1、 专题专题 1010平移平移 破解策略破解策略 经过平移, 对应线段平行 (或共线) 且相等; 对应角相等; 对应点所连结的线段平行 (或 共线)且相等;平移前后的图形全等平移是几何中的一种重要变换,运用平移可以将分散 的线段、角或图形汇集到一起,也可以把不太明朗的关系明朗化 通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法, 其中, 通过平移构造辅助线比 较线段大小的常见类型有: (1)比较两条线段的大小关系,可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较,也可 以把其中一条线段转化成三角形的两条边,再利用三角形三边关系比较大小; (2)比较三条线段的大小关系,可以把三条线段平移到同一个三角形中,
2、再利用三角 形三边的关系来比较大小; (3)比较四条线段的大小关系,可以转化成“飞镖形”或“8”字形(如图)来比较线 段的大小关系 例题讲解例题讲解 例例 1 已知:在ABC中,P为BC边的中点 (1)如图 1,求证:() 1 2 APABAC; (2)延长AB至点D,使得BDAC,延长AC至点E,使得CEAB,连结DE 如图 2,连结BE,若BAC60,请你探究线段BE与AP之间的数量关系写出你 的结论,并加以证明; 请在图 3 中证明: 1 2 BCDE A B D C ABACBDDC O AB C D ADBCABCD 证明(1)如图 4,延长AP至点F,使得PF AP,连结BF 易证
3、APCFPB,所以ACBF 从而ABACABBFAF, 即() 1 2 APABAC (2)BE2AP证明如下: 因为BDABACCE,BAC60, 所以ADE为等边三角形 如图 5,在DE上取一点G,使得DGDB,连结BG,则BDG为等三角形 连结CG,PG,则四边形ABGC为平行四边形,所以点A,P,G共线,故AG2AP 易证DGADBE则BEAG2AP P A B C 图 1 P C B A D E 图 2 P ED A B C 图 3 P C B A F 图 4 P E D A B C G 图 5 如图 6,过点C作CHAB,且CHBD,连结DH,HE 则四边形BDHC为平行四边形,
4、易证ABCCEH,所以DHBCEH 由三角形三边关系定理可得DHEHDE 而当D,H,E三点共线时,有DHEHDE,所以 1 2 BCDE 例例 2 在ABC中,ACB90,ACBC,D是AC边上的点,E是BC边上的点,ADBC, CDBE点E与点B,C不重合,连结AE,BD交于点F,求BFE的度数 F C A B D E 解 如图,过点A作AGAC,使得AGCDBE,连结BG,GD 可得四边形AEBG是平行四边形,则BGEA 易证GADDCB(SAS), 所以GDDB,GDADBC 所以GDABDC90, 可得BGD是等腰直角三角形, 又因为BGEF,所以BFEGBD45 F A C G B
5、 D E 例例 3 如图,ABC的三条中线分别为AD,BE,CF,若ABC的面积为 1,则以AD,BE, P H C B A D E 图 6 CF的长度为三边长的三角形的面积等于 D E F A B C 答案 3 4 解 如图,过点C作CPAD,且CPAD,连结AP,PF,EP,FE D F E C B A P 由辅助线作法,可得四边形ADCP为平行四边形, 所以APCD,APCD 由D,E,F为ABC三边中点,可得APEF,APEF 所以四边形AFEP为平行四边形,则PEAFFB,PEFB 所以四边形PEBF为平行四边形, 则BEFP 因而FPC为以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形,
6、所以 11133 44444 FPCFECFEPCEPABCABCABCABC SSSSSSSS 进阶训练进阶训练 1 如图,两条长度都为 1 的线段AB和CD相交于点O,且AOC60,求证:AC BD1 O B D C A 【提示】分别过点C,B作AB,AC的平行线,两线交于点E,连结DE,则四边形ABEC 是平行四边形,CDE是等边三角形,从而ACBE,DEDC1,即得证 O A C D B E 2、已知:在 RtABC中,点D、E分别在CB、CA的延长线上,连接BE,AD交于点P,若AC 3BD,CD3AE,求APE 解:APF30【提示】过点D作DFBE,且DFBE,连接EF、AP则四边形EFBD为平 行四边形,易证AEFDCA,从而FAD90,AD3AF,所以APEADF30 3、如图,已知ABC的面积为 1,分别以ABC的三边AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE, ACFG,BCHI,连接EG、FH、ID,则以EG、FH、ID长度为三边的三角形的面积为_ 解:3 【提示】如图,分别过点I,H作AB、AC的平行线,两线段交于点M,连AM、EM、 GM则EGM是以EG、FH、ID的长度为三边的一个三角形,由“等腰直角三角形共顶点” 中的结论知:SDOISCFHSEAGSADG