1、数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 第2课时 等比数列的性质 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 自主学习 新知突破 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1了解等比数列的性质的由来 2掌握等比数列的性质并能综合运用 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等比数列的性质 若数列an是公比为q的等比数列，则
2、(1)anamqn m(m，nN*)； (2)若mnpq2k(m，n，p，q，kN*)， 则am anap aqa2 k； (3)c an(c是非零常数)是公比为q的等比数列； 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (4)|an|是公比为|q|的等比数列； (5)am n(m是整数常数)是公比为q m的等比数列 特别地，若数列an是正项等比数列时，数列a m n (m是实 数常数)是公比为qm的等比数列； (6)若an，bn分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 an bn是公比为q1 q2的等比数列 数数 学学 必修必
3、修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等差数列与等比数列的联系与区别 等差数列 等比数列 不同 点 (1)强调每一项与前一项的 差； (2)a1和d可以为0； (3)任意两实数的等差中项 唯一； (4)当mnpq(m，n， p，qN*)时amanapaq (1)强调每一项与前一项的 比； (2)a1与q均不为0； (3)两同号实数(不为0)的等 比中项有两个值； (4)当mnpq(m，n， p，qN*)时amanapaq 相同 点 (1)都强调每一项与其前一项的关系；(2)结果都必须是 常数；(3)数列都可以由a1，d或a1，q确定 数数
4、学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1将公比为q的等比数列an依次取相邻两项的乘积组成 新的数列a1a2，a2a3，a3a4，此数列是( ) A公比为q的等比数列 B公比为q2的等比数列 C公比为q3的等比数列 D不一定是等比数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 由于 anan1 an1an an an1 an1 an q qq2，n2且n N*， anan1是以q2为公比的等比数列 故选B. 答案： B 数数 学学 必修必修5 第二章第二章
5、 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2等比数列an中，a7 a116，a4a145，则 a20 a10 等于 ( ) A2 3或 3 2 B2 3 C3 2 D1 3或 1 2 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 数列an为等比数列， a4 a14a7 a116. 又a4a145， a42， a143， 或 a43， a142. a14 a4 q103 2或 a14 a4 q102 3， a20 a10q 103 2或 2 3.故选A. 答案： A 数数 学学 必修必修5 第
6、二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3在等比数列an中，各项都是正数，a6a10a3a541， a4a84，则a4a8_. 答案： 7 解析： a6a10a2 8，a3a5a 2 4， a2 4a 2 841， 又a4a84， (a4a8)2a2 4a 2 82a4a841849， 数列各项都是正数，a4a87. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 4若an为等比数列，且a1a964，a3a720，求a11. 解析： an为等比数列， a1 a9a3 a764，又a3a72
7、0， a34， a716 或 a316， a74. 当a34，a716时，a3a7a3a3q420， 1q45，q44， 当a316，a74时，a3a7a3a3q420， 1q45 4，q 41 4， a11a1q10a3q864或1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 合作探究 课堂互动 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等比数列的性质 已知数列an是等比数列， (1)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式； (2)若a2a6
8、a101，求a3a9的值 思路点拨 运用等比数列下标与项的运算关系，也可以 利用通项公式计算 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 边听边记 (1)a2 2a1a3，代入已知，得a 3 28， a22. 设前三项为2 q，2,2q，则有 2 q22q7. 整理得，2q25q20，q2或q1 2. a11， q2， 或 a14， q1 2. an2n 1或a n4 1 2 n123n. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)方法一：由等比数列的性质
9、， 有a2a10a3a9a2 6， 由a2 a6 a101，得a3 61， a61， a3a9a2 61. 方法二：由等比数列通项公式，得 a2a6a10(a1q)(a1q5)(a1q9)a3 1 q 15(a 1q 5)31， a1q51， a3a9(a1q2)(a1q8)(a1q5)21. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等比数列常用性质 (1)若mnpq(m，n，p，qN*)， 则amanapaq. 特例：若mn2p(m，n，pN*)，则am ana2 p. (2) an amq nm(m，nN*) 数数 学学
10、 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (3)在等比数列an中，每隔k项取出一项，取出的项，按 原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列 (4)数列an为等比数列，则数列an(为不等于0的常数) 与 1 an 仍然成等比数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 1(1)在等比数列an中，若a22，a612，则a10 _. (2)在等比数列an中，若a72，则此数列的前13项之 积等于_ 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探
11、究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)方法一：设an的公比为q， 则 a1q2， a1q512， 解得q46， a10a1q9a1q (q4)223672. 方法二：an是等比数列， a2 6a2 a10， 于是a10a 2 6 a2 122 2 144 2 72. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由于an是等比数列， a1a13a2a12a3a11a4a10a5a9a6a8a2 7， a1a2a3a13(a2 7) 6 a 7a 13 7 ， 而a72. a1a2a3a13(2)13213. 答案：
12、 (1)72 (2)213 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等比数列中项的设法 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的 平方和为91，求这三个数 思路点拨 根据等比数列的定义可以依次设三个数为 a，aq，aq2或为 a q ，a，aq，然后根据给出的条件列出方程，解 方程组，便可得出结论 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： 方法一：设三个数依次为a，aq，aq2， 由题意知 a aq aq227， a2a2q2a2q491， aq
13、327， a21q2q491， 即 aq3， a21q2q491， 解得 q2 1q2q4 9 91， 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 得9q482q290，即得q29或q21 9， q 3或q 1 3， 若q3，则a11；若q3，则a11； 若q1 3，则a19；若q 1 3，则a19. 故这三个数为：1,3,9或1,3，9或9,3,1或9，3，1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 方法二：设这三个数分别为a q，a，aq. a q a
14、aq27 a2 q2a 2a2q291 a3， a2 1 q21q 2 91， 得9q482q290，即得q21 9或q 29. q 3或q 1 3. 故这三个数为：1,3,9或1,3，9或9,3,1或9，3，1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明 (2)对于方法二不难发现，如果采用这样的设法，可轻松的 求出中间的数，大大减少了运算量对于这类问题的解答，
15、我 们探究出如下技巧： 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 2有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13， 则成等差数列，求这四个数 解析： 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3 则a1，aq1，aq24，aq313成等差数列，据题意 得： 2aq1a1aq24， 2aq24aq1aq313， 整理得 aq123， aqq126， 解得 q2， a3， 因此这四个数分别为3,6,12,24. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 等比
16、数列的综合题 在等比数列an中，a11，公比为q(q0)，且bn an1an. (1)判断数列bn是否为等比数列？说明理由； (2)求数列bn的通项公式 思路点拨 求an的通 项公式 分q1和q1 分别判断 分q1和q1分别求bn 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 规范解答 (1)等比数列an中，a11，公比为q， ana1qn 1qn1(q0)， 2分 若q1，则an1，bnan1an0， bn是各项均为0的常数列，不是等比数列. 4分 若q1，由于 bn1 bn an2an1 an1an qn 1qn qnqn 1
17、 qnq1 qn 1q1 q， bn是首项为b1a2a1q1，公比为q的等比数列. 8分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)由(1)可知，当q1时，bn0； 当q1时，bnb1qn1(q1)qn1， bn(q1)qn1(nN*). 12分 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (1)本题属于“运算数列”是否为等比数列的 判定问题，根据等比数列的定义，对于公比的取值情况的讨论 十分关键，这不仅是解题思路自然发展的体现，而且是逻辑思 维严谨性的具
18、体要求 (2)若数列an为等比数列，则下列结论仍能成立 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 数列 1 an 是公比为1 q的等比数列； 当数列an是各项均为正数的等比数列时，数列lg an 是公差为lg q的等差数列； 在an中，每隔k(kN*)项取出一项，按原来顺序排 列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk 1； 若m，n，p(m，n，pN*)成等差数列，则am，an，ap成 等比数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 3已知数列an的前n
19、项和为Sn，Sn1 3(an1)(nN *) (1)求a1，a2； (2)求证：数列an是等比数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 解析： (1)由S11 3(a11)， 得a11 3(a11)， a11 2.又S2 1 3(a21)， 即a1a21 3(a21)，得a2 1 4. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 (2)证明：当n2时，anSnSn1 1 3 (an1) 1 3 (an1 1)，得 an an1 1 2，又 a2 a1 1
20、2，所以an是首项为 1 2，公比为 1 2的等比数列 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 在等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个 根，试求a7. 【错解】 因为a5，a9是方程7x218x70的两个根， 所以 a5a918 7 ， a5 a91. 又因为a7是a5，a9的等比中项， 所以a2 7a5 a91，即a7 1. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9 均为正数且公比
21、为q a7 a5 a9 a7 ，所以不论q取正还是 取负，a7始终与a5和a9符号相同 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 【正解】 因为a5，a9是方程7x218x70的两个根， 所以 a5a918 7 ， a5 a91. 所以 a50， a90. 又因为a7是a5，a9的等比中项， 所以a2 7a5 a91. 由于a7a5 q2，故a7与a5同号，a71. 数数 学学 必修必修5 第二章第二章 数数 列列 自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 点击进入点击进入WORD链接链接 高效测评 知能提升 谢谢观看！谢谢观看！
