1、实际问题与反比例函实际问题与反比例函数数 教教材材分析分析实际问题与反比例函数 是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图像和性质的基 础上进一步研究反比例函数在生活、生产中的实际应用.本节内容充分体现了反比例函数是 解决实际问题有效的数学模型,解决问题的思路是通过经历寻找实际问题中的常量和变量,建立并表示函数模型,讨论函数模型,解决实际问题.为了更好地体现反比例函数概念的实际背景以及数学与实际的关系,本节教材设置的 4 个问题都是现实生活中常见的问题,这样的安排有助于提高学生把抽象的数学概念应用于实 际问题的能力.例通过研究修建圆柱形煤气储存室的实际问题,抽象为几何中圆柱的体积问题;例 2 通
2、过研究卸载货物问题,抽象为工程问题.特别是例 3 的撬石头问题涉及了古希 腊科学家阿基米德发现的杠杆原理,其本质体现的是力与力臂两个量的反比例关系,最后落 实到运用数学中反比例函数知识来解决.教教学学目标目标1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.2.经历建立反比例函数模型解决实际问题的过程,渗透数形结合思想,提高学生用函数观 点解决问题的能力.3.利用函数探索古希腊科学家阿基米德发现的杠杆定律,激发学生求知欲望和学习兴趣.教教学学重重难难点点【教学重点】综合运用反比例函数的解析式、图像和性质解决实际问题.【教学难点】综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题.课课前前准备准备多媒体课件
3、、教具等.教教学学过程过程一、提一、提出出问题,思考问题,思考引引入入问问题题 1反比例函数 y k 的图像是什么样的?它有什么性质?x已知函数 y 8,当 x=2 时,求 y 的值;当 y=2 时,求 x 的值.x归归纳:纳:反比例函数 y k 的图像是双曲线,它具有以下性质:当 k0 时,双曲线的两x支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,y 随着 x 的增大而减小;当 k0 时,双曲线的 两支分别位于第二、四象限,在每一个象限内,y 随着 x 的增大而增大.当 x=2 时,y 8 4;当 y=2 时,2 8,所以 x=4.2x问问题题 2同学们,你吃过拉面吗?拉面就是用手把面团拉成面条,
4、它是我国北方城乡独 具地方风味的一种传统面食.你知道在做拉面的过程中渗透的反比例函数知识吗?本节课我们就来研究用反比例函数知识解决一些实际问题.二、合二、合作作交流,探究交流,探究新新知知问问题题 3体积为 20 立方厘米的面团拉成圆柱形面条,面条的总长度 y(厘米)与面 条粗细(横截面积)s(厘米)有怎样的函数关系?某家面馆的师傅手艺精湛,他拉的面条粗为 1 平方毫米,面条的总长是多少?追追问问 1:问题中有几个变量?你能写出它们之间的函数关系式吗?两个变量:总长度 y 和面条的横截面积 s.函数关系式:y 20.s追追问问 2:观察函数关系式可以发现 y 是 s 的什么函数?结论:反比例函
5、数.追追问问 3:根据函数关系式 y 20,如果知道 s=1 平方毫米,如何得出 y 的对应值?s结论:把 s 的值代入函数关系式,计算出 y 的对应值,即 y 20 20 2000(厘米).s0.01追追问问 4:通过以上问题的分析,你能总结一下利用反比例函数知识解决实际问题的一般 步骤吗?利用反比例函数解决实际问题的一般步骤:根据题意找出数量关系;分清变量和常量;确定函数关系;根据确定的变量的值,求另一个变量.三、运三、运用用新新知知例例 1:市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3 的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积 S(单位:m2)与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系?(
6、2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2,施工队施工时应该向下掘进多深?(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15 m 时,碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金,公司临时改变计划,把储存室的深改为 15 m,相应的,储存室的底面积应改为多少(保留两 为小数)?4104解解:(1)根据圆柱体的体积公式,有 Sd 10 .所以 S 关于 d 的函数解析式为 S.d104(2)把 S=500 代入 S,得:d=20(m).d如果把储存室的底面积定为 500 m2,施工时应向地下掘进 20 m 深.d151041042(3)根据题意,把 d=15 代入 S,得:S 666.67(m).当
7、储存室的深为 15 m 时,储存室的底面积应改为 666.67 m2.例例 2:码头工人以每天 30 吨的速度往一艘轮船装载货物,把轮船装载完毕恰好用了 8天时间.1轮船到达目的地后开始卸货,卸货速度 v(单位:吨天)与卸货时间 t(单位:天)之间有怎样的关系?2由于遇到紧急情况,船上的货物必须在不超过 5 日内卸完,那么平均每天至少要 卸多少吨货物?分析分析:(1)根据“装货速度装货时间货物的总量”,可以求出轮船装载货物的的总量;(2)再根据“卸货速度货物总量卸货时间”,得到与的函数式.解解:(1)设轮船上的货物总量为 k 吨,则根据已知条件有 k=308=240,所以 v 与 t 的函数式
8、为v 240(t0);t(2)把 t=5 代入 v 240,得 v 240 48(吨).t5从结果可以看出,如果全部货物恰好用 5 天卸完,平均每天卸载 48 吨.若货物在不超过5 天内卸完,平均每天至少卸货 48 吨.例例 3:(介绍)公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”:若 两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡.也可这样描述:阻力阻力臂动力动 力臂.为此,他留下一句名言:给我一个支点,我可以撬动地球!问题问题:小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m.1动力 F 和动力臂 l 有怎样的函数关系?当动力臂为 1.5m 时,撬
9、动石头至少要多 大的力?2若想使动力 F 不超过第(1)题中所用力的一半,则动力臂至少要加长多少?解解:(1)由杠杆定律有 Fl=12000.5,即 F 600,当 L=1.5 时,F 600 400(N).l1.516002200(2)由(1)及题意,当 F=400=200 时,L=3(m),要加长 3-1.5=1.5(m).追问追问:利用反比例函数知识解释:为什么使用撬棍时,动力臂越长越省力?例例 4:一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110220 欧姆.已知电压为 220 伏,这 个用电器的电路图如图所示.1输出功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?2用电器输出功率的范围多大?解解
10、:(1)根据物理学中的电学知识,当电压 U 一定时,输出功率 P 是电阻 R 的反比例R2202函数,即 P.(2)根据反比例函数的性质可知,电阻越大,功率越小.R2202把电阻的最小值 R=110 代入 P 440(W);把电1102202,得到功率的最大值 P R2202阻的最大值 R=2200 代入 P 220(W).2202202,得到功率的最大值 P 因此用电器功率的范围为 220P440.四、巩四、巩固固新新知知练练习习 1近视眼镜的度数 y(度)与焦距 x(m)成反比例,已知 400 度近视眼镜镜片的焦距 为 0.25 m.(1)试求眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式
11、;(2)求 1 000 度近视眼镜镜片的焦距.k解解:(1)设 y,把 x=0.25,y=400 代入,得 400 x所以,k=4000.25=1000.25k,100即所求的函数关系式为 y.x(2)当 y=1 000 时,1000 100,解得:x=0.1 m.x练练习习 2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图像.(1)请你根据图像提供的信息求出此蓄水池的蓄水量;(2)写出此函数的解析式;(3)若要 6 h 排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?解解:(1)因为当蓄水总量一定时,每小时的排水量与排水所用时间成反比例,所
12、以根据图像提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为 4 00012=48 000(m3);(2)因为此函数为反比例函数,所以解析式为V 48000;t(3)若要 6 h 排完水池中的水,那么每小时的排水量为:V 48000 8000(m3).6练练习习 3小林家离工作单位的距离为 3600 米,他每天骑自行车上班时的速度为 v(米/分),所需时间为 t(分).1速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系?2若小林到单位用 15 分钟,那么他骑车的平均速度是多少?3如果小林骑车的速度为 300 米/分,那他需要几分钟到达单位?分析:(1)根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式;2把 t=15 代入函数的解析式,即可求得速度;3把 v=300 代入函数解析式,即可求得时间.解:(1)反比例函数v 360015t(2)把 t=15 代入函数的解析式,得:v 3600=240,t答:他骑车的平均速度是:240 米/分;(3)把 v=300 代入函数解析式得:300 3600,解得:t=12.答:他至少需要 12 分钟到达单位.五、归五、归纳纳小小结结谈谈本节课你有什么新的收获?1.把实际问题中的数量关系,通过分析、转化为数学问题中的数量关系.2.利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题.3.注意学科之间知识的渗透.教教学学反思反思略.
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