1、第二章:一元线性回归模型 2.1模型的假定2.2参数的最小二乘估计2.3最小二乘估计量的性质2.4系数的显著性检验2.5预测误差和预测区间2.1 模型的假定1,2tttYXutntttYXu 被解释变量 解释变量 随机扰动项 2.1 模型的假定2200 00,tttstttttE uVar uE u utsXXE X uuN(1)(2)(3)即不相关(4)是确定性量,即不是随机变量,有(5)varvartttttE Y XXYu上述假设下:无论收入变化多少,消费变动的幅度保持不变。2.2参数的最小二乘估计 22 ,ttttttttttttttttYXXXYXX YXXeYXuYXQeYX假设估
2、计直线:为参数估计 当 残差:误差:残差平方和:2.2参数的最小二乘估计 22()():0,0:20 20 ttttttttOLS ordinary least squaresQQQYXYXXYXX YnXYXnX 最小二乘法求出参数估计量使 达到最小值.正规方程:即2.2参数的最小二乘估计 222222:XXttYYttXYttttXXXYXYXXSXXXnXSYYYnYSXXYYX YnXYSSSS 定义 则式变为:YX2.2参数的最小二乘估计 2 :tttXXYYbXXaYbXYabX最小二乘估计:估计的回归方程2.2参数的最小二乘估计 t12345678910X192022242931
3、37404042Y18192021242830333736例 2-1230.4 26.69956 10 30.4714.4565.6 0.7917 26.60.7917 30.42.532:,?XXXYttttXYSSbaYabXa b XeYYe思考题 得到利用求出对应的2.2参数的最小二乘估计 222:,00 0tttttttttX YYabXeX ee YYYYYYY估计回归方程的性质 (1)一定在估计直线上 (2)(3)(4)(5)2.2参数的最小二乘估计 222:TSS(total sum of squares):()ESS(explained sum of squares):RSS
4、(residual sum of squares):TSS=ESS+RSSttttYYYYYY总离差平方和回归平方和 解释平方和残差平方和 即2.2参数的最小二乘估计 222222:1 01=0.880%.,1,2 ttttXYXXYYttESSRSSRRTSSTSSRXYRX YtnrXXYYSrSSXXYY 定义 决定系数表示给出模型中 对 的解释能力,如,则解释能力为 给定样本相关系数 定义如下:2.3最小二乘估计量的性质1.线性特性(线性特性(LinearLinear)2 0111tttttttttttXXtttttttXXttttttYbwYavYw vXXYYXX YbSXXXXw
5、www XSaYbXYwY XXw Yvw Xnn 估计量a,b均可由被解释变量 线性表出,即:,均为确定性变量。令:,满足:,令2.3最小二乘估计量的性质2.2.无偏性(无偏性(unbiasedunbiased)tttttttE aE bbwYwXuE bbwu2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)222221 12222 ,.var()ttnntXXa bbE bE bE bbwuwuw uE bwS 在,的各种线性无偏估计中,最小二乘估计量具有最小的方差2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)222222 var 1 txxaE
6、aE aE avXnS2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)*,:var()varvar()vara bba具有最小方差的含义 设为 的任一线性无偏估计有 设为 的任一线性无偏估计有2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)*()00 1ttttttttttttttttd YdXudd Xd uEdd Xdd X假设:则2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)*2222222222(*):varvar?2:0ttttXXtttttttttttttttd udbwSdwddwwdwdw wwdw w由而讨论是否成
7、立=注意2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)GaussMarkov定理:满足性质1、2、3的最小二乘估计量是最优线性无偏估计量(best linear unbiased estimator:BLUE)2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)22222222:,2 (1)(2)(3)tttttttttttttttYXueYYYYuubXXeuuuubXXbXX 的估计量模型:包含三个未知参数2.3最小二乘估计量的性质3.有效性(有效性(efficiency)2222222222222223,(2)2,(1)1(1),(2),(3)122
8、:2,XXXXttESEEnSEenneSnE SS 由定义则即是的一个无偏估计2.4 系数的显著性检验定理定理1 222(1),1,XXXXa bXaNnSbNS 最小二乘估计量的概率分布分别为2.4 系数的显著性检验定理定理1 22222(2)RSS2,ttttnSRSSa bbwuavu残差平方和与之比同独立,且服从自由度为n-2的分布从下面的等式讨论2.4 系数的显著性检验定理定理 2 2 22121XXXXatt nXSnSbtt nSS2.4 系数的显著性检验证明:222222220,1222221XXXXXXbNSnSRSSnbnSbnSbt nSS且同 独立。2.4 系数的显著
9、性检验 2221 .2.2.XXXXXSvar aSvar bnSSse avar aase bvar bbatt nse abtt nse b称为 的标准差称为 的标准差则 2.4 系数的显著性检验最小二乘估计量的大样本性质:12,:lim()1b,b plimXYnXXnSbb bbSbP bb随着样本容量的变化 得到序列可以证明 有如下性质表明 依概率收敛于称 为 的一致性估计量.记作:2.4 系数的显著性检验lim()1plimnnaP aa同样 为 的一致估计量,即有记作2.4 系数的显著性检验01:0 :00 2111tttXXXXYXuHHbbtt nSSSS中的,的显著性检验则
10、显著水平置信度2.4 系数的显著性检验20.0250.052,:ntt如果:,自由度如图所示2.4 系数的显著性检验22222222:11:11:11XXXXXXXXXXXXbbptptSSSSbt Sb t SSSXXat Sat SnSnS显然有=1-的置信区间为+同样 的置信区间为+2.4 系数的显著性检验 :2 31 5 94 7 3 9 17:(2):(3)XYYXuvar avar b例题 给出下列数据(1)估计模型给出方差对系数作显著性检验2.4 系数的显著性检验 222220.025(1)1 1.751.24 1.75 70 (2)0.5231 0.30.0125 (3)1.8
11、26 15.653 1 (3)3.182 XXXXXXYabXXTSSESSSnXSvar aS var bnSSabtts e bXSnSt 解:2.4 系数的显著性检验,=0t接受=0的假设 拒绝的假设.当样本容量n=30左右,2时则至少以0.05的显著水平拒绝零假设。2.5 预测误差和预测区间 000000000000000000 0,ttYabXXXYabXYYXueYYabXXuabXuE eE YE Y给定,则的实际值是:预测误差:即:2.5 预测误差和预测区间00202202002021var110,10,1110XX0XXXXYYXXenSXXeNnSYYtNXXnS称为 的无偏预测,可以得到,则构造 统计量:2.5 预测误差和预测区间2222002002(2)2(2)2 221100XXnSnYYnSnt nvar eYYt nXXSnS,即2.5 预测误差和预测区间220020202111210XX0XXYYtnXXSnSYXXYtnSnS给定显著水平由得置信区间为
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