1、 专题专题 1010平移平移 破解策略破解策略 经过平移， 对应线段平行 （或共线） 且相等； 对应角相等； 对应点所连结的线段平行 （或 共线）且相等；平移前后的图形全等平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将分散 的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化 通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法， 其中， 通过平移构造辅助线比 较线段大小的常见类型有： （1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可 以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小； （2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，
2、再利用三角 形三边的关系来比较大小； （3）比较四条线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线 段的大小关系 例题讲解例题讲解 例例 1 已知：在ABC中，P为BC边的中点 （1）如图 1，求证：() 1 2 APABAC； （2）延长AB至点D，使得BDAC，延长AC至点E，使得CEAB，连结DE 如图 2，连结BE，若BAC60，请你探究线段BE与AP之间的数量关系写出你 的结论，并加以证明； 请在图 3 中证明： 1 2 BCDE A B D C ABACBDDC O AB C D ADBCABCD 证明（1）如图 4，延长AP至点F，使得PF AP，连结BF 易证
3、APCFPB，所以ACBF 从而ABACABBFAF， 即() 1 2 APABAC （2）BE2AP证明如下： 因为BDABACCE，BAC60， 所以ADE为等边三角形 如图 5，在DE上取一点G，使得DGDB，连结BG，则BDG为等三角形 连结CG，PG，则四边形ABGC为平行四边形，所以点A，P，G共线，故AG2AP 易证DGADBE则BEAG2AP P A B C 图 1 P C B A D E 图 2 P ED A B C 图 3 P C B A F 图 4 P E D A B C G 图 5 如图 6，过点C作CHAB，且CHBD，连结DH，HE 则四边形BDHC为平行四边形，
4、易证ABCCEH，所以DHBCEH 由三角形三边关系定理可得DHEHDE 而当D，H，E三点共线时，有DHEHDE，所以 1 2 BCDE 例例 2 在ABC中，ACB90，ACBC，D是AC边上的点，E是BC边上的点，ADBC， CDBE点E与点B，C不重合，连结AE，BD交于点F，求BFE的度数 F C A B D E 解 如图，过点A作AGAC，使得AGCDBE，连结BG，GD 可得四边形AEBG是平行四边形，则BGEA 易证GADDCB（SAS）， 所以GDDB，GDADBC 所以GDABDC90， 可得BGD是等腰直角三角形， 又因为BGEF，所以BFEGBD45 F A C G B
5、 D E 例例 3 如图，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF，若ABC的面积为 1，则以AD，BE， P H C B A D E 图 6 CF的长度为三边长的三角形的面积等于 D E F A B C 答案 3 4 解 如图，过点C作CPAD，且CPAD，连结AP，PF，EP，FE D F E C B A P 由辅助线作法，可得四边形ADCP为平行四边形， 所以APCD，APCD 由D，E，F为ABC三边中点，可得APEF，APEF 所以四边形AFEP为平行四边形，则PEAFFB，PEFB 所以四边形PEBF为平行四边形， 则BEFP 因而FPC为以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形，
6、所以 11133 44444 FPCFECFEPCEPABCABCABCABC SSSSSSSS 进阶训练进阶训练 1 如图，两条长度都为 1 的线段AB和CD相交于点O，且AOC60，求证：AC BD1 O B D C A 【提示】分别过点C，B作AB，AC的平行线，两线交于点E，连结DE，则四边形ABEC 是平行四边形，CDE是等边三角形，从而ACBE，DEDC1，即得证 O A C D B E 2、已知：在 RtABC中，点D、E分别在CB、CA的延长线上，连接BE，AD交于点P，若AC 3BD，CD3AE，求APE 解：APF30【提示】过点D作DFBE，且DFBE，连接EF、AP则四边形EFBD为平 行四边形，易证AEFDCA，从而FAD90，AD3AF，所以APEADF30 3、如图，已知ABC的面积为 1，分别以ABC的三边AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE， ACFG，BCHI，连接EG、FH、ID，则以EG、FH、ID长度为三边的三角形的面积为_ 解：3 【提示】如图，分别过点I，H作AB、AC的平行线，两线段交于点M，连AM、EM、 GM则EGM是以EG、FH、ID的长度为三边的一个三角形，由“等腰直角三角形共顶点” 中的结论知：SDOISCFHSEAGSADG
