1、实际问题与反比例函实际问题与反比例函数数 教教材材分析分析实际问题与反比例函数 是在前面学习了反比例函数、反比例函数的图像和性质的基 础上进一步研究反比例函数在生活、生产中的实际应用.本节内容充分体现了反比例函数是 解决实际问题有效的数学模型，解决问题的思路是通过经历寻找实际问题中的常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题.为了更好地体现反比例函数概念的实际背景以及数学与实际的关系，本节教材设置的 4 个问题都是现实生活中常见的问题，这样的安排有助于提高学生把抽象的数学概念应用于实 际问题的能力.例通过研究修建圆柱形煤气储存室的实际问题，抽象为几何中圆柱的体积问题；例 2 通
2、过研究卸载货物问题，抽象为工程问题.特别是例 3 的撬石头问题涉及了古希 腊科学家阿基米德发现的杠杆原理，其本质体现的是力与力臂两个量的反比例关系，最后落 实到运用数学中反比例函数知识来解决.教教学学目标目标1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.2.经历建立反比例函数模型解决实际问题的过程，渗透数形结合思想，提高学生用函数观 点解决问题的能力.3.利用函数探索古希腊科学家阿基米德发现的杠杆定律，激发学生求知欲望和学习兴趣.教教学学重重难难点点【教学重点】综合运用反比例函数的解析式、图像和性质解决实际问题.【教学难点】综合运用反比例函数的知识解决较复杂的实际问题.课课前前准备准备多媒体课件
3、、教具等.教教学学过程过程一、提一、提出出问题，思考问题，思考引引入入问问题题 1反比例函数 y k 的图像是什么样的？它有什么性质？x已知函数 y 8，当 x=2 时，求 y 的值；当 y=2 时，求 x 的值.x归归纳：纳：反比例函数 y k 的图像是双曲线，它具有以下性质：当 k0 时，双曲线的两x支分别位于第一、三象限，在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小；当 k0 时，双曲线的 两支分别位于第二、四象限，在每一个象限内，y 随着 x 的增大而增大.当 x=2 时，y 8 4；当 y=2 时，2 8，所以 x=4.2x问问题题 2同学们，你吃过拉面吗？拉面就是用手把面团拉成面条，
4、它是我国北方城乡独 具地方风味的一种传统面食.你知道在做拉面的过程中渗透的反比例函数知识吗？本节课我们就来研究用反比例函数知识解决一些实际问题.二、合二、合作作交流，探究交流，探究新新知知问问题题 3体积为 20 立方厘米的面团拉成圆柱形面条，面条的总长度 y（厘米）与面 条粗细（横截面积）s（厘米）有怎样的函数关系？某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗为 1 平方毫米，面条的总长是多少？追追问问 1：问题中有几个变量？你能写出它们之间的函数关系式吗？两个变量：总长度 y 和面条的横截面积 s.函数关系式：y 20.s追追问问 2：观察函数关系式可以发现 y 是 s 的什么函数？结论：反比例函
5、数.追追问问 3：根据函数关系式 y 20，如果知道 s=1 平方毫米，如何得出 y 的对应值？s结论：把 s 的值代入函数关系式，计算出 y 的对应值，即 y 20 20 2000（厘米）.s0.01追追问问 4：通过以上问题的分析，你能总结一下利用反比例函数知识解决实际问题的一般 步骤吗？利用反比例函数解决实际问题的一般步骤：根据题意找出数量关系；分清变量和常量；确定函数关系；根据确定的变量的值，求另一个变量.三、运三、运用用新新知知例例 1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3 的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积 S(单位：m2)与其深度 d(单位：m)有怎样的函数关系？(
6、2)公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下 15 m 时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为 15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少(保留两 为小数)？4104解解：(1)根据圆柱体的体积公式，有 Sd 10 .所以 S 关于 d 的函数解析式为 S.d104(2)把 S=500 代入 S，得：d=20（m）.d如果把储存室的底面积定为 500 m2，施工时应向地下掘进 20 m 深.d151041042(3)根据题意，把 d=15 代入 S，得：S 666.67（m）.当
7、储存室的深为 15 m 时，储存室的底面积应改为 666.67 m2.例例 2：码头工人以每天 30 吨的速度往一艘轮船装载货物，把轮船装载完毕恰好用了 8天时间.1轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度 v（单位：吨天）与卸货时间 t（单位：天）之间有怎样的关系？2由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过 5 日内卸完，那么平均每天至少要 卸多少吨货物？分析分析：（1）根据“装货速度装货时间货物的总量”，可以求出轮船装载货物的的总量；（2）再根据“卸货速度货物总量卸货时间”，得到与的函数式.解解：（1）设轮船上的货物总量为 k 吨，则根据已知条件有 k=308=240，所以 v 与 t 的函数式
8、为v 240（t0）；t（2）把 t=5 代入 v 240，得 v 240 48（吨）.t5从结果可以看出，如果全部货物恰好用 5 天卸完，平均每天卸载 48 吨.若货物在不超过5 天内卸完，平均每天至少卸货 48 吨.例例 3：（介绍）公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若 两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡.也可这样描述：阻力阻力臂动力动 力臂.为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！问题问题：小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是 1200N 和 0.5m.1动力 F 和动力臂 l 有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5m 时，撬
9、动石头至少要多 大的力？2若想使动力 F 不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？解解：（1）由杠杆定律有 Fl=12000.5，即 F 600，当 L=1.5 时，F 600 400(N).l1.516002200（2）由（1）及题意，当 F=400=200 时，L=3（m），要加长 3-1.5=1.5（m）.追问追问：利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力？例例 4：一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110220 欧姆.已知电压为 220 伏，这 个用电器的电路图如图所示.1输出功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？2用电器输出功率的范围多大？解解
10、：（1）根据物理学中的电学知识，当电压 U 一定时，输出功率 P 是电阻 R 的反比例R2202函数，即 P.（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.R2202把电阻的最小值 R=110 代入 P 440（W）；把电1102202，得到功率的最大值 P R2202阻的最大值 R=2200 代入 P 220（W）.2202202，得到功率的最大值 P 因此用电器功率的范围为 220P440.四、巩四、巩固固新新知知练练习习 1近视眼镜的度数 y(度)与焦距 x(m)成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距 为 0.25 m.(1)试求眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式
11、；(2)求 1 000 度近视眼镜镜片的焦距.k解解：(1)设 y，把 x=0.25，y=400 代入，得 400 x所以，k=4000.25=1000.25k，100即所求的函数关系式为 y.x(2)当 y=1 000 时，1000 100，解得：x=0.1 m.x练练习习 2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图像.(1)请你根据图像提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；(2)写出此函数的解析式；(3)若要 6 h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？解解：(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所
12、以根据图像提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为 4 00012=48 000(m3)；(2)因为此函数为反比例函数，所以解析式为V 48000；t(3)若要 6 h 排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V 48000 8000(m3).6练练习习 3小林家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v（米/分），所需时间为 t（分）.1速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？2若小林到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？3如果小林骑车的速度为 300 米/分，那他需要几分钟到达单位？分析：（1）根据速度、时间、路程的关系即可写出函数的关系式；2把 t=15 代入函数的解析式，即可求得速度；3把 v=300 代入函数解析式，即可求得时间.解：（1）反比例函数v 360015t（2）把 t=15 代入函数的解析式，得：v 3600=240，t答：他骑车的平均速度是：240 米/分；（3）把 v=300 代入函数解析式得：300 3600，解得：t=12.答：他至少需要 12 分钟到达单位.五、归五、归纳纳小小结结谈谈本节课你有什么新的收获？1.把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系.2.利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题.3.注意学科之间知识的渗透.教教学学反思反思略.
