1、数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 人教版人教版A A版版高中数学必修高中数学必修五五 配套配套全全册完整册完整课件课件 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第 一 章 解三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动
2、 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应 用 2能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1如图，在RtABC中，A60，斜边c4， 问题1 ABC的其他边和角为多少？ 提示 C90 ，B30 ，a2 3，b2. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测
3、评 知能提升 问题 2 试计算 a sin A， b sin B， c sin C的值，三者有何关系？ 提示 a sin A 2 3 sin 60 4， b sin B 2 sin 30 4， c sin C 4 sin 90 4，三者的值相等 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2如图，ABC为锐角三角形作出BC边上的高AD. 问题1 b sin B与 c sin C相等吗？ 提示 由ADcsin B，ADbsin C知 csin Bbsin C. b sin B c sin C. 数数 学学 必修必修5 第一章
4、第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 问题2 a sin A与这两者也相等吗？ 提示 相等 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相 等 (2)表达式：_. 正弦定理 a sin A b sin B c sin C 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1正弦定理的变形公式 正弦定理以下变形，可直接应用 (1)asin Bbsin A；asi
5、n Ccsin A；bsin Ccsin B(交叉相 乘)； (2)absin A sin B ；sin Bbsin A a ； (3) a sin A b sin B c sin C abc sin Asin Bsin C 2R(R为 ABC外接圆的半径)； (4)abcsin Asin Bsin C. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a， b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的 过程叫做解三角形 (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三
6、角形的问题： 已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一 角； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的 对角，进而可求其他的边和角 解三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2利用正弦定理解三角形的步骤： (1)两角与一边 三角形 内角和定理 第三 个角 正弦定理 另两边 (2) 两边与其中 一边的对角 正弦定理另一边对角 的正弦值 确定此角与其 他的边和角 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3利用正弦定理解三角形的
7、注意事项： (1)要结合平面几何中“大边对大角，大角对大边”及三角 形内角和定理去考虑问题 (2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏解或增解，有时 常结合几何作图进行判断 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1有关正弦定理的叙述：正弦定理只适用于锐角三角 形；正弦定理不适用于直角三角形；在某一确定的三角形 中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；在ABC中，sin Asin Bsin Cabc. 其中正确的个数是( ) A1 B2 C3 D4 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破
8、 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 正弦定理适用于任意三角形，故均不正确； 由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦 的比就确定了，故正确；由比例性质和正弦定理可推知正 确 答案： B 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2在ABC中，下列式子与sin A a 的值相等的是( ) Ab c Bsin B sin A Csin C c D c sin C 解析： 由正弦定理得 a sin A c sin C， 所以sin A a sin C c ，故选C. 答案： C 数数 学学 必修必修
9、5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知ABC中，a2，b3，B60 ，那么角A等 于_ 解析： 由正弦定理知 a sin A b sin B， 得 2 sin A 3 sin 60 ，解得sin A 2 2 . 又a 2b 3， 所以AB，所以A45 . 答案： 45 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4根据下列条件，解ABC. (1)已知b4，c8，B30，求C，A，a； (2)在ABC中，B45，C75，b2，求a，c，A. 解析： (1)由正弦
10、定理得sin Cc sin B b 8sin 30 4 1. 30 C150 ，C90 ， 从而A180 (BC)60 ， a c2b24 3. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)ABC180 ， A180 (BC) 180 (75 45 )60 . 又 a sin A b sin B， absin A sin B2 sin 60 sin 45 6， 同理，csin C sin Bb sin 75 sin 45 2 31. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究
11、 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知两角及一边解三角形 在ABC中，已知A45，B30，c10， 求b. 思路点拨 解决本题可先利用三角形内角和定理求C， 再利用正弦定理求b. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 ABC180 ， C105 . b sin B c sin C， sin 105 sin(45 60 ) 2 2 3 2 1 2 6 2 4 ， bc sin
12、B sin C 10sin 30 sin 105 5( 6 2) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 本题属于已知两角与一边求解三角形的类 型，此类问题的基本解法是： (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三 边； (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理 求第三个角，再由正弦定理求另外两边 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1在ABC中，已知a8，B
13、60，C75，求A， b，c. 解析： A180 (BC)180 (60 75 )45 . 由 b sin B a sin A得， basin B sin A 8sin 60 sin 45 4 6， 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 由 a sin A c sin C得， casin C sin A 8sin 75 sin 45 8 2 6 4 2 2 4( 31) A45 ，b4 6，c4( 31) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提
14、升 已知ABC中，a23 ，b6，A30 ，求B，C 及c. 已知两边及一边的对角解三角形 思路点拨 由题目已知条件，选用正弦定理求出另一边 对角的正弦，然后求解其他边、角 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 a2 3，b6，ab，A30 bsin A， 所以本题有两解. 4分 由正弦定理得： sin Bbsin A a 6sin 30 2 3 3 2 ， 故B60 或120 . 6分 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 当B
15、60 时，C90 ， c a2b24 3； 8分 当B120 时，C30 ，ca2 3. 10分 所以B60 ，C90 ，c4 3或 B120 ，C30 ，c2 3. 12分 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 时，首先用正弦定理求出另一边对角的正弦值，再利用三角形 中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角当已知大边对的 角时，可判断另一边所对的角为锐角，当已知小边对的角时， 则不能判断 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂
16、互动 高效测评 知能提升 2在ABC中，若c 6，C 3，a2，求A，B，b. 解析： 由 a sin A c sin C，得sin A asin C c 2 2 . A 4或A 3 4. 又ca，CA.只能取A 4， B 3 4 5 12，b csin B sin C 6 sin5 12 sin 3 31. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 判断三角形的形状 在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，试判断 ABC的形状 思路点拨 已知等式中既有边又有角，可以利用正弦定 理把边化为角，再利用角之间的关系判断
17、ABC的形状 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 由已知得 a2sin B cos B b2sin A cos A ，由正弦定理的推广得 a2Rsin A，b2Rsin B(R为ABC的外接圆的半径)， 4R 2sin2Asin B cos B 4R 2sin2Bsin A cos A ， sin Acos Asin Bcos B， sin 2Asin 2B，又A，B为三角形的内角， 2A2B或2A2B，即AB或AB 2. ABC为等腰三角形或直角三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角
18、形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关 系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正 弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的 关系或大小，从而作出准确判断 (2)判断三角形的形状，主要看其是不是正三角形、等腰三 角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意 “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3在ABC中，若bacos C，试判断该三角形的形状 解析： bac
19、os C， a sin A b sin B2R.(2R为ABC外接 圆直径) sin Bsin A cos C. B(AC)，sin(AC)sin A cos C. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 即 sin Acos Ccos Asin Csin A cos C， cos Asin C0. A，C(0，)，cos A0，A 2， ABC 为直角三角形 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 判断三角形解的情况 在ABC中，分别根据所给
20、条件指出解的个数 (1)a4，b5，A30；(2)a5，b4，A90； 思路点拨 画出示意图结合大边对大角，判定解的个 数 (3)a 3，b 2，B120 ；(4)a 3，b 6，A60 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)ab，bsin A5 2b，A90 ， AB. 本题有一解，如图(2) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)B90 ，ab， 本题无解，如图(3) (4)ab，bsin A 6 3 2 3 2
21、 2 . absin A， 本题无解，如图(4) 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)三角形解的情况 已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、一解 或无解在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 absin A ab bsin Aab ab ab 解的个数 一解 两解 无解 一解 无解 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)在三角形中，abAB，而由正弦定理可得absin A
22、sin B所以，在三角形中，sin Asin BAB.因此判断三角 形解的个数问题也可以用上述结论 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解，有解的作出解答 (1)a7，b8，A105 ； (2)a10，b20，A80 ； (3)b10，c5 6，C60 . 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)a7，b8，a90 ，本题无解 (2)a10，b20，ab，A80 2
23、0 sin 60 10 3， ab sin A，本题无解 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)b10，c5 6，bc，C60 a知BA. B60 或120 . (1)当B60 时，C180 AB180 30 60 90 . 在RtABC中，C90 ，a2 3，b6，c4 3， ac2 34 324. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)当B120 时，C180 AB180 30 120 30 ， AC，则有ac2 3. ac
24、2 32 312. 数数 学学 必修必修5 第一章第一章 解三角形解三角形 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！ 1.1.2 余弦定理 自主学习 新知突破 1了解向量法推导余弦定理的过程 2能利用余弦定理求三角形中的边角问 题 3能利用正、余弦定理解决综合问题 在ABC中，AB3，BC2，B60. 问题1 ABC确定吗？ 提示 确定 问题2 能否用正弦定理解上述三角形？ 提示 不能 问题3 你会利用向量求边AC吗？ 提示 会|BA |3，|BC |2，BA ，BC 60 . AC 2(BC BA
25、)2 BC 22BC BA BA 2 22223cos 60 32 7. |AC | 7，即边AC为 7. 三角形中任何一边的平方等于其他两边的 平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积 的两倍 即a2 _ ， b2 _ ， c2 _. 余弦定理 b2c22bccos A a2c22accos B a2b22abcos C cos A_， cos B _ ， cos C _. 公式推论 b2c2a2 2bc a2c2b2 2ac a2b2c2 2ab 应用余弦定理及其推论，并结合正弦定 理，可以解决的三角形问题有： (1)已知两边和它们的夹角解三角形； (2)已知三角形的三边解三角形 解三角形
26、 1利用余弦定理解三角形的步骤： (1) 两边和它们的夹角 余弦定理 另一边 正弦定理 余弦定理推论 另两角 2利用余弦定理解三角形的注意事项： (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的 量，它们分别是三角形的三边和一个角，要充 分利用方程思想“知三求一” (2)已知三边及一角求另两角时，可利用余 弦定理的推论也可利用正弦定理求解利用余 弦定理的推论求解运算较复杂，但较直接；利 用正弦定理求解比较方便，但需注意角的范 围，这时可结合“大边对大角，大角对大边” 的法则或图形帮助判断，尽可能减少出错的机 会 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a 1，c4 2，B45 ，则sin
27、 C等于( ) A 4 41 B4 5 C 4 25 D4 41 41 解析： 由余弦定理得 b2a2c22accos B1328 2 2 2 25，b5. cos Ca 2b2c2 2ab 3 5， sin C 1cos2C4 5. 答案： B 2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 a2b2c2 2ac，则角B的大小是( ) A45 B60 C90 D135 答案： A 解析： a2b2c2 2ac， a2c2b2 2ac， 由余弦定理得 cos Ba 2c2b2 2ac 2ac 2ac 2 2 ， 又0 Bb，所以CB，所以C60 或C120 . 当C60 时，A90 ，
28、此时a b2c26； 当C120 时，A30 ，此时ab3. 合作探究 课堂互动 已知两边及一角解三角形 在ABC中，已知a 3，b 2，B45 ，解此 三角形 思路点拨 方法一： 由余弦定理 列方程求c 由余弦定理的 推论求A，C 方法二： 由正弦定理求角A 继而求C 由余弦定理求边c或 由正弦定理求边c 边听边记 方法一：由余弦定理知 b2a2c22accos B 23c22 3 2 2 c， 即c2 6c10， 解得c 6 2 2 或c 6 2 2 ， 当c 6 2 2 时，由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 2 6 2 2 23 2 2 6 2 2 1 2. 0 A180
29、，A60 ，C75 . 当c 6 2 2 时，由余弦定理得 cos Ab 2c2a2 2bc 2 6 2 2 23 2 2 6 2 2 1 2. 0 Ab，AB，A60 或120 . 综上，A60 时，得C75 . 由余弦定理得c2a2b22abcos C 322 6 6 2 4 2 3， c 2 3 6 2 2 . 或用正弦定理求边c，由 c sin C b sin B得 cbsin C sin B 2 sin 75 sin 45 2 6 2 4 2 2 6 2 2 . 当A120 时，得C15 ，同理可求c 6 2 2 ， 故A60 时，C75 ，c 6 2 2 或A120 时， C15
30、，c 6 2 2 . 已知两边及一边对角解三角形的 方法及注意事项 (1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余 弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪 个定理 (2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用 余弦定理求角若使用正弦定理求角，有时要 讨论解的个数问题 1在ABC中，已知b3，c33 ，B30 ，求角A， 角C和边a. 解析： 方法一：由余弦定理 b2a2c22accos B，得 32 a2(3 3)22a3 3cos 30 ，a29a180，得 a3 或 6.当 a3 时，A30 ，C120 . 当 a6 时，由正弦定理得 sin Aasin B b 61 2 3 1. A90 ，C6
31、0 . 方法二：由bcsin 30 3 31 2 3 3 2 知本 题有两解由正弦定理得sin Ccsin B b 3 31 2 3 3 2 ， C60 或120 .当C60 时，A90 ，由勾股定理得 a b2c2 323 326. 当C120 时，A30 ，ABC为等腰三角形，a3. 已知三边(或三边关系)解三角形 在ABC中，已知a23，b6，c33， 解此三角形 思路点拨 方法一： 余弦定理的推论 相应角的余弦值 确定角的大小 方法二：余弦定理的推论一个角的余弦值 确定角的大 小及正弦值 正弦定理确定另外两角的大小 解析： 方法一：由余弦定理的推论得 cos Ab 2c2a2 2bc
32、6 23 322 32 2 63 3 2 2 ， A45 .同理可求B30 ，故C180 AB180 45 30 105 . 方法二：由余弦定理的推论得 cos Ab 2c2a2 2bc 6 23 322 32 2 63 3 2 2 ， A45 .由正弦定理 a sin A b sin B知 2 3 sin 45 6 sin B， 得 sin B 6 sin 45 2 3 1 2. 因 ab 知 AB，B30 . 故 C180 AB180 45 30 105 . 已知三边解三角形的方法及注意 事项 (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值， 确定角的大小 (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦
33、值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的 正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法 则确定角的大小，最后由三角形内角和为 180确定第三个角的大小 (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦 值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角， 思路清晰，结果唯一 2在ABC中，若sin Asin Bsin C 578，则B的大小是_ 解析： 由正弦定理知：a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C. 设sin A5k，sin B7k，sin C8k， a10Rk，b14Rk，c16Rk， abc578， cos B256449 258 1 2，B 3. 答案： 3 利用余弦定理判断三角形的形状
34、 在ABC中，a，b，c分别表示角A， B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2 b2)sin(AB)，判断三角形的形状 思路点拨 已知等式 化简 正弦定理余弦定理 边角互化统一成边的关系整理得边的特殊关系 判定三角形形状 规范解答 已知等式可化为a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cos Asin B2b2cos Bsin A 3分 由正、余弦定理将角转化为边的关系得 a2b b2c2a2 2bc b2a a2c2b2 2ac ， 6分 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， 即(a2b2)(a2b2c2)0， 8分 ab或a2b2c2，
35、 10分 故ABC为等腰三角形或直角三角形. 12分 利用余弦定理判断三角形形状的 方法及注意事项 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把 已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配 方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形 状 (2)统一成边的关系后，注意等式两边不要 轻易约分，否则可能会出现漏解 3(1)三角形的三边长分别为4,6,8，则此三 角形为( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不存在 (2)在ABC中，已知(abc)(bca) 3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的 形状 解析： (1)设长为8的边所对的角为， 则cos 4 26282 24
36、6 1 40， a0， 2a10， 解得a1 2， 2a1是三边长的最大值，设其所对角为. 2a1，a,2a1是钝角三角形的三边， cos 0， 即a 22a122a12 2a2a1 aa8 2a2a10， 解得1 2a8， a的取值范围是1 2a0， a0， 2a10， 解得a1 2，此时2a1最大 要使2a1，a,2a1表示三角形的三边， 还需a(2a1)2a1， 解得a2. 设最长边 2a1 所对的角为 ，则 cos a 22a122a12 2a2a1 aa8 2a2a10， 解得1 2a8. 综上，a 的取值范围是 2a8. 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观
37、看！谢谢观看！ 12 应用举例 第1课时 正、余弦定理在实际应用中的应用 自主学习 新知突破 1熟练掌握正、余弦定理 2能够运用正、余弦定理等知识和方法求 解距离、高度和角度等问题 如图所示，为了在一条河上建一座桥，施 工前先要在河两岸打上两个桥位桩A，B，若要 测算A，B两点之间的距离，需要测量人员在岸 边定出基线BC，现测得BC50米，ABC 105，BCA45，则A，B两点的距离为 _米 提示 在ABC中，BC50米，ABC105 ，BCA 45 ，BAC180 ABCBCA180 105 45 30 . 由正弦定理得 AB sinBCA BC sinBAC， ABBCsinBCA si
38、nBAC 50sin 45 sin 30 50 2 2 1 2 50 2(米) (1)基线：在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做_ 测量中的基本术语 (2)仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平 视线和目标视线的夹角，目标视线在水平 视线上方时叫_，目标视线在水平视线 下方时叫_，如图1. 基线 仰角 俯角 (3)方位角和方向角 从_方向_转到目标方向线所成 的角叫_.如图2，目标A的方位角为 135. 从_方向线到目标方向线所成的小于 90的水平角叫_，如图3，北偏东 30，南偏东45. 正北 顺时针 方位角 指定 方向角 (4)视角 观察物体的两端视线张开的_如图4. 角度 (
39、5)坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫_，坡面的铅直高度与 水平宽度之比叫_ ih l .如图5. 坡角 坡度 测量中的有关概念、名词、术语的应用 (1)在测量过程中，要根据实际需要选取合 适的基线长度，目的是使测量具有较高的精确 度一般来说，基线越长，测量的精确度越 高 (2)准确了解测量中的有关概念、名词、术 语，方能理解实际问题的题意，根据题意作出 示意图 (3)方位角的范围是0360，方向角 的范围是090. 1学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得 AC的长度为4 m，A30 ，则其跨度AB的长为( ) A12 m B8 m C3 3 m D4 3 m 解析： 由正弦定理
40、得 AB sin C AC sin B， 由题意得C120 ，B30 ， ABAC sin C sin B 4sin 120 sin 30 4 3(m) 答案： D 2在静水中划船的速度是每分钟40 m，水 流的速度是每分钟20 m，如果船从岸边A处出 发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船 前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方 向所成的角为( ) A15 B30 C45 D60 解析： 如图， sinCAB20 40 1 2， CAB30 ，故选B. 答案： B 3张帅在操场上某点B处测得学校的科技大楼AE的顶端A 的仰角为，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2 继续前进
41、103 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则等于 _ 解析： 画出示意图，在ABE中， ACBC30 m，CDAD10 3 m， cosACDcos 2CD 2AC2AD2 2CD AC 10 3 230210 32 210 330 3 2 15 . 答案： 15 4甲船在A处观察到乙船在它的北偏东 60方向的B处，两船相距a海里，乙船正向北 行驶，若甲船是乙船速度的倍，问甲船应取什 么方向前进才能在最短时间内追上乙船？在追 赶过程中乙船行驶了多少海里？ 解析： 设甲沿直线与乙船同时到C点， 则A，B，C构成一个ABC， 如图，设乙船速度为v， 则甲船速度为 3v，到达C处用时为t. 由题意BC
42、vt，AC 3vt，ABC120 . 在ABC中，由余弦定理 AC2AB2BC22AB BC cos 120 ， 3v2t2a2v2t2avt. 2v2t2avta20， 解得vta 2(舍)或vta. BCa， 在ABC中ABBCa，BACACB30 . 答：甲船应取北偏东30 的方向去追乙船，在此过程中乙 船行驶了a海里 合作探究 课堂互动 测量距离问题 在某次军事演习中，红方为 了准确分析战场形势，在两个相距为 3a 2 的军事基地C和D测得蓝方两支精锐 部队分别在A处和B处，且ADB 30 ，BDC30 ，DCA60 ，ACB45 ，如图所示， 求蓝方这两支精锐部队的距离 思路点拨 方
43、法一： ADC得AD BDC得BD 解ABD得 AB 方法二： ADC得AC BDC得BC 解ABC得AB 边听边记 方法一：ADCADBCDB60 ， 又ACD60 ，DAC60 ， ADCDAC 3 2 a. 在BCD中，DBC180 30 105 45 ， DB sinBCD CD sinDBC， BDCD sinBCD sinDBC 3 2 a 6 2 4 2 2 3 3 4 a. 在ADB中， AB2AD2BD22 AD BD cos ADB 3 4a 2 3 3 4 a 22 3 2 a 3 3 4 a 3 2 3 8a 2， AB 6 4 a， 蓝方这两支精锐部队的距离为 6 4
44、 a. 方法二：同方法一，得ADDCAC 3 2 a. 在BCD中，DBC45 ， BC sin 30 CD sin 45 ，BC 6 4 a， 在ABC中，AB2AC2BC22AC BC cos 45 3 4a 23 8a 22 3 2 a 6 4 a 2 2 3 8a 2， AB 6 4 a，蓝方这两支精锐部队的距离为 6 4 a. 求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确 定所求量所在的三角形若其他量已知，则直 接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定 三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都 可用，就选择更便于计算的定理 1如图，货轮在海上以 50海
45、里/时的速度沿方位角(从 指北方向顺时针转到目标方 向线的水平角)为155的方 向航行为了确定船的位 置，在B点处观测到灯塔A的 方位角为125.半小时后， 货轮到达C处，观测到灯塔A 的方位角为80.求此时货轮 与灯塔之间的距离(得数保 留最简根号) 解析： ABC155 125 30 ， ACB80 (180 155 )105 . A180 30 105 45 ， 在ABC中，由正弦定理可得 |BC| sin A |AC| sinABC， 5030 60 2 2 |AC| 1 2 ，解得|AC|25 2 2. 此时货轮与灯塔之间的距离为25 2 2海里 测量高度问题 如图，测量河对岸的塔高
46、AB时，可 以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D. 现测得BCD，BDC，CDs，并在 点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB. 思路点拨 求CBD利用正弦定理求BC 在ABC中求AB 解析： 在BCD中，BCD，BDC， CBD180 ()， BC sin s sin180 ，即 BC sin s sin . BC sin sin s. 在ABC中，由于ABC90 ， AB BCtan ， ABBC tan sin tan sin s. 测量高度时需在与地面垂直的竖 直平面内构造三角形，依条件结合正弦定理和 余弦定理来解解决测量高度的问题时，常出 现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别及联 系测量底部不能到达的建筑物的高度问题， 一般要转化为直角三角形模型，但在某些情况 下，仍需根据正、余弦定理解决 2如图所示，在地面上有一旗杆O
