大值. 解析答案 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知等差数列an中,a19,a4a70. (1)求数列an的通项公式; 解 由a19,a4a70, 得a13da16d0,解得d2, ana1(n1) d112n. 解析答案 (2)当n为何值时,数列an的前n项和取得最大值? 解 方法一 a19,d2, Sn9nn(n1) 2 (2)n210n(n5)225, 当n5时,Sn取得最大值. 方法二 由(1)知a19,d20,n6时,anS7S5,有下列四个命题: d0;S120,d0, an0, an10 时,Sn取得最大值;当 a10, an0, an10 时,Sn取得最小值.