1、第二章:一元线性回归模型 2.1模型的假定2.2参数的最小二乘估计2.3最小二乘估计量的性质2.4系数的显著性检验2.5预测误差和预测区间2.1 模型的假定1,2tttYXutntttYXu 被解释变量 解释变量 随机扰动项 2.1 模型的假定2200 00,tttstttttE uVar uE u utsXXE X uuN（1）（2）（3）即不相关（4）是确定性量，即不是随机变量，有（5）varvartttttE Y XXYu上述假设下：无论收入变化多少，消费变动的幅度保持不变。2.2参数的最小二乘估计 22 ,ttttttttttttttttYXXXYXX YXXeYXuYXQeYX假设估
2、计直线：为参数估计 当 残差：误差：残差平方和：2.2参数的最小二乘估计 22()():0,0:20 20 ttttttttOLS ordinary least squaresQQQYXYXXYXX YnXYXnX 最小二乘法求出参数估计量使 达到最小值.正规方程:即2.2参数的最小二乘估计 222222:XXttYYttXYttttXXXYXYXXSXXXnXSYYYnYSXXYYX YnXYSSSS 定义 则式变为:YX2.2参数的最小二乘估计 2 :tttXXYYbXXaYbXYabX最小二乘估计:估计的回归方程2.2参数的最小二乘估计 t12345678910X192022242931
3、37404042Y18192021242830333736例 2-1230.4 26.69956 10 30.4714.4565.6 0.7917 26.60.7917 30.42.532:,?XXXYttttXYSSbaYabXa b XeYYe思考题 得到利用求出对应的2.2参数的最小二乘估计 222:,00 0tttttttttX YYabXeX ee YYYYYYY估计回归方程的性质 （1）一定在估计直线上 （2）（3）（4）（5）2.2参数的最小二乘估计 222:TSS(total sum of squares):()ESS(explained sum of squares):RSS
4、(residual sum of squares):TSS=ESS+RSSttttYYYYYY总离差平方和回归平方和 解释平方和残差平方和 即2.2参数的最小二乘估计 222222:1 01=0.880%.,1,2 ttttXYXXYYttESSRSSRRTSSTSSRXYRX YtnrXXYYSrSSXXYY 定义 决定系数表示给出模型中 对 的解释能力，如，则解释能力为 给定样本相关系数 定义如下:2.3最小二乘估计量的性质1.线性特性（线性特性（LinearLinear）2 0111tttttttttttXXtttttttXXttttttYbwYavYw vXXYYXX YbSXXXXw
5、www XSaYbXYwY XXw Yvw Xnn 估计量a,b均可由被解释变量 线性表出，即：,均为确定性变量。令：,满足：,令2.3最小二乘估计量的性质2.2.无偏性（无偏性（unbiasedunbiased）tttttttE aE bbwYwXuE bbwu2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）222221 12222 ,.var()ttnntXXa bbE bE bE bbwuwuw uE bwS 在，的各种线性无偏估计中，最小二乘估计量具有最小的方差2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）222222 var 1 txxaE
6、aE aE avXnS2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）*,:var()varvar()vara bba具有最小方差的含义 设为 的任一线性无偏估计有 设为 的任一线性无偏估计有2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）*()00 1ttttttttttttttttd YdXudd Xd uEdd Xdd X假设:则2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）*2222222222(*):varvar?2:0ttttXXtttttttttttttttd udbwSdwddwwdwdw wwdw w由而讨论是否成
7、立=注意2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）GaussMarkov定理：满足性质1、2、3的最小二乘估计量是最优线性无偏估计量（best linear unbiased estimator：BLUE）2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）22222222:,2 (1)(2)(3)tttttttttttttttYXueYYYYuubXXeuuuubXXbXX 的估计量模型:包含三个未知参数2.3最小二乘估计量的性质3.有效性（有效性（efficiency）2222222222222223,(2)2,(1)1(1),(2),(3)122
8、:2,XXXXttESEEnSEenneSnE SS 由定义则即是的一个无偏估计2.4 系数的显著性检验定理定理1 222(1),1,XXXXa bXaNnSbNS 最小二乘估计量的概率分布分别为2.4 系数的显著性检验定理定理1 22222(2)RSS2,ttttnSRSSa bbwuavu残差平方和与之比同独立，且服从自由度为n-2的分布从下面的等式讨论2.4 系数的显著性检验定理定理 2 2 22121XXXXatt nXSnSbtt nSS2.4 系数的显著性检验证明：222222220,1222221XXXXXXbNSnSRSSnbnSbnSbt nSS且同 独立。2.4 系数的显著
9、性检验 2221 .2.2.XXXXXSvar aSvar bnSSse avar aase bvar bbatt nse abtt nse b称为 的标准差称为 的标准差则 2.4 系数的显著性检验最小二乘估计量的大样本性质：12,:lim()1b,b plimXYnXXnSbb bbSbP bb随着样本容量的变化 得到序列可以证明 有如下性质表明 依概率收敛于称 为 的一致性估计量.记作:2.4 系数的显著性检验lim()1plimnnaP aa同样 为 的一致估计量,即有记作2.4 系数的显著性检验01:0 :00 2111tttXXXXYXuHHbbtt nSSSS中的，的显著性检验则
10、显著水平置信度2.4 系数的显著性检验20.0250.052,:ntt如果：，自由度如图所示2.4 系数的显著性检验22222222:11:11:11XXXXXXXXXXXXbbptptSSSSbt Sb t SSSXXat Sat SnSnS显然有=1-的置信区间为+同样 的置信区间为+2.4 系数的显著性检验 :2 31 5 94 7 3 9 17:(2):(3)XYYXuvar avar b例题 给出下列数据(1)估计模型给出方差对系数作显著性检验2.4 系数的显著性检验 222220.025(1)1 1.751.24 1.75 70 (2)0.5231 0.30.0125 (3)1.8
11、26 15.653 1 (3)3.182 XXXXXXYabXXTSSESSSnXSvar aS var bnSSabtts e bXSnSt 解:2.4 系数的显著性检验,=0t接受=0的假设 拒绝的假设.当样本容量n=30左右，2时则至少以0.05的显著水平拒绝零假设。2.5 预测误差和预测区间 000000000000000000 0,ttYabXXXYabXYYXueYYabXXuabXuE eE YE Y给定，则的实际值是：预测误差：即：2.5 预测误差和预测区间00202202002021var110,10,1110XX0XXXXYYXXenSXXeNnSYYtNXXnS称为 的无偏预测，可以得到，则构造 统计量：2.5 预测误差和预测区间2222002002(2)2(2)2 221100XXnSnYYnSnt nvar eYYt nXXSnS，即2.5 预测误差和预测区间220020202111210XX0XXYYtnXXSnSYXXYtnSnS给定显著水平由得置信区间为
